Discussion:Polynôme de Legendre

Bandeau et Introduction

Ok.j'ai changé le bandeau parce que je pense qu'il est plus approprié avec le sujet très particuliers que sont les polynômes de Legendre. Mais il faudrait que l'on m'explique pourquoi il était dans multiprojet? Quelqu'un pourait-il s'occuper de l'introduction?Charles 1 mars 2008 à 10:23 (CET)

Integrale de contour

Quelqu'un pourrait me dire si le contour de l'integrale doit etre pris dans le sens horaire ou trigonométrique? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par PCharles (discuter), le 2 mars 2008 à 00:43‎.

Orthonormalisation de Schmitt

C'est un peu utiliser un bazooka pour tuer une mouche, non ? Les polynômes sont déjà orthogonaux, il suffit juste de les diviser par leur norme pour qu'ils soient orthonormaux, ... Bref, j'ai enlevé Schmitt de l'article — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 132.207.60.27 (discuter), le 4/9/2008.

Ok ok , effectivement le terme bazooka était de rigueur ici , je voulais que mon premier article soit clair mais il est apparement beaucoup trop , huhm superflu (aucune explications,demonstrations, etc...) — Le message qui précède, non signé, a été déposé par PCharles (discuter), le 2/10/2008.

Matrice

J'aurais quand même gardé la matrice qui a été supprimée de l'article. Il faudrait juste montrer comment on la trouve, puis expliquer à quoi elle peut servir (regarder les propriétés de l'application telles que la bijectivité par exemple, et voir comment la rendre bijective...). Savenok (d) 9 avril 2010 à 19:15 (CEST)

Vas-y si tu peux mettre une référence "sérieuse", qui justifierait la pertinence d'un tel ajout dans une encyclopédie. J'avais de gros doutes (c'est un bête exo, mal rédigé, et qui ne figure pas dans la page anglaise). Je l'avais supprimée mais tu peux la récupérer via l'historique (dis-moi si tu as besoin d'explications pour faire ça), et l'améliorer. Je ne vois pas ce que tu entends par "la rendre bijective" : c'était juste la matrice de $P\mapsto ((X^{2}-1)P')'$ dans la base canonique de R_n[X], donc elle est diagonalisable, de valeurs propres les k(k+1) et de base propre les P_k, pour k de 0 à n (c'est pourquoi je ne vois pas bien l'intérêt ...). Anne 9/4/2010

Peut-être que cela permettrait de justifier l'existence du polynôme P_n dès sa définition? On ne peut pas utiliser de théorie des équa. diff, je pense, passer par les séries entières? Mais on peut déterminer les valeurs propres et voir que les espaces propres sont des droites, d'où l'existence et l'unicité si on impose une condition.

Au fait, P_n est plutôt le (n+1)ème polynôme, non?

J'ai un peu réfléchi aux démo., mais tout dépend si l'ordre actuel de présentation est définitif ou pas. Les formules sous forme de sommes découlent de la formule de Rodrigues, la relation de récurrence équivaut à la présentation à l'aide d'une fonction génératrice, mais l'ensemble me paraît encore mal structuré pour me lancer. Asram (d) 17 avril 2010 à 02:15 (CEST)

Bonjour J'avais prévu de mettre de l'ordre dans cette page-ci, mais seulement après avoir fini de peaufiner Polynômes orthogonaux, ce qui éviterait de répéter ici des démonstrations qui en fait sont générales, et bien structurées là-bas. Mais je ne suis pas encore mûre pour clarifier (toujours sans bouquins) l'actuel début de Polynômes orthogonaux#Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux. En tous cas, qu'on choisisse le même ordre que là-bas (avec existence justifiée par Gram-Schmidt) ou (moins confortable, je trouve) qu'on commence par l'équa dif comme ici actuellement (avec existence justifiée par Rodrigues), nul besoin de cette matrice. Anne 17 avril 2010 à 02:56 (CEST)

