Discussion:Théorème de Taylor

Orthographe

Faut-il mettre un e à intégral dans Reste Intégral, selon moi non mais j'ai des amis plus forts en maths que moi qui me disent que oui alors à votre avis?

Tes amis sont peut-être matheux mais pas si forts que ça en orthographe : reste intégral sans "e". HB 4 décembre 2005 à 22:22 (CET)

En fait, si j’en crois ce qu’avait dit mon professeur à l’époque, les deux formes sont admissibles : on peut en effet interpréter intégrale comme étant le nom (féminin) apposé ; cela dit, j’ai personnellement une préférence pour intégral, mais la précision méritait d’être signalée. — SniperMaské (d) 19 décembre 2010 à 16:58 (CET)

Hors des fautes d'orthographe il me semble qu'il y a une incohérence dans la formule générale en haut de la page, il est dit que pour b=x et a=0 la formule s'appèle formule de mc Laurin hors il n'y a pas de b dans la formule.

En effet. C'est corrigé. Tizeff (d) 25 mars 2009 à 17:07 (CET)

Fusion entre Théorème de Taylor et Théorème de Taylor-Lagrange

Transfert de PàF :

Théorème de Taylor-Lagrange est un sous chapitre de Théorème de Taylor. Je ne sais quel est la meilleur solution de fusion. Vincnet G discuss 1 mai 2006 à 17:47 (CEST)

A mon avis, il faut transformer Théorème de Taylor-Lagrange en redirect vers théorème de Taylor. L'article Théorème de Taylor-Lagrange n'apporte rien de neuf, sinon une confusion (la formule avec reste intégral n'est pas vraiment celle de Taylor -Lagrange mais celle de Taylor Laplace. HB 1 mai 2006 à 17:55 (CEST)

redirect du second vers le premier. En effet, la formule du second ne correspond pas à "Taylor-Lagrange", mais non plus à celle de "Taylor avec reste de Laplace". Je dis ça, mais je ne suis pas dutout mathématicien... On verra les réactions, s'il y en a... jerome66 | causer 3 mai 2006 à 14:48 (CEST)

Refonte du sujet

Perso je trouve que la rigueur qui est du au math est un peu manquante et j'ai quelque doute sur la justesse des formules fournies.... des liens vers des documents externes seraient les bien venus. Après, ce n'est qu'une proposition... Je sais ca fait un peu le type qui se pointe et qui critique mais ... je bosse en ce moment avec la formule de Taylor et en toute rigueur celle ci se définit dans un premier temps sur un intervalle fermé sur lequel on se place dans le cadre des fonctions continuement dérivable. A cette adresse vous trouverez les définitions exactes: http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./t/taylorformules.html

dans tes formules exactes, si h est un vecteur de $R^{n}$, tu peux me dire ce que signifie $(h)^{k+1}$ ? Oxyde 12 avril 2007 à 15:49 (CEST)

Je suis désolé de ne pouvoir participé plus profondément mais j ai pas mal de boulot.... j'espère que cette aide vous sera précieuse. a pluche

Normalement , pas d'inquiétude à avoir, les formules sont tirées de

• Cours de mathématiques de J. Lelong Ferrand et J-M Arnaudiès : Analyse
• J'intègre de Claude Deschamps et André Warusfeld , Mathématiques première année.

Les formules sont données sur un intervalle I qui n'est pas nécessairement fermé (cependant on peut les voir comme des formules valables sur les intervalles [a;x] ou [x; a], les conditions de dérivabilité et de dérivée continue (continûment dérivable) ont été longuement réfléchies. La condition très large (existence de f^{n}(a) de la formule de Taylor Young est tirée de Lelong-Ferrand Arnaudiès. Le J'intègre prend par précaution la condition plus restrictive f est de classe $C^{n}$.

En toute théorie, j'ai bien relu mais j'ai peut-être laissé passer une erreur. N'hésite pas à poser des questions précises.

