Intégrale de Darboux

En analyse réelle, une branche des mathématiques, l'intégrale de Darboux est construite avec les sommes de Darboux et est une des définitions de l'intégrale d'une fonction. Les intégrales de Darboux sont équivalentes aux intégrales de Riemann, c'est-à-dire qu'une fonction est Darboux-intégrable si et seulement si elle est Riemann-intégrable, et que ses intégrales de Darboux et de Riemann sont alors égales. La définition de l'intégrale de Darboux a l'avantage d'être plus simple à implémenter dans les calculs ou les preuves que l'intégrale de Riemann. Par conséquent, les manuels d'introduction en analyse développent l'intégrale de Riemann à partir de celle de Darboux, au lieu de la véritable intégrale de Riemann[1]. De plus, la définition est facilement extensible vers l'intégration de Riemann-Stieltjes[2]. Les intégrales de Darboux portent le nom de leur inventeur, Gaston Darboux.

DéfinitionModifier

La définition de l'intégrale de Darboux considère les intégrales (de Darboux) supérieure et inférieure, bien définies pour toute fonction à valeurs réelles bornée f sur l'intervalle [a , b]. L'intégrale de Darboux existe si et seulement si les intégrales inférieure et supérieure sont égales. Les intégrales inférieure et supérieure sont les limites respectives des sommes de Darboux inférieure et supérieure qui sous-estiment ou sur-estiment l'aire sous la courbe. Plus concrètement, pour une subdivision donnée de l'intervalle, les sommes de Darboux représentent la somme des aires des tranches rectangulaires dont les hauteurs sont prises respectivement aux suprema et aux infima de f sur chaque sous-intervalle de la subdivision.

Sommes de DarbouxModifier

Pour la subdivision (xi) de l'intervalle [a , b] notée

 ,

chaque intervalle [xi−1, xi] est appelé un sous-intervalle de la subdivision.

Soit f: [a, b] → ℝ une fonction bornée, et soit   une subdivision de [a , b]. On pose

 
 
Sommes de Darboux inférieure (en vert) et supérieure (vert et gris) sur quatre sous-intervalles.

La somme de Darboux supérieure de f selon P est

 

La somme de Darboux inférieure de f selon P est

 

Par abus, on les désigne plus simplement comme les sommes supérieure et inférieure.

Par construction, Lf,P ≤ Uf,P.

Intégrales de DarbouxModifier

On définit l'intégrale de Darboux supérieure de f :

 

De même, on définit l'intégrale de Darboux inférieure de f :

 

Dans certains ouvrages, un symbole intégral souligné ou surligné représentent les intégrales de Darboux inférieure et supérieure :

 

et le même abus de langage fait sur les sommes de Darboux peut être fait sur les intégrales.

Par construction, on a toujours Lf ≤ Uf.

Lorsque Lf = Uf, cette valeur commune est appelée intégrale de Darboux[3]. On dit alors que f est Darboux-intégrable ou simplement intégrable et l'on pose

 

Un critère équivalent et parfois utile pour démontrer qu'une fonction f est Darboux-intégrable est le suivant[1],[4] : pour tout réel ε > 0, il existe une subdivision Pε de [a, b] telle que

 .

PropriétésModifier

Bornes

La somme de Darboux inférieure est minorée par le rectangle de largeur (ba) et de hauteur inf(f) sur [a, b]. De même, la somme supérieure est majorée par le rectangle de largeur (ba) et de hauteur sup(f).

 .
Relation de Chasles

Pour tout c en (a, b)

 
Quasi-linéarité

Les intégrales de Darboux inférieure et supérieure ne sont pas nécessairement linéaires. Supposons g:[a, b] → R une fonction bornée, on a alors les inégalités :

 

Cependant, on a bien, pour tout c ≥ 0 constant

 

Cependant, si on a c ≤ 0, alors

 

On considère la fonction :

 

alors F est Lipschitz-continue. Un résultat identique est vérifié pour F définie à partir de l'intégrale de Darboux supérieure.

ExemplesModifier

Une fonction Darboux-intégrableModifier

La fonction f(x) = x est Darboux-intégrable sur tout intervalle [a , b].