Pour les physiciens, je pense, c'est l'équa diff qui introduit ces polynômes, et cette approche n'est pas pour me déplaire. Il faudrait alors donner cette équa. diff. sans donner de solution, constater que la formule de Rodrigues donne une unique famille de solutions avec la contrainte imposée. Gram Schmidt me paraît disportionné ici (cela a été dit, je crois), même si on peut le citer: on ne veut pas de famille orthonormale. Il n'est pas interdit d'avoir ici une démarche différente de celle que tu envisages sur l'autre page, au contraire; tout se tient, et à partir d'un point de vue on atteint les autres, tout dépend de l'ordre d'écriture. Pouvoir renvoyer sur une page qui fait autrement me parait préférable à donner l'idée qu'il n'y a qu'une approche (qu'un ordre de raisonnement) possible, les sujets de concours des CPGE illustrent la latitude qui existe en ce domaine. Bref, ici, UNE méthode, ailleurs, une (proposition d')idée générale, mais rien n'autorise à penser que l'une des méthodes soit meilleure qu'une autre, d'autant que les méthodes ne demandent pas le même niveau mathématique. Asram (d) 17 avril 2010 à 03:17 (CEST)

Je suis d'accord pour cette diversité, donc je te laisse la main. Je ne suis pas d'accord avec ton "disproportionné" pour Gram-Schmidt : avec l'approche de Polynômes orthogonaux, ça aurait été au contraire exactement le bon outil, pour prouver instantanément en même temps l'existence mais surtout l'unicité (en remplaçant, bien sûr, "orthonormale" par "orthogonale+contrainte"), moyennant quoi Rodriguez, qui donne "une" solution, donne "la" solution. Je suis d'accord par contre avec les vieux commentaires plus haut sur Gram-Schmidt et les historiques correspondants : la maladresse qui a été supprimée était d'utiliser Gram-Schmidt pour rendre orthonormale une base qui était déjà orthogonale ! Anne 17 avril 2010 à 04:34 (CEST)

p.s. tu dis "celle que tu envisages sur l'autre page", mais c'est plutôt celle que j'ai constatée et appréciée, et que j'essaie juste de peaufiner. Tu dis aussi "une (proposition d')idée générale" mais c'est plutôt une démonstration complète (et élémentaire) dans le cas général. Ca ne me vexe pas puisque tout ça n'est pas de moi, c'est juste que je voudrais faire partager mon enthousiasme. Anne 17 avril 2010 à 12:24 (CEST)

Oki, si j'ai bien compris ton point de vue: tu veux un modèle type détaillé dans le cas général, et la page sur les polynômes de Legendre sera une illustration? Après tout, il en faut une, oki. Comme tu es en plein dedans, je te rends la main . Mais es-tu contre l'idée que sur une autre page de polynômes, on puisse faire autrement, ou d'après toi toutes les pages sur les polynômes seront-elles des applications de la page générale que tu veux améliorer? Asram (d) 17 avril 2010 à 12:34 (CEST)

J'ai repris ma démo. sur la PdD de Polynômes orthogonaux, en essayant de généraliser. Je n'ai pas osé parler de matrice par restriction . Asram (d) 17 avril 2010 à 21:47 (CEST)

Passage au singulier

Il ne s'agit certes pas d'un point fondamental, mais je suis très sceptique sur le passage au singulier de cette page. On parle bien "des" polynômes de Legendre, une famille de polynôme orthogonaux, et non "du" polynôme... après tout il y en a une infinité! Toutes les autres WP de langues dont je peux distinguer le pluriel l'utilisent, et j'ai toujours entendu parler de ces polynômes, comme de tous les autres polynômes orthogonaux, au pluriel. C'est comme cela qu'on les trouve dans toutes les références que je connais, en français comme en anglais. Lorsque l'on parle d'un polynôme en particulier, on dira plutôt "le polynôme... d'ordre n ...". Donc je pense qu'il faut revenir au pluriel, toutefois pour ne pas faire "guerre d'édition" j'en parle d'abord sur la PDD... Sguerin (discuter) 4 juin 2018 à 20:04 (CEST)

Répondu sur Discussion:Polynôme de Tchebychev Valvino ^(discuter) 5 juin 2018 à 00:35 (CEST)

Et réponse à la réponse sur la même page... Sguerin (discuter) 5 juin 2018 à 00:48 (CEST)

Orthogonalité

Je ne comprends pas bien l'intérêt d'introduire un Produit salaire à poids ici. Les Polynômes de Legendre sont orthognaux pour Le P.S. de L2 standard. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Aximab (discuter), le 24/1/2020.

