Discussion:Nombre ordinal

Dans l'état actuel, cet article est redondant avec Nombre transfini. Mais je pense que dans l'avenir, il serait bon d'avoir des articles différents pour ordinaux et cardinaux. C'est pour ça que j'ai préféré garder cet article et de le développer suivant une certaine direction, plutôt que de le retransformer en simple REDIRECT vers Nombre transfini. Donc, oui, c'est un travail inachevé, mais, SVP, ne supprimez pas ce doublon avant que toutes les informations pertinentes ne soient transférées depuis Nombre transfini (article qui pourra alors évoluer vers des considérations plus générales sans avoir à définir ce que sont les ordinaux et les cardinaux, et énoncer leurs propriétés élémentaires ... enfin j'espère que cette démarche a un sens). Mais peut-être quelqu'un aurait-il une organisation plus pertinente à suggérer ? --Ąļḋøø 4 déc 2004 à 14:56 (CET)

Je pense également qu'il serait bon d'avoir la structure suivante :

• Nombre transfini (regroupant rapidement la notion d'ordinal et de cardinal et renvoyant aux deux articles suivants).
• Nombre ordinal, le présent article
• Nombre cardinal (provenant de la fusion de nombre cardinal et de cardinalité)

Theon 19 février 2006 à 21:06 (CET)

Traduction depuis l'anglais ?

L'article en anglais sur le sujet vient d'être très largement réécrit (surtout par moi), et je pense qu'il est maintenant de bonne qualité. Il me semble que ce serait une bonne idée de refaire à zéro cet article en français en traduisant depuis l'anglais. Pour ma part, après avoir passé une semaine sur l'anglais, je n'ai vraiment pas l'envie ou le courage de recommencer en français, mais si un traducteur fait le boulot, je suis prêt à relire. --Gro-Tsen 19 février 2006 à 23:35 (CET)

Il est effectivement très complet. Mais c'est un gros travail de le traduire. Je pense qu'il vaudrait mieux le traduire petit à petit en l'incorporant dans l'article présent. Dans un premier temps, je peux me charger de la partie arithmétique. Theon 28 février 2006 à 18:53 (CET)

Oui, peut-être presque trop complet, même (il y eu un peu de surenchère dans le « et je rajoute encore une petite précision »). Je suggérerais plutôt de tenter la traduction/fusion dans l'ordre de l'article (notamment l'introduction, que j'espère ne pas avoir trop mal réussie, est certainement ce qu'il y a de plus important) ; mais bon, c'est celui qui fait qui a raison. --Gro-Tsen 28 février 2006 à 23:02 (CET)

Ensemble "réductible"

D'où sort cette terminologie ? Jamais entendu parler. Si je ne m'abuse, c'est équivalent à "d'adhérence dénombrable". En revanche, question terminologie, il faudrait au moins quelque part mentionner le nom de Cantor (il n'apparaît nulle part dans l'article !), parce que, là, la construction itérée des points d'accumulation c'est justement ce qui a conduit à l'introduction des ordinaux (c'est ce que Cantor cherchait à prouver), et le théorème ainsi démontré est celui de Cantor-Bendixson (tout fermé dans la droite réelle — ou sans doute dans n'importe quel espace polonais — est réunion d'un ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable) et l'ordinal <ω₁ à partir duquel stationne la construction s'appelle le rang de Cantor-Bendixson. --Gro-Tsen 21 mars 2006 à 19:11 (CET)

Sur la terminologie ensemble réductible, elle est utilisée par Baire. Voir également http://www.library.uu.nl/digiarchief/dip/diss/2004-0303-084333/c1.pdf. Sur les ensembles dérivés, il faut bien sûr citer Cantor, qui s'est lancé là-dedans en étudiant la convergence des séries de Fourier. J'avais l'intention de compléter l'article sur ce point et n'ai pas encore eu le temps de le faire, me contentant pour le moment d'une simple allusion. Sur le théorème de Cantor-Bendixson, il serait peut-être mieux placé dans l'article ensemble parfait. Autre complément possible pour le présent article, l'utilisation des ordinaux en topologie, source de multiples exemples et contre-exemples Theon 22 mars 2006 à 10:00 (CET)