Je mets les deux livres en source. HB 12 avril 2007 à 12:24 (CEST)

En revanche, je ne garantis pas les formules sur les fonctions à plusieurs variables dont la notation $f^{(k)}$ un peu troublante. HB 12 avril 2007 à 12:36 (CEST)

Ok ca roule... a mon avis il serait peut etre sage de proposer un formalisme d'ecriture des articles de type mathematiques afin d'avoir toujours la meme representation et une structure identique,par exemple un truc du type 1) definition, 2) Theoreme 3) etc... ca aiderai a la lecture en etant plus clair. (sur tous les articles de math present dans le wiki c est peut etre cela qui peche le plus, c est difficille a lire car ca manque de plan pre-etabli.)--Jyuza, libre comme le vent 12 avril 2007 à 15:54 (CEST)

C'est une idée qui se défend mais qui correspond plus à un plan de cours. Or nous sommes dans une encyclopédie dont le plan est souvent autre. Introduction pragmatique (tout public ?) , aspect historique, développements mathématiques. Mais je te propose d'aller discuter de cela dans le Projet:Mathématiques où tu devrais rencontrer plein de gens passionnés. Bienvenue à toi. HB 12 avril 2007 à 16:09 (CEST)

Je (Veovis153) vais profondément modifier cet article pour lui mettre la rigueur qu'il lui manque dans les prochains jours.

Refondre est toujours possible et souvent souhaitable mais au préalable, pourrais-tu préciser le manque de rigueur que tu reproches à l'article ? Merci. HB (d) 19 août 2009 à 11:34 (CEST) pour signer en page de discussion tape 4 tildes ainsi :~~~~

Il y a un certain nombre de variables qui sont implicitement définies par exemple, ou alors un mélange entre variables qu'on utilise, et variables qui servent à énoncer un théorème. Tout est question de précision. Un exemple tout con: "Pour une fonction telle que f(x)=...." n'est pas rigoureux (imaginons un instant que nous manipulions plusieurs entités), il serait plus juste de dire "Pour une fonction f telle que f(x)=...". Les domaines de définitions des fonctions manquent un peu aussi. Je chipote, mais en math c'est permis :) Je refonds la Formule de Taylor-Young (démo compris) et tu me dis ce que tu en penses, ça marche ?

PS : je ne suis pas un pro de l'aération par contre.

Euh... j'ai du mal à comprendre, il n'y a nulle part écrit pour une fonction telle que f(x)=.., Le domaine de définition est précisé dès le départ soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a... Maiis il est vrai qu'il manque des quantificateurs. Je te laisse faire; je t'explique juste la structure actuelle de l'article; En intro une forme générale pour une fonction dont la dérivée nième en a existe et, dans la section traitement du reste, les différents restes selon les propriétés que possède la fonction f. Bon courage. HB (d) 19 août 2009 à 22:06 (CEST)

Comme tu dis ! Ça prends pas mal de temps à rédiger et vérifier ce "petit" bout. J'ai shunté arbitrairement la démo existante (pour n>=1) pour le moment. Bon voilà des quantificateurs partout, il faut par contre que je définisse Tn (la partie principale de la formule de Taylor, le \underbrace qui est un raccourci explicatif pas très propre, ${\mathcal {F}}$ pour l'ensemble des fonctions, et $D^{k}$ pour dérivée k-ième. Si on garde cette démo, il faudrait sans doute rajouter son but, à savoir majorer le reste $f-T_{n}(f)$

Le texte a en effet gagné en précision mais quitte à être rigoureux, il faudrait parler de T(n, a, f) puisque le développement dépend du point a choisi. Je n'étais pas favorable à l'introduction de démonstration mais je les ai laissées malgré les deux contraintes fortes qui y apparaissent : x appartient à [a;b] (donc x plus grand que a) et f de classe Cn. mais je ne suis pas d'accord pour que la formule de Taylor-Young apparaissent avec ces deux contraintes : je suis favorable à la version la plus générale possible : f définie sur un intervalle I contenant a, f possédant en a une dérivée nieme (n supérieur ou égale à 1). Je peux y mettre la démonstration de Lelong-Ferrand si tu le souhaites ou laisser celle mise en place en remarquant toutefois qu'elle ne démontre qu'un version faible du théorème. HB (d) 20 août 2009 à 08:42 (CEST)

Vous avez parfaitement raison, j'avais complètement oublié cette version étendue de ce théorème, en vérité la version que j'ai écrasé. Je commence à corriger... Veovis153 (d) 22 août 2009 à 15:38 (CEST)

À ce propos, je suis étonné de la définition initiale du théorème, et en particulier celle du reste. Il y dit que le reste "est d'autant plus petit que x est proche de a", cela ne veut en aucun cas dire qu'il tends vers 0. De plus j'ai peine à croire que la seule contribution de Taylor à cette formule ait été de dire que le reste tendait vers 0 (ça serait vrai avec n'importe quel polynôme P tel que P(a) = f(a), et c'est assez trivial)... À mon avis Taylor a quand même du conjecturer que ce polynôme était une bonne/la meilleure approximation possible au voisinage du point (avec un polynôme), ce qui n'apparait pas dans l'introduction (mais j'avoue que je serais incapable d'affirmer ce qui précède, c'est juste une intuition). Bolgar (d) 9 mai 2010 à 09:34 (CEST)

Mon intention n'était pas, dans l'introduction, de donner une définition du reste mais juste une intuition de sa nature, la définition du reste se développant plus tard dans l'article. Mais ta question m'a fait réfléchir à l'apport de Taylor. Il cherchait évidemment une meilleure approximation polynomiale (mais pas forcément avec le sens que l'on donne aujourd'hui au terme de meilleure approximation). Ta question m'a obligée à remonter aux sources. J'ai ainsi pu préciser que Taylor cherchait un développement en série plus qu'une approximation polynomiale. D'autre part, je me suis aussi aperçue que la date, presente en tête d'article depuis sa création, n'apparait nulle part et que la date de 1715 semble plus courante. j'ai donc modifié l'article dans ce sens. J'espère avoir été claire. N'hésite pas à modifier l'introduction si tu la trouves encore trop floue. HB (d) 9 mai 2010 à 14:17 (CEST)

Démonstration de Taylor-Young

Il me semble qu'il y a un problème : cette démonstration à l'aide de Taylor-Reste intégral demande une fonction ce classe C(n+1), hypothèse trop forte pour Taylor Young qui demande une fonction n+1 fois dérivable ... Globmax (d)

Il ne me semble pas : l'auteur de la démonstration est parti d'une fonction de classe Cn (c'est à dire la version de "J'intègre") et applique un développement en série de Taylor d'ordre n-1 avec reste intégral pour en déduire un développement en série de Taylor à l'ordre n avec reste en o(x-a)^n. Bon, il faut préciser, je pense, que cette démonstration n'est valide que pour une fonction de classe Cn et paspour une fonction seulement n fois dérivable en a. Il faut aussi préciser que la démonstration se fait pour n supérieur ou égal à 1. HB (d) 26 février 2009 à 14:46 (CET)

Oui, je voulais dire Cn / n fois dérivable et pas Cn+1 / n+1 fois dérivable. Bon, j'ai une démonstration qui ne demande pas cette hypothèse quelque part, j'essayerai de la mettre à un moment, merci Globmax (d)

Il est effectivement très préférable de donner une démonstration n'utilisant que l'hypothèse d'une dérivée n-ème en a et ceci d'autant plus que la démonstration par récurrence se fait par simple intégration, naturellement avec les précautions indispensables. Je vais me permettre de rédiger une telle démonstration. --Pedestre (d) 19 octobre 2011 à 12:11 (CEST)

Voilà. J'ai rajouté une démonstration avec la seule hypothèse de la n-dérivabilité en a --Pedestre (d) 20 octobre 2011 à 10:07 (CEST)

Merci mais juste une question (tout ceci est bien loin pour moi) : pourquoi la dérivée de f serait-elle continue sur tout un voisinage de a ? Je comprends bien qu'elle soit continue en a car dérivable en a mais pourquoi sur tout un voisinage ? Je n'ai pas de contrexemple sous la main mais je crois bien qu'il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas intégrable. Je crains qu'il n'y ait un hiatus à cet endroit (passage à l'intégrale indéfinie) et qu'il ne faille utiliser un théorème plus fort : une version générale du théorème des accroissements finis (tiens au fait l'article est à compléter dans le cas d'une fonction de R dans Rⁿ avec majoration et pas égalité). HB (d) 20 octobre 2011 à 15:18 (CEST)

Est-ce que tu cherchais comme contre-exemple la fonction définie par $f(x)=x^{2}\sin(1/x^{2})$ sauf en 0 où elle est prolongée par continuité ? Elle est dérivable en tout réel et sa dérivée n'est pas intégrable au voisinage de 0. Ambigraphe, le 20 octobre 2011 à 16:23 (CEST)