J'étais du même avis avant même de vous lire, et j'ai viré hier cet ajout du 1/2/2016. Anne, 13/2/2022

Activité éphémère

Chère Anne, j'ai constaté que vous avez procédé de façon unilatérale et sans m'en avertir à des modifications concernant certaines de mes contributions. Partant, je vous avise avoir pris la décision de ne pas adhérer à un tel fonctionnement, ce qui se traduira désormais par un arrêt total de ma participation. Je vous souhaite une excellente continuation et vous adresse mes salutations les plus sincères. jesupprimemoncompteYannistriantaphylides 13 février 2022 à 01:32 (CET)

J'ai en effet supprimé votre autopromo dans cette page-ci (qui n'y a rien perdu). Je vois que vous avez fait le même genre d'ajouts dans Intégrale de Riemann, Intégrale de Darboux et Intégration (mathématiques) mais surtout que vous avez désorganisé ces articles. Je vais m'atteler dans les jours qui viennent à réparer tout ça, à moins que d'autres s'en chargent. Anne, 13/2/2022 à 10 h 41

p.s. Yannistriantaphylides = Compte renommé Utilisateur:PubliMath à 13 h 28.

Chère Anne Bauval,

Votre message littéralement rapporté "J'ai en effet supprimé votre autopromo dans cette page-ci (qui n'y a rien perdu). Je vois que vous avez fait le même genre d'ajouts dans Intégrale de Riemann, Intégrale de Darboux et Intégration (mathématiques) mais surtout que vous avez désorganisé ces articles. Je vais m'atteler dans les jours qui viennent à réparer tout ça, à moins que d'autres s'en chargent. Anne, 13/2/2022 à 10 h 41" attire toute mon attention.

Tout d'abord je me réjouis de constater que vous travaillez rubis sur l'ongle pour obtenir la meilleure organisation des articles.

Quant à ma présupposée autopromotion, il ne me semble pas que proposer gratuitement la lecture de contenus techniques et ouvert à tous, sans aucune contrepartie, soit en violation de ce que votre encyclopédie demande : citer ses sources, ce que j'ai fait. Sachez Chère Madame, que je n'ai pas vocation, comme vous le dites, à désorganiser vos articles dans la mesure où le contenu technique était proposé en lecture annexe.

Au delà du malheureux malentendu que vous avez initié, je vous rappelle que, dans tout projet collaboratif, il ne vous appartient pas d'utiliser des qualificatifs dédaigneux à l'encontre d'autres contributeurs. Les autres messages en attestent et témoignent d'une attitude impolie et particulièrement virulente qui dépasse l'acceptable, même pour des personnes de la plus grande indulgence. Et cela, je l'avoue, est totalement décourageant.

Partant, j'ai dû déplorer votre comportement et je suis étonné de voir que vous n'avez pas trouvé bon de conserver les quantificateurs dans les énoncés mathématiques, ce qui ne donnerait pas une image positive de votre démarche, ni du sérieux que le lecteur serait en droit d'attendre de la part de personnes qui revendiquent vouloir diffuser un savoir encyclopédique, nonobstant les nombreuses approximations que vous tolérez et qui amoindrissent le contenu.

De plus, vous avez conservé le suc de mes contributions, notamment les deux suivantes : l'ajout du coefficient dominant pour les polynômes de Legendre que vous avez conservé, ainsi que le caractère scindé de tous les polynômes de Legendre dont le degré est supérieur ou égal à 1.

Vous voudrez bien, au demeurant, expliquer pourquoi de telles racines appartiennent toutes à l'intervalle ouvert ]-1,1[, explication qui était donnée pour le lecteur et que vous semblez avoir supprimée sans justification et sans aucun fondement, y compris les références externes, ce qui témoignerait de votre inconséquence face à des critiques constructives. Vu la tournure des événements, je vous laisse donc le soin de citer les références d'un ouvrage de votre choix qui en fait état. 2A01:CB1C:48C:E700:6497:10D9:21A0:27C3 (discuter) 17 février 2022 à 11:24 (CET)

Calcul de la norme

Cet ajout d'IP de septembre 2009 a été mis en forme depuis (principalement le 8/4/2010), mais cette (jolie) preuve reste incomplète et surtout insourçable. J'ai ajouté des refs et liens vers des preuves plus standard. Je propose de virer celle-ci. Anne, 13/2/2022 à 11 h 03