Variante de l'ordre de Sarkovski

Vraiment une bonne idée! Merci, je vole ça pour divers buts néfastes. Petit détail: il s'agissaitt de w^2 + 1, tandis que l'image réprésente w^2. Ce serait peut-être mal compris. -Daniel 10 mai 2006 à 22:26 (CEST)

Le passage "il occupe une position notée ω. 2 × 3 est l'élément qui suit ω et occ" n est pas clair: est ce " ω. 2 × 3" la formule ou "w", un point, et une autre phrase "2*3 ..." ?

zorgi

La phrase "il occupe une position notée [formule] est l'élément qui suit..." n'a aucun sens. Il s'agit bien évidemment de "il occupe une position [formule]. [une autre formule] est l'élément qui suit". Un point désigne un point :-). Le produit est indiqué par une croix ou par l'absence totale de symbole. Mais le texte sera effectivement plus lisible en mettant quelques retours à la ligne. Theon 30 mars 2007 à 09:38 (CEST)

Remarques

Cet article est bien mais il ne parle pas de définition par récurrence sur un ordinal, ou sur la classe des ordinaux (on définit une classe), très utilisée en théorie des ensembles (hiérarchie de von Neuman par ex.).

Il me semble qu'il faudrait aussi préciser que la première définition, qui est en gros celle de Cantor (ordinal comme type d'ordre), ne fonctionne pas bien en théorie des ensembles style ZFC, car les classes d'équivalences sont des classes propres (donc on ne peut pas parler de la classe des ordinaux par ex.). Proz 26 juillet 2007 à 01:15 (CEST)

Récurrence transfinie

Ne doit-on pas initialiser la récurrence transfinie ?

VictorVVV (d) 28 mai 2009 à 20:57 (CEST)

L'exemple de l'intro

Il est (un peu) confusionnant que l'ensemble sous-jacent au bon ordre qui est présenté soit l'ensemble des entiers naturels non nuls, qui est par ailleurs usuellement muni d'un autre bon ordre. Et si on le remplaçait par NxN (muni de l'ordre lexico) ? Anne Bauval (d) 14 juin 2010 à 15:17 (CEST)

J'avais envisagé, sans clairement me prononcer. Je t'approuve plutôt, ça lèverait sans doute une partie des incompréhensions manifestées par Camion. Allez j'exécute, on pourra toujours me réverter. Touriste (d) 14 juin 2010 à 15:30 (CEST)

Paragraphe introduction

La mention des adjectifs cardinaux / ordinaux est juste introductive, le sujet est la notion mathématique. Zero-ième est rare. Pas de raison non plus de mettre en valeur une différence qui n'a pas de correspondance en math. La version initiale du 26/09/2011 était claire. Proz (d) 5 septembre 2011 à 19:56 (CEST)

(Tu veux dire du 26/08.) Ma dernière mise en forme répondait juste à ce commentaire, dans lequel tu parlais du nombre ordinal 0 dont il n'est pas question dans cette phrase. J'aurais mieux compris, comme commentaire, qqchse comme : « cohérence avec l'ajout de zéroième ». L'adjectif ordinal zéroième est rare en effet (donc mérite sa source), mais puisqu'il correspond justement à l'incontournable nombre ordinal 0, mieux vaut àma le mentionner plutôt que l'omettre/digresser, comme avant/après ça. M'étant expliquée ici, j'ai retiré là-bas mes liens redondants qui, je suis d'accord, étaient malvenus. Anne Bauval (d) 5 septembre 2011 à 20:40 (CEST)

Oui, 26/08/2011. Je n'es pas été assez explicite : le sujet étant les nombres ordinaux, je ne trouve pas que ça vaille la peine de mettre en valeur une différence entre les adjectifs numéraux et cardinaux (zeroième est malgré tout beaucoup plus rare que zero), qui n'a pas d'équivalent en math., d'où ma suppression, le commentaire, et cette remarque. Je n'ai rien voulu dire sur les liens (mais effectivement ils sont redondants). La version actuelle convient aussi si elle ne pousse pas à gloser sur zeroième. Remarque annexe : Cantor commençait les ordinaux à 1. Proz (d) 5 septembre 2011 à 21:13 (CEST)