On considère la subdivision Pn de [a, b] en n sous-intervalles de même longueur (b-a)/n.

Comme f est strictement croissante, les infimum sur tout sous-intervalle sont atteints en a+(b-a)(k-1)/n, et les supremum y sont atteints en a+(b-a)k/n. Ainsi

 

et

 

On a alors

 

Alors pour tout ε > 0, en choisissant une subdivision Pn avec   satisfait

 

ce qui prouve que f est Darboux-intégrable. La valeur de l'intégrale est alors

 
Sommes de Darboux
Sommes de Darboux supérieures pour la fonction y = x2
Sommes de Darboux inférieures pour la fonction y = x2

Une fonction non intégrableModifier

On considère la fonction indicatrice des rationnels sur [0, 1] :

 

Comme les ensembles des nombres rationnels et irrationnels sont tous deux denses dans ℝ, sur tout sous-intervalle de toute subdivision P, la fonction prend les valeurs 0 et 1 donc

 

si bien que les intégrales de Darboux inférieure et supérieure sont

 

Comme elles sont différentes, la fonction n'est pas Darboux-intégrable.

Raffinement d'une subdivision et lien avec l'intégrale de RiemannModifier

 
En passant à un raffinement, la somme inférieure augmente et la somme supérieure décroit.
  • Si P est un raffinement d'une subdivision Pε, alors
     .
  • D'autre part, sur une subdivision donnée, les sommes de Riemann sont comprises entre les sommes de Darboux inférieure et supérieure correspondantes. Formellement, si P = (x0, ..., xn) et T = (t1, ..., tn) forment ensemble une subdivision marquée : (comme dans la définition de l'intégrale de Riemann), alors la somme de Riemann de f correspondant à P et T, ,vérifie : .

De ces deux remarques, on tire que les intégrales de Riemann sont au moins aussi fortes que les intégrales de Darboux : si l'intégrale de Darboux existe, alors celle de Riemann existe aussi et lui est égale[5], c'est-à-dire [6],[7] que pour tout réel ε > 0, il existe une subdivision Pε de [a, b] telle que pour tout raffinement P de Pε et tout marquage T de P,

 .

Réciproquement[5], pour toute subdivision de [a, b], il existe des raffinement marqués dont les sommes de Riemann associées sont arbitrairement proches des sommes de Darboux inférieure et supérieure et par conséquent, si l'intégrale de Riemann existe, alors celle de Darboux existe aussi et lui est égale.

Remarque. La définition de l'intégrabilité de Riemann utilisée ci-dessus est équivalente[8] à la suivante, plus courante : une fonction bornée f: [a, b] → ℝ est Riemann-intégrable, d'intégrale I, si pour tout réel ε > 0, il existe un réel δ > 0 tel que, pour toute subdivision marquée (P, T) de l'intervalle [a, b] de pas inférieur à δ, la somme de Riemann associée vérifie :

 .

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Darboux integral » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b (en) Michael Spivak, Calculus, Publish Or Perish, , 3e éd. (lire en ligne), chap. 13.
  2. (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, New York, McGraw-Hill, , 3e éd. (ISBN 007054235X, lire en ligne  ), p. 120-122.
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Darboux Integral », sur MathWorld.
  4. Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques - Tout-en-un pour la Licence 2, Dunod, , 3e éd. (lire en ligne), p. 645 (corollaire 33).
  5. a et b (en) James K. Peterson, Basic Analysis, vol. IV : Measure Theory and Integration, CRC Press, (lire en ligne), p. 63-65.
  6. Peterson 2020, p. 55.
  7. (en) Tom M. Apostol, Mathematical Analysis, Pearson, , 2e éd., p. 141, Def. 7.1.
  8. Cette seconde définition implique clairement la première. Pour la réciproque, voir Apostol 1974, p. 174-175 (exercice 7.4). Pour l'implication directe « Darboux ⇒ seconde définition de Riemann », voir Jean-François Burnol, « Notes d'un cours de DEUG à l'université de Lille, reproduisant le texte de Riemann » (p. 7-8).

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier