Loi d'Erlang

Erlang
Densité de probabilité Graphes de densités pour la distribution d'Erlang.


Fonction de répartition Graphes de fonctions de répartition pour la distribution d'Erlang.

Paramètres	$k\geq 1\,$ Paramètre de forme (entier) $\lambda >0\,$ intensité (réel) alt.: $\theta =1/\lambda >0\,$ paramètre d'échelle (réel)
Support	$x\in [0;\infty )\!$
Densité de probabilité	${\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!\,}}$
Fonction de répartition	${\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}/n!$
Espérance	$k/\lambda \,$
Médiane	pas de forme simple
Mode	$(k-1)/\lambda \,$ pour $k\geq 1\,$
Variance	$k/\lambda ^{2}\,$
Asymétrie	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Kurtosis normalisé	${\frac {6}{k}}$
Entropie	$k/\lambda +(k-1)\ln(\lambda )+\ln((k-1)!)\,$ $+(1-k)\psi (k)\,$
Fonction génératrice des moments	$(1-t/\lambda )^{-k}\,$ pour $t<\lambda \,$
Fonction caractéristique	$(1-it/\lambda )^{-k}\,$
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La distribution d'Erlang est une loi de probabilité continue, dont l'intérêt est dû à sa relation avec les distributions exponentielle et Gamma. Cette distribution a été développée par Agner Krarup Erlang afin de modéliser le nombre d'appels téléphoniques simultanés.

Généralités modifier

La distribution est continue et possède deux paramètres : le paramètre de forme $k$ , un entier, et le paramètre d'intensité $\lambda$ , un réel. On utilise parfois une paramétrisation alternative, où on considère plutôt le paramètre d'échelle $\theta ={\frac {1}{\lambda }}$ .

Lorsque le paramètre de forme $k$ vaut 1, la distribution se simplifie en la loi exponentielle.

La distribution d'Erlang est un cas spécial de la loi Gamma, où le paramètre de forme $k$ est un entier. Dans la loi Gamma, ce paramètre est réel positif supérieur ou égal à 1.

Caractérisation modifier

Densité de probabilité modifier

La densité de probabilité de la distribution d'Erlang est

f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}\exp(-\lambda x) \over (k-1)!}\quad {\mbox{pour }}x>0.

Le paramètre $k$ est le paramètre de forme, et $\lambda$ le paramètre d'intensité. Une paramétrisation équivalente met en jeu le paramètre d'échelle $\theta$ , défini comme l'inverse de l'intensité (c'est-à-dire $\theta =1/\lambda$ ) :

f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}\exp(-{\frac {x}{\theta }})}{\theta ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{pour }}x>0.

La présence de la factorielle implique que k doit être un entier naturel supérieur ou égal à 1. Mais la loi Gamma généralise la distribution d'Erlang où ce paramètre k est un réel quelconque positif supérieur ou égale à 1. L'expression de la fonction de densité de probabilité est obtenue en remplaçant $(k-1)!$ par $\Gamma (k)$ , qui la valeur prise par la fonction gamma en k.

Fonction de répartition modifier

La fonction de répartition de la distribution d'Erlang est

F(x;k,\lambda )={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}

où $\gamma ()$ est la fonction gamma incomplète. Cette fonction peut aussi s'écrire :

F(x;k,\lambda )=1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {(\lambda x)^{n}}{n!}}

Occurrences modifier

Processus de renouvellement modifier

La distribution d'Erlang est la distribution de la somme de k variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ . Si chacune de ces variables aléatoires $X_{i}$ représente le temps au bout duquel un événement donné se produit (par exemple, une intervention à la suite d'une panne sur un appareil sans usure et sans mémoire), alors la variable aléatoire $T_{k}=X_{1}+\dots +X_{k}$ au bout duquel le k-ème événement a lieu suit une loi d'Erlang de forme k et de paramètre $\lambda$ .

Processus de Poisson modifier

Article détaillé : Processus de Poisson.

Si l'on se donne un instant t, on montre que la variable aléatoire $N_{t}$ égale au nombre d'entiers k tels que $T_{k}\leq t$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda t$ ^[1]. Dans l'interprétation ci-dessus, $N_{t}$ est le nombre d'interventions effectuées avant l'instant t.

Voir aussi modifier

Processus de Poisson
Loi binomiale négative : cette loi est l'analogue de la loi d'Erlang dans le cas discret.

Liens externes modifier

Références modifier

↑ Didier Dacunha-Castelle, Marie Duflo, Probabilités et statistiques, T.1, problèmes à temps fixe, Masson (1982)

Portail des probabilités et de la statistique

[1] Didier Dacunha-Castelle, Marie Duflo, Probabilités et statistiques, T.1, problèmes à temps fixe, Masson (1982)

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