Ok avec cet accord, maintenant pour pinailler sur ce sujet peu important 1/ p.-e. par erreur j'aurais plutôt tendance à dire (et avoir entendu dire ?) que 0 est le 1er nb ordinal, 1 le 2ème, etc. Un peu comme le début de l'ère chrétienne commence avec l'an un. Qu'en pensez-vous ? 2/ avec tout le respect que j'ai pour le CNRTL qui le dit en effet, j'ai du mal à voir "zéorième" comme un hapax, même au moment de la rédaction de leur article. D'ailleurs un dictionnaire d'hapax est soit un dictionnaire de mots inventés soit est +- autocontradictoire, non ? --Epsilon0 ε₀ 5 septembre 2011 à 21:41 (CEST)

Arithmétique ordinale

Il me semble que la notation soustractive n'est pas très utilisée, elle n'est parfois même pas citée, voire on voit la soustraction utilisée de façon incompatible (alpha -1 pour le prédécesseur d'un ordinal successeur, ex. Kunen), bref ça me semble à laisser intégré au paragraphe addition, en mentionnant la propriété, et que parfois on note beta - alpha l'unique gamma tel que ...

Pour la "division euclidienne" c'est un peu pareil.

Tout ça n'est pas essentiel, mais il s'agit de bien hiérarchiser et de ne pas mettre au même niveau les opérations essentielles et le reste. Ca me semble d'ailleurs correspondre en gros à ce que j'observe dans les bouquins de théorie des ensembles (après avoir jeté un coup d'oeil). Proz (d) 31 octobre 2012 à 20:49 (CET)

Réponse au message en boîte de résumé du 4 novembre 2012 à 20h41 : les auteurs de l'article, même s'ils n'ont pas donné de source explicite, ont essayé d'être utile aux lecteurs, et il s'avère qu'ils ont suivi ce que l'on lit dans les bouquins de théorie des ensembles, où les 3 opérations essentielles sont l'addition, la multiplication, et l'exponentiation. On pourrait sûrement améliorer en explicitant les sources, mais pas en exploitant ceci pour broder et mettre en avant des définitions qui ne le sont pas dans la littérature. Là pour ce que j'ai corrigé à propos de la "division euclidienne" (rmq : on voit la propriété mentionnée, elle peut servir pour la mise sous forme normale de Cantor, sans même parler de division euclidienne, cf. Jech Set Theory, ou Jech Hrbacek Introduction to set theory), c'était devenu faux, mais même juste, tout ce qui est correct n'est pas à dire surtout dans un article de synthèse. Avant d'écrire "est appelé" (quotient par ex.) pour quelque chose d'au minimum pas très répandu, il faut se poser des questions. Proz (d) 5 novembre 2012 à 01:24 (CET)

Si tout ça n'est pas essentiel, pourquoi avoir changé l'article ? La preuve de l'existence de la division euclidienne est correcte et courte, c'est dommage de ne pas la mettre. D'autre part, on peut utiliser un nombre fini de fois la division pour construire la forme normale de Cantor, mais c'est assez maladroit. Plus directement, on observe que α < β^α entraîne que α est isomorphe à un segment initial [0, f [, avec f une fonction à support fini de α dans β. Ensuite, on voit que le segment [0, f [ est isomorphe à $\sum _{x\in {\text{Supp }}f}\beta ^{x}f(x)$, la somme étant prise dans l'ordre décroissant du support de f. Cette somme est la forme normale de Cantor de α en base β (comme par exemple décrit ici: http://planetmath.org/CantorNormalForm.html). Vincent Semeria (d) 6 novembre 2012 à 11:09 (CET)

Pour les raisons exposées (le 5 novembre). Votre suppression du refnec et le commentaire joint datent du 4 novembre. Vous répondez à une demande d'explication du 31 octobre. Il n'y a actuellement pas de preuves dans ce paragraphe, est-ce souhaitable de les ajouter ici, vu la forme actuelle de l'article ? Ca mérite discussion, et si oui il faudrait le faire de façon cohérente (pour la "division euclidienne", c'est une conséquence de la croissance stricte de la multiplication à gauche par β et des propriétés de l'addition énoncées au dessus). Pour le reste de votre réponse : je ne crois pas que ce soit maladroit (à voir dans le contexte), mais si vous aviez raison cela justifierait d'autant plus d'être discret sur le sujet ! Proz (d) 8 novembre 2012 à 01:46 (CET)

Forme normale de Cantor

Pour moi la forme normale de Cantor donne une écriture unique en base ω pour tout ordinal (sachant qu'il existe des points fixes pour alpha -> omega^alpha), et c'est je crois habituel. Ce paragraphe est très probablement lui aussi à corriger. Proz (d) 5 novembre 2012 à 01:59 (CET)

Première définition (type d'ordre d'un ensemble bien ordonné)

Au § Définition, l'article dit ceci :

• <<La première définition ne se formalise pas commodément dans une théorie des ensembles telle que ZFC, les classes d'isomorphismes des bons ordres (non vides) n'étant pas des ensembles (ce sont des classes propres).>>

Je ne suis pas sûr que ce soit tout-à-fait pertinent, bien que ces classes d'isomorphismes ne soient pas des ensembles. Bourbaki réussit à définir les types d'ordres sans passer par des classes propres. Michel421 (d) 31 juillet 2014 à 21:57 (CEST)

C'est vrai, mais il utilise une forme forte de l'axiome du choix, le tau de Hilbert (du coup, AC est un théorème), qui lui permet de choisir un élément canonique dans toute classe : formellement, Bourbaki définit le quantificateur existentiel par $(\exists x)P(x)$ si et seulement si $P(\tau _{x}(P(x)))$, donc $\tau _{x}(P(x))$ est un objet vérifiant P, s'il en existe un.--Dfeldmann (discuter) 31 juillet 2014 à 23:21 (CEST)

Ordinaux finis

« On dit que l'ordinal α est fini si α n'est pas un ordinal limite et ne contient aucun ordinal limite. » Existe-t-il une définition directe équivalente des ordinaux finis (construits intuitivement à partir de ∅ et S(x) := x ∪ {x}) sans passer par la définition générale de ce qu'est un ordinal ? du genre : un ensemble E ordonné par inclusion et possédant, s'il est non vide, un plus petit élément ∅ et un plus grand élément M, et tel que S est une bijection de E\{M} dans E\{∅} ? Anne 19/10/16

 Anne : Ça fonctionne, mais les sources que j’avais vues caractérisaient plutôt la finitude d’un ensemble comme le fait de ne s’injecter dans aucune partie stricte (c’est ce que fait Bourbaki, si je ne m’abuse). « Un ensemble bien ordonné par l’inclusion appartenance ne s’injectant dans aucune des ses parties strictes » me paraît plus concis. Sinon pour les topologues, « un ensemble bien ordonné par l’inclusion appartenance tel que tous les points soient isolés ». Tu cherches une définition sourcée précisément ?

Bien à toi --Pic-Sou 19 octobre 2016 à 20:53

 Anne : Dire que S est une bijection de E\{M} sur E\{∅} est une manière (très légèrement) détournée de dire que l'ensemble ne contient pas d'ordinal limite puisque un ordinal limite est par définition un ordinal qui n'est pas dans l'image de S. D'autre part ça ne suffit pas de dire que l'ensemble est ordonné par inclusion (tous les ensembles le sont), il faut qu'il soit bien ordonné par appartenance et transitif.

 Pic-Sou : La définition d'ensemble fini comme ne s'injectant pas dans une partie propre existe en effet, je ne crois pas qu'elle soit très utilisée en pratique parceque pas très simple à manipuler ; en tout cas les sources en théorie des ensembles que je connais (il n'y en pas beaucoup il est vrai : Jech et Krivine essentiellement) préfèrent définir un ensemble infini comme un ensemble dans lequel on peut injecter les entiers naturels ; je crois que cette définition est originellement due à Dedekind.