J'y ai bien pensé mais cela ne convient pas ici : il faut une fonction dont la dérivée soit non continue dans un voisinage de a mais continue en a (ce qui n'est pas le cas de celle-ci). . HB (d) 20 octobre 2011 à 16:53 (CEST)

Pardon, je n'avais pas compris ce que tu cherchais. Cela dit, si tu parles de la démonstration présente dans l'article, l'hypothèse de la continuité de f' est introduite en début d'hérédité, c'est-à-dire avec f supposée n fois dérivable en a et n>1 donc en particulier la dérivée de f est continue au voisinage de a. Ambigraphe, le 20 octobre 2011 à 17:21 (CEST)

Je trouve, comme HB, qu'il y a un pb. Par ex. si n=2, on suppose que f ' existe au voisinage de a et que f " existe au point a, donc f ' est continue au point a mais pourquoi le serait-elle au voisinage de a ? Je ne sais pas si c'est à rajouter dans les hypothèses ou si on peut modifier la preuve pour s'en passer.

(@HB:l'article en question est complet, via un lien interne vers ce que tu dis.) Anne Bauval (d) 20 octobre 2011 à 19:15 (CEST)

Ça y est, j'ai compris. Je propose alors la fonction définie par $g(x)=x^{4}\sin(1/x)^{2}\sin(1/\sin(1/x))$, prolongée par continuité. Elle est bien dérivable sur R et deux fois dérivable en 0 mais la dérivée n'est pas continue en tout inverse de multiple de pi. Ambigraphe, le 20 octobre 2011 à 21:03 (CEST)

Puisque nous ne pouvons prétexter que la dérivée est continue au voisinage de a, notons tout de même que la dérivation seconde en a nous assure que la dérivée simple est bornée au voisinage de a (et mesurable) donc intégrable et que la variation totale est majorée par la borne sur la dérivée et la taille de l'intervalle. La fonction f est donc absolument continue, CQFD. Ambigraphe, le 20 octobre 2011 à 22:10 (CEST)

┌─────────────────────────────────────────────────┘
yes ! Anne Bauval (d) 20 octobre 2011 à 22:26 (CEST)

mesurable (?) si vous le dites....mais si tout le monde est convaincu que la continuité n'est pas assurée pourquoi ne pas prendre la démonstration alternative figurant par exemple dans le Lelong-Ferrand qui me parait plus simple que la version d'ambigraphe : au lieu d'utiliser un argument de borné mesurable pour en déduire une majoration de la variation totale, pourquoi ne pas utiliser tout simplement l'Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles pour trouver cette majoration.(merci Anne d'avoir su retrouver dans l'article principal le lien vers cette petite page). HB (d) 20 octobre 2011 à 23:13 (CEST)

Oui, l'intégrabilité de la dérivée est intervenue dans mon raisonnement sur le papier mais on n'a pas besoin de le préciser dans la démonstration. Par ailleurs, j'ai sans doute loupé un épisode quelque part mais je ne vois pas ce que viennent faire les valeurs vectorielles là-dedans. Pour majorer les variations, j'utilise l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs réelles, non ? Ambigraphe, le 20 octobre 2011 à 23:23 (CEST)

Il me semble que c'est dans le contexte des fonctions de R dans un evn de dimension finie que Pedestre a choisi de placer sa démonstration : « Soit donc la fonction f définie sur un intervalle réel I à valeurs dans un espace normé E de dimension finie ». HB (d) 21 octobre 2011 à 07:36 (CEST)

Effectivement, tu as raison. Ambigraphe, le 21 octobre 2011 à 14:28 (CEST)

Oui, j'ai affirmé à tort la continuité de f' au voisinage de a (je pensais pouvoir éviter d'utiliser les accroissements finis, mais...). Je reprends la démonstration, mais ce n'est qu'une proposition --Pedestre (d) 21 octobre 2011 à 14:35 (CEST)

À quoi bon conserver la démonstration de la formule de Taylor-Young pour une fonction de classe Cⁿ ? Anne (d) 2 décembre 2012 à 12:45 (CET)

Effectivement, cette démonstration est devenue inutile. HB (d) 3 décembre 2012 à 08:28 (CET)

Formule de Taylor à plusieurs variables

dans l'état actuel de ce paragraphe, tout ce qui est dit est à enlever. il faut parler de myulti-indices, des coefficients multinomiaux, ... et expliquer que le k est en fait |k| cad la somme des multi-indices |k|=k1+k2+k3+...+kn (pour n variables) avec ki>=0... Bref, à enlever tant qu'on n'a pas une version satisfaisante.Claudeh5 (d) 20 août 2009 à 08:51 (CEST)

Assez d'accord, j'ai émis en avril 2007 des réticences concernant ces formules en attendant d'autres avis. Le tien me confirme que, si je ne comprends rien à la formule c'est qu'elle manque absoluement de rigueur. Donc à supprimer si personne ne sait la corriger. HB (d) 20 août 2009 à 08:57 (CEST)

ce n'est en fait pas faux sauf la première formule qui est mal écrite. Mais la correction est éprouvante ! voir Formule du multinôme de Newton pour avoir une idée des coefficients devant les dérivées partielles !Claudeh5 (d) 20 août 2009 à 12:49 (CEST)

Nettoyage effectué mais j'ai encore quelques doutes sur la notation o((x-a)²). Ne faudrait-il remplacer par o(||x-a||²) ? HB (d) 21 août 2009 à 14:33 (CEST)

Absolument. Corrigé.Claudeh5 (d) 21 août 2009 à 15:33 (CEST)

--Owkpro (discuter) 26 septembre 2019 à 12:10 (CEST) Il me semble qu'il faudrait effectivement parler de multi-indices et réécrire ainsi :
Soit une fonction $f:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R}$ $n$ fois différentiable en un point $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{p}$, alors elle admet en ce point un développement limité à l'ordre $n$, donné par

$f\left(\mathbf {a} +\mathbf {h} \right)=f\left(\mathbf {a} \right)+\sum _{1<\mid \alpha \mid \leq n}{\frac {\mathrm {d} ^{\alpha }f_{a}}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }+o\left(\|\mathbf {h} \|^{n}\right)$

où $\mathbf {h} ^{\alpha }$ désigne $\mathbf {h} ^{\alpha }=h_{1}^{\alpha _{1}}h_{2}^{\alpha _{2}}\dots h_{p}^{\alpha _{p}}$ avec $\mathbf {h} =(h_{1},h_{2},\dots ,h_{p})\in \mathbb {R} ^{p}$
où $\alpha$ dédigne $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{p})\in \mathbb {N} ^{p}$
et on note $\mid \alpha \mid =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{p}$
et $\alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\dots \alpha _{p}!$.
et enfin, $\mathrm {d} ^{\alpha }f_{a}=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\dots \partial _{p}^{\alpha _{p}}f_{a}={\frac {\partial ^{\mid \alpha \mid }f_{a}}{\partial ^{\alpha _{1}}x_{1}\partial ^{\alpha _{2}}x_{2}\dots \partial ^{\alpha _{p}}x_{p}}}$

--Owkpro (discuter) 26 septembre 2019 à 12:24 (CEST) De même, il faudrait modifier l'exemple en conséquence : faire apparaître les vecteurs en gras et mieux choisir le nom des composantes du vecteur de $\mathbb {R} ^{2}$

Adaptations apportées en décembre 2010

Sans modifier le fond, j'ai essayé de reprendre l'ensemble du texte pour lui donner une forme moins personnalisée et plus concise. Idem dans les démonstrations. J'espère ne pas avoir biaisé le travail précédent des créateurs de la page. --Jaccard (d) 25 décembre 2010 à 20:15 (CET)

démonstration

Bonjour, je n'ai rien contre les démonstrations par récurrence, mais elles enlèvent un peu le côté découverte, je suppose que taylor n'est pas partie d'une formule toute faite, ou bien alors l'a-t-il intuité?Klinfran (d) 31 août 2011 à 11:25 (CEST)

Je pense que cet article se concentre sur le théorème, ses démonstrations et ses généralisations, mais l'historique est donnée dans l'article sur Taylor : on peut y lire

« En fait, la première mention par Taylor de ce qui est appelé aujourd'hui théorème de Taylor apparaît dans une lettre que ce dernier écrivit à Machin le 26 juillet 1712. Dans cette lettre, Taylor explique clairement d'où lui est venue cette idée, c'est-à-dire d'un commentaire que fît Machin au Child's Coffeehouse, utilisant les « séries de Sir Isaac Newton » pour résoudre un problème de Kepler, et utilisant également « les méthodes de Dr. Halley pour extraires les racines » d'équations polynomiales. Il y a en fait deux versions du théorème de Taylor données sur le papier de 1715. Dans la première version, le théorème apparaît dans la Proposition 11 qui est une généralisation des méthodes de Halley d'approximation de racines de l'équation de Kepler, ce qui allait bientôt devenir une conséquence des series de Bernoulli. C'est cette version qui a été inspirée par les conversations du Coffeehouse décrites précédemment. Dans la seconde version se trouve le Corollaire 2 de la Proposition 7 et qui est une méthode pour trouver davantage de solutions des équations fluxionales dans les séries infinies. Taylor était le premier a découvrir ce résultat ! »

J'ai rajouté ces informations dans une note --Dfeldmann (d) 31 août 2011 à 12:30 (CEST)

Taylor-Cauchy et Taylor-Schlömilch

Bonjour. J'ai ajouté la formule du reste de Taylor-Cauchy. On pourrait aussi ajouter Taylor-Schlömilch, qui se trouve par exemple dans le même PDF que celui que j'ai déjà ajouté en ref. On retrouve également les deux dans Apostol, Calculus I, p. 284 (une des rares pages lisibles sur Amazon), et sur MathWorld. Arbautjc (d) 2 avril 2013 à 11:16 (CEST)

Commentaire du lecteur : On peut éviter la r...

62.147.205.211 a publié ce commentaire le 30 septembre 2013 (voir tous les retours).

On peut éviter la référence à la règle de l'Hôpital dans la preuve du lemme (formule de Taylor-Young), puisque l'inégalité des accroissements finis suffit dans le cas réel (comme dans le cas vectoriel, donc la distinction des cas est inutile). Peut-être peut-on fournir des exemples (exponentielle réelle, polynôme, etc.)

Avez-vous des remarques à formuler ?

Litlok (m'écrire) 23 février 2014 à 23:58 (CET)

Comme l'indique la démonstration, l'inégalité des accroissements finis suffit en effet dans tous les cas, mais dans le cas réel l'Hôpital existe et est exactement ce dont on a besoin, tandis que dans le cas vectoriel, le seul recours est l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles, bien plus subtile. Oui, des exemples seraient bienvenus WP:NHP. Anne (discuter) 24 février 2014 à 01:08 (CET)

Modification d'un lien externe vers un livre ancien

 Sinusix : tu viens de modifier un lien vers la bnf par un lien vers e-rara que je connais moins. Est-ce un site pérenne ? Mais tu as fait disparaitre aussi deux informations : le numéro de page (p 49) et l'origine de l'ouvrage. Il manque à l'ouvrage scanné sur e-rara les pages d'avertissements qui figurent sur le lien de la bnf (voir http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k86263h/f1.image) et qui précisent bien que c'est bien le 9e cahier du journal de l'école polytechnique . Le lien vers le théorème lui-meme http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k86263h/f62.image , chez moi fonctionne très bien. Comme je ne sais pas qu'est-ce qui est plus lisible (diapo de la bnf ou pdf de e-rara) je mets au moins l'ancien lien ici pour qu'il ne soit pas perdu. HB (discuter) 19 janvier 2015 à 08:21 (CET)

 HB : J'ai annulé cette modification. En effet hier Gallica m'a renvoyé une erreur sur ce lien, et du coup je pensais bien faire en mettant celui de e-rara pour le remplacer (trouvé sur le site de Gallica, qui pointe régulièrement vers e-rara et peut-être d'autres). Et comme il n'y avait pas cette information sur le cahier de l’École polytechnique, je l'ai retirée. Ce n'était qu'un problème temporaire, je n'ai plus cette erreur aujourd'hui. Sinusix (discuter) 19 janvier 2015 à 08:43 (CET)

Merci. On a maintenant sous le coude deux liens au lieu d'un, ce qui n'est pas plus mal. HB (discuter) 19 janvier 2015 à 09:03 (CET)