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Loi bêta
Image illustrative de l’article Loi bêta
Densité de probabilité

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Fonction de répartition

Paramètres forme (réel)
forme (réel)
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance
Mode pour
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur [0,1], paramétrée par deux paramètres de forme, typiquement notés α et β. C'est un cas spécial de la loi de Dirichlet, avec seulement deux paramètres.

Admettant une grande variété de formes, elle permet de modéliser de nombreuses distributions à support fini. Elle est par exemple utilisée dans la méthode PERT.

CaractérisationModifier

Fonction de densitéModifier

La densité de probabilité de la loi bêta est :

 
 
 

Γ est la fonction gamma et   est la fonction caractéristique de [0 ; 1]. La fonction bêta Β apparaît comme une constante de normalisation, permettant à la densité de s'intégrer à l'unité.

Fonction de répartitionModifier

La fonction de répartition est

 

  est la fonction bêta incomplète et   est la fonction bêta incomplète régularisée.

PropriétésModifier

MomentsModifier

Voir infobox.

FormesModifier

La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres:

  •   est en forme de U (graphe rouge);
  •   ou   est strictement décroissant (graphe bleu);
    •   est strictement convexe;
    •   est une droite;
    •   est strictement concave;
  •   est la loi uniforme continue;
  •   ou   est strictement croissant (graphe vert);
    •   est strictement convexe;
    •   est une droite;
    •   est strictement concave;
  •   est unimodal (graphes noir et violet).

Qui plus est, si   alors la densité est symétrique autour de 1/2 (graphes rouge et violet).

GénéralisationsModifier

La loi bêta peut se généraliser en :

Estimation des paramètresModifier

Soit la moyenne empirique

 

et

 

la variance. La méthode des moments fournit les estimations suivantes:

 
 

Distributions associéesModifier

  • Si   a une distribution bêta, alors la variable aléatoire   est distribuée selon la loi bêta prime.
  • La loi bêta-binomiale est la loi conjuguée de la loi bêta.
  • Si    est la loi uniforme continue, alors   (pour tout  ).
  • Si  , alors    est la loi exponentielle.
  • Si   et   sont indépendamment distribués selon une loi Gamma, de paramètres   et   respectivement, alors la variable aléatoire   est distribuée selon une loi  .
  • La k-ème statistique d'ordre d'un n-échantillon de lois uniformes   suit la loi  .
  • La loi   est appelée loi arc sinus.
  • La loi bêta peut s'interpréter comme marginale d'une loi de Dirichlet. En effet, si   alors  

Exemple d'occurrence de la loi bêtaModifier

La loi bêta apparaît naturellement dans une expérience d'urnes, donnée par George Pólya dans un article de 1930, Sur quelques points de la théorie des probabilités[1]. Il décrit l'expérience suivante : on se donne une urne contenant initialement r boules rouges et b boules bleues, on tire une boule dans l'urne, puis on la remet dans l'urne avec une deuxième boule de même couleur. Alors la proportion de boules rouges tend vers une variable aléatoire de loi Βeta(r,b), et, inversement, la proportion de boules bleues tend vers une variable aléatoire de loi Βeta(b,r).

Ce processus étudié par Pólya est ce que l'on appelle aujourd'hui un processus renforcé.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Beta distribution » (voir la liste des auteurs).
  1. George Pólya, « Sur quelques points de la théorie des probabilités », Annales de l'Institut Henri Poincaré,‎ , p. 150 (lire en ligne, consulté le 5 décembre 2018)

Liens externesModifier