Cordialement --Laurent de Marseille (discuter) 19 octobre 2016 à 22:08

Mh, le problème de cette définition est que l’on tournerait en rond puisque le but est ici de définir les ensembles finis. Il vaut mieux supposer que l’on ne connaît pas déjà N. En ce qui concerne la transitivité, il me semble qu’on peut s’en passer en regardant des classes de bons ordres à isomorphisme près — c’est, si je me souviens bien de mes cours de licence, le collapse de Mostowksi. Cordialement --Pic-Sou 19 octobre 2016 à 22:38

(conflit de modification) Attention : sans l'axiome du choix, il y a plusieurs définitions non équivalentes (voir en:Dedekind-infinite set).--Dfeldmann (discuter) 19 octobre 2016 à 22:41

À Pic-Sou. Il n'y a pas de circularité : on commence par définir les ordinaux finis (ordinaux ne contenant aucun ordinal limite) puis on se donne l'axiome de l'infini qui construit l'ensemble N (ou ω) des ordinaux finis, et enfin on utilise ycelui pour définir les ensembles infinis à la Dedekind. Noter que sans l'axiome de l'infini on ne peut prouver l'existence d'un ensemble infini, quelque soit le sens que l'on donne à infini, c'est-à-dire que ça n'est pas conséquence des autres axiomes de ZF (pour les autres formulations de la théorie des ensembles j'avoue mon incompétence).

Quant au collapse de Mostowki je ne crois pas qu'il ait à voir avec la présente discussion : il sert (entre autre) à transformer un modèle, c'est-à-dire un ensemble (ou une classe) munie d'une relation binaire bien fondée en un modèle isomorphe dans lequel la relation binaire est devenue la relation d'appartenance, c'est très utile pour faire des modèles transitif mais je ne crois pas que ça serve à collapser des classes d'isomorphismes de bons ordres sur des ordinaux.

À Dfeldmann (c'est quoi un conflit de modification ?) C'est tout-à-fait exact, l'axiome du choix est nécessaire (l'axiome du choix dénombrable je crois) pour obtenir l'équivalence entre les deux définitions. Ça n'a pas beaucoup d'importance en théorie des ensembles classique où l'on admet en général celui-ci, mais ça en prend en théorie des ensembles intuitionniste et surtout en théorie des topos où les deux définitions donnent des objets assez différents. Je crois que là aussi c'est la définition de Dedekind qui est la plus utile. Autorectif du 27 octobre 2016 à 00:17 : les deux définitions "en bijection avec une partie propre" et "injecter les entiers naturels dedans" sont équivalentes sans aucun axiome du choix, cf. rectif de Anne ci-dessous et Ensemble infini au sens de Dedekind (en).

--Laurent de Marseille (discuter) 19 octobre 2016 à 23:44

Je disais « ordonné par inclusion » pour préciser pour quel ordre ∅ et M sont le plus grand et le plus petit élément. Je cherchais justement à shunter la définition générale d'un ordinal (« bien ordonné par appartenance et transitif »). Je n'arrive ni à imaginer un ensemble vérifiant mes conditions et qui ne soit pas un ordinal, ni à montrer qu'il n'y en a pas.

Un ensemble « ne s'injectant dans aucune partie propre » est un ensemble Dedekind-fini. Un ensemble « dans lequel on peut injecter les « entiers naturels » » est un ensemble infini au sens de Tarski et de Russell-Whitehead, ce qui, sans axiome du choix dénombrable, est un peu plus fort que Dedekind-infini. Autorectif du 25/10 à 18 h 12 : Dedekind-infini équivaut donc à « dans lequel on peut injecter les entiers naturels » (sans le moindre axiome du choix), ce qui est évidemment plus fort que « qu'on ne peut pas plonger dans un ordinal fini » (ou toute autre déf équivalente de infini au sens usuel), mais à peine (pour la réciproque, l'axiome du choix dénombrable est suffisant et même pas nécessaire).