Définition en tant que solution de l'équation de Legendre

Chère Anne, j'ai constaté que vous avez procédé à des modifications concernant certaines de mes contributions. Je reconnais avoir des problèmes d'orthographes et que certaine de vos reformulerions rendent le propos plus clair. Cependant vous persistez à publier un résultat qui me semble faux. Admettons que la positivité à partir d'un certain rang soit évident vous ne pouvez pas conclure de la nullité d'une série en utilisant le critère de Gauss (ou alors vous faites références au cas où l'une des conditions initiales est nulles mais dans ce cas je ne trouve pas que c'est clairement exprimé). Quand bien même vous le pourriez l'argument ne serait pas terminé puisque la somme de deux séries divergentes n'est pas forcément divergentes. De plus il est VRAI que dans le cas où α n'est pas entier les 2 séries divergent (sauf si les CI sont nulle bien sur), c'est d'ailleurs la conclusion du critère de Kummer (ou de Gauss si vous voulez). Alors certes le travail nécessaire pour pouvoir conclure est lourd et peut être qu'il n'as pas sa place ici mais vous refusez de laisser le lien vers un PDF qui explique tout en détails. Certes j'ai moi même écrit ce document mais c'est, il me semble, la seule source pour ce calcul, si vous en connaissez une autre je vous laisse la citer, mais j'avoue avoir beaucoup cherché avant de rédiger ce document.

Si vous avez en tête une formulation plus concise je vous en prie et si je me trompe quand j'affirme que votre démonstration est fausse s'il vous plait dite moi quelle est mon erreur. Valkil07 (discuter) 15 août 2022 à 00:13 (CEST)

 Anne et Valkil07 :. Permettez à un prof de base d'intervenir dans votre débat de spécialistes mais il y a un point clef que je ne comprends pas concernant l'utilisation de la règle de Gauss, pointant vers la règle de Kummer dans l'article Règle de Raabe-Duhamel. Eliminons dans un premier temps, les cas des suites nulles (a0 ou a1 nul) ou nulles à partir d'un certain rang (α entier) et considérons que la règle de Raabe-Duhamel s'applique à toute suite de réels non nuls de signe constant. Il se trouve que la règle dit que si :${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=1-{\frac {L}{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)$ avec L > 1 alors la série converge. Si je lis l'argument de la note de bas de page, on dit que ${\frac {a_{n+2}}{a_{n}}}={\frac {n(n+1)-\alpha (\alpha +1)}{(n+1)(n+2)}}=1-{\frac {2}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$. Nous sommes alors dans le cas de la règle de Raabe-Duhamel avec L=2>1 donc les séries (des termes de rang pair et des termes de rang impair) seraient convergentes (et non divergentes). Comme vous semblez sûrs de vous sur ce point, il doit y avoir quelque chose qui m'échappe...HB (discuter) 15 août 2022 à 09:24 (CEST)

PS à Valkil07: La déontologie sur WP veut qu'un contributeur ne pointe pas vers ses propres écrits pour sourcer, la prudence pour les autres utilisateurs est de se méfier des textes publiés à compte d'auteur et n'étant pas passé par le filtre d'un publication avec relecture. HB (discuter) 15 août 2022 à 09:24 (CEST)

 Valentin : les raisons qui m'ont fait (ici puis dans Loi normale et Marche aléatoire) annuler vos modifications sont (dans l'ordre) :

• l'autopromotion (cf. WP:PUB) ;
• l'abondance de fautes d'orthographe, sur Wikipédia mais surtout dans vos documents ;
• le WP:TI parfois (comme ici, jusqu'à ce qu'on trouve un bouquin racontant la même chose) ;
• la lourdeur. Avant votre dernière intervention dans l'article (qui introduisait une erreur — en prétendant en corriger une ! — en niant que chacune des 2 sommes peut être nulle), tout m'a semblé correct, mais facile à résumer en quelques lignes.

Pour en venir aux 2 non-dits qui vous chagrinent :

• oui, je sous-entend bien ce que vous indiquez entre parenthèses, puisque je n'exclus nulle part ce cas : « (ou alors vous faites références au cas où l'une des conditions initiales est nulles… ) », « (sauf si les CI sont nulle bien sur) ». Vu la relation de récurrence et le critère de Gauss, on ne peut pas interpréter autrement mon « chacune des deux sommes est soit nulle, soit infinie », qu'il ne faut surtout pas remplacer par votre « chacune des deux sommes diverge » ;
• oui, « la somme de deux séries divergentes n'est pas forcément divergentes », mais non, « le travail nécessaire pour pouvoir conclure [n']est [pas] lourd » ; il me semblerait même exagérément détaillé, par rapport au niveau général de cet article, de rappeler que si A ou B est infini alors l'une au moins des deux formes A + B ou A – B n'est pas indéterminée et est aussi infinie.