« bien ordonné par l’inclusion appartenance » (+ Dedekind-fini) ne suffit pas. Exemple : $\{\{\varnothing \}\}$ (pas transitif). Je ne cherche pas spécialement une source précise, seulement une définition simple (mais raisonnable ) parce que je trouve indigeste ceci : Axiome de l'infini#L'ensemble des entiers naturels.

Les « entiers naturels » sont justement pour moi les ordinaux finis, donc définir les ordinaux finis comme les ensembles « bien ordonnés par appartenance et transitifs » (bof) et dans lesquels les « entiers naturels » ne s'injectent pas… (circularité).

Merci. Anne, 20/10/16, 0 h 15

J'ai le sentiment que ta définition ne marche que en présence de l'axiome de fondation, c'est pas très clair, j'y réfléchis, en tout cas c'est rigolo.

J'ai effectivement inversé la nomenclature, fini au sens de Dedekind signifie ce que tu dis ci-dessus et pas contenir les entiers naturels comme je prétendais. Et lorsque je disais qu'il me semblait que la définition de Dedekind est utile par exemple en théorie des topos je pensais à celle qui plonge les entiers naturels, pas celle avec les parties propres ; sans doute comme tu le relèves parce que cette définition est un peu plus forte.

La définition usuelle d'ordinal fini n'est pas que l'on ne peut pas plonger les entiers naturels dedans (ça serait effectivement circulaire), mais qu'un ordinal fini ne contient pas d'ordinaux limite (du reste c'est écrit comme ça dans l'article). On en déduit ensuite qu'on ne peut plonger l'ensemble des ordinaux finis dans un ordinal fini (ce qui n'est pas complètement évident).

--Laurent de Marseille (discuter) 22 octobre 2016 à 15:52

En tout cas ta définition marche en présence de l'axiome de fondation : on démontre facilement (merci Guillaume) par induction sur le rang que dans un tel ensemble E tous les éléments sont de la forme Sⁿ(∅) (où n est un entier), donc en particulier l'élément maximum M ce qui achève la démonstration. Sans l'axiome de fondation je n'arrive toujours pas à voir...

--Laurent de Marseille (discuter) 25 octobre 2016 à 09:08

Je me permets de hasarder tout haut : sans axiome de fondation, car avec une chaîne infinie descendante pour l'ordre, ω+ω* (où ω* est ω inversé), soit Z⁺ +Z^-, ne serait-il pas un contre exemple ? --Epsilon0 ε₀ 25 octobre 2016 à 13:15

Merci pour ces nouvelles réponses, et arrêtez-moi si vous trouvez que je trolle.

C'est surtout moi qui me suis mélangé les pinceaux sur Dedekind (le 20/10/16 à 0 h 15). J'ai rectifié plus haut, et j'en ai profité pour répondre à « on ne peut plonger l'ensemble des ordinaux finis dans un ordinal fini (ce qui n'est pas complètement évident) ».

OK pour la démo avec AF.

Presque OK pour la suggestion avec ω+ω*, sauf que (même avec l'axiome d'anti-fondation) je ne sais pas réaliser cet ordre de telle façon que lorsqu'un x a un successeur, ce successeur soit x ∪ {x}.

Anne, 25/10, 18 h 12

Mon contre-exemple visait uniquement à trouver un ensemble E ordonné par inclusion et possédant, s'il est non vide, un plus petit élément ∅ et un plus grand élément M, et tel que S est une bijection de E\{M} dans E\{∅}, comme indiqué en haut de cette section, et avec E infini.

Je serais très étonné que l'on puisse, en plus, définir Succ(x) comme x ∪ {x}. Donc moi non plus, je ne sais pas réaliser cet ordre de telle façon ...

Là, je vois Succ(x)= x+1 comme défini usuellement sur Z (d'où ma mention de Z⁺ +Z^-).

Par contre, ce type d'ordre, est isomorphe à ω+ω* mais, pour enfoncer le clou, la relation d'ordre n'est pas "∈" comme sur les ordinaux.

J'attends l'avis de Laurent, bien plus compétent que moi, sur ce sujet.

--Epsilon0 ε₀ 25 octobre 2016 à 19:55 (CEST)

Pour la question du troll, arrêtez moi aussi si ça va trop loin, en attendant je trouve cette discussion très intéressante même s'il faudra peut-être un jour l'archiver ailleurs parceque un peu longue pour un pdd.

Pour le contre-exemple avec l'axiome d'antifondation je n'ai pas mieux, j'avais le même genre d'idée mais je ne sais pas construire, même avec antifondation, un ensemble ressemblant à ω*, et qui de plus devrait être disjoint de ω, clos par S... Si je trouve (ou si je trouve un collègue qui trouve) je vous tiendrai au courant.

--Laurent de Marseille (discuter) 26 octobre 2016 à 23:56 (CEST)

Définition redondante ?

La 2e définition des ordinaux comporte 3 axiomes plus 1. Or ce dernier (« α est transitif ») est de toute évidence équivalent au second (« l'appartenance sur α est transitive ») -- équivalence d'ailleurs justement pointée dans la partie « Définition » de l'article ensemble transitif.

Pourquoi cette redondance ? Elle ne serait quand même pas due à Von Neumann, dont le nom figure juste au-dessus ?! Heureusement non : elle est apparue dans l'article le 12 octobre 2012 (il suffit de relire cette modif pour comprendre le dérapage). Mais quand même, elle a dû être (re)lue quelques centaines de fois, et jamais détectée !! Et cette définition est quand même la base de tout l'article...

On supprime ? --Fr.Latreille (discuter) 8 avril 2018 à 11:56 (CEST)

Non. Anne, 17 h 04

Un peu sommaire comme réponse, non ? Je me suis expliqué, j'aimerais avoir droit à une explication. --Fr.Latreille (discuter) 8 avril 2018 à 22:03

N'avez-vous pas regardé le lien inclus dans la réponse ? J'y ai mis des contre-exemples (dans les 2 sens) à votre « ce dernier [...] est de toute évidence équivalent au second », dans l'artice Ensemble transitif (qui ne mentionnait heureusement pas une telle équivalence). Anne, 22 h 22. P.S. Cette définition (non redondante, donc) ne date pas d'octobre 2012 (où elle n'a été qu'explicitée formellement) mais, dans sa forme précise actuelle, de septembre 2009, et elle est sourcée depuis novembre 2016.

Non, je n'avais pas détecté que le très sec "Non" était une invitation à aller voir ailleurs. D'habitude, quand on propose aux gens un lien, on le dit en clair.

J'ai donc suivi le lien, et je n'ai pas vu les contre-exemples annoncés.

Quoi qu'il en soit, je maintiens que les énoncés « tout élément y d’un élément x de X est lui-même élément de X » et « tout élément x de X est un sous-ensemble de X », figurant tels quels dans l'article Ensemble transitif ET, aux notations près, dans les 3+1 axiomes de Nombre ordinal, sont formellement équivalents (ce qui exclut la possibilité de contre-exemples).

Désolé d'être à ce point borné. --Fr.Latreille (discuter) 8 avril 2018 à 23:12 (CEST)

Je crains bien que Anne soit dans le vrai, là. De fait, dire que la relation défini par l'appartenance sur les éléments d'un ensemble est transitive (x E y et y E z => x E z) est strictement équivalent à "tout élément de z est inclus dans z", ce qui revient à dire dans notre cas que tout élément d'un élément d'un ordinal est inclus dans cet élément ; ce n'est pas la même chose que de dire que tout élément d'un ordinal est inclus dans cet ordinal...

P.S. Les contre-exemples mentionnés par Anne sont pointés par les notes 1 et 2 de l'article "Ensemble transitif"--Dfeldmann (discuter) 9 avril 2018 à 09:40 (CEST)

Touché, coulé, je rends les armes. Merci à Dfeldmann pour son explication (et la localisation des fameux contre-exemples). Ce n'est pourtant pas faute de les avoir manipulés, ces ordinaux, depuis que je suivais le séminaire de Roland Fraïssé... --Fr.Latreille (discuter) 9 avril 2018 à 17:18 (CEST)