 HB : ${\frac {a_{2(k+1)}}{a_{2k}}}=1-{\frac {2}{2k}}+O\left({\frac {1}{(2k)^{2}}}\right)=1-{\frac {1}{k}}+O\left({\frac {1}{k^{2}}}\right)$. De même, ${\frac {a_{2(k+1)+1}}{a_{2k+1}}}=1-{\frac {1}{k}}+O\left({\frac {1}{k^{2}}}\right)$. Donc dans les 2 cas, le critère de divergence de Gauss s'applique.

Anne (discuter) 15 août 2022 à 09:45 (CEST)

Bonjour,

Pour HB

Il faut faire attention parce que la série des a_n avance de 2 en 2, si vous faites le changement de variable pour la ramener à une suite qui va de 1 en 1 le 2/n devient un 1/p et vous vous retrouvez dans le cas indécidable da la Règle de Raabe-Duhamel. Valkil07 (discuter) 15 août 2022 à 09:53 (CEST)

Merci à vous deux... je venais corriger ma bêtise mais vous avez été plus rapide. . HB (discuter) 15 août 2022 à 09:57 (CEST)

D'après moi vous excluez le cas de la solution nulle quand vous dites "Il est possible de trouver des solutions non nulles". A partir de là ce cas est traité et n'est plus à prendre en compte.

Le critère de Kummer est en même temps plus élémentaire et plus puissant que le critère de Gauss, donc il est étrange de choisir d'utiliser le critère de Gauss (même si d'accord ça marche).

Mon document est surement remplis de faute pour l'instant mais en attendant c'est les maths de ce document que vous recopiez dans la note. De plus l'orthographe sera relu d'ici peu.

C'est toujours facile d'évacuer les difficultés techniques en les qualifiants d'évidentes, pourtant c'est comme cela que l'on introduit des erreurs, si les détails n'ont pas leur place ici renvoyer vers un endroit où cela est fait me semble nécessaire.

Il est ridicule de parler d'autopromo, je n'ai rien à vendre et je ne fais la promotion de rien du tout. Surtout que vous ne fournissez pas une source indépendante pour ce résultat mais préférez l'absence de source.

Je constate cependant en lisant les discussions précédentes qu'il est habituel chez vous de supprimer les sources et d'enlever des détails importants. Je maintiens qu'il est nécessaire de fournir une source avec tous les détails je vous laisse en trouver une. Mais si, a chaque fois que l'on vous signale un argument manquant/pas clair, vous affirmez de manière péremptoire que ce point est évident alors la discussion ne mènera jamais à rien et je vais m'arrêter là. Je souhaitais juste apporter les détails que j'aurai aimé trouver il y a quelques mois sur cette page mais j'en ressort déçus de constater que certain contributeur agisse de sorte à rendre les pages wikipedia inaccessible au plus grand nombre.

Valkil07 (discuter) 15 août 2022 à 10:10 (CEST)

• Attention : j'ai exclu les solutions nulles mais, j'insiste à nouveau, pas les solutions dont seulement les coefs pairs (ou seulement les coefs impairs) sont nuls ! (et pour cause : les $P_{n}$ en font partie).
• Il est plus naturel d'utiliser le critère de Gauss puisqu'il suffit et qu'il est, contrairement à ce que vous affirmez, plus élémentaire que celui de Kummer. C'est d'ailleurs ce que fait la source Leroyer-Tesson que je viens d'ajouter.
• Je n'ai pas « recopié les maths de [votre] document dans la note » : j'ai lu seulement les p. 5-6, que j'ai très largement élaguées et reformulées (à tel point que vous n'y reconnaissez même plus vos petits).
• Le renvoi vers la source Leroyer-Tesson nous dispense à présent de cacher la forêt (les « détails importants », que je n'« enlève » pas, bien au contraire) par quelques arbres (les évidences, qu'un lecteur motivé aura plaisir à trouver lui-même). Nous pourrions même nous passer complètement de démonstration car tel n'est pas le rôle d'une encyclopédie.
• Il n'est aucunement « habituel chez [moi] de supprimer les sources » : je fais systématiquement l'inverse ! Mais votre document n'en était pas une, pas plus que celle de l'intervenant d'#Activité éphémère : cf. WP:SQ.
• Quant à l'autopromo, même si le mot ne vous plait pas, retenez l'idée (cf. fin du message ci-dessus de HB à 9 h 24).

Anne, 14 h 21