Discussion:Axiome de l'infini

Ne serait-il pas plus zouli de remplacer les $\emptyset$ par des $\varnothing$ ? Theon 11 mars 2006 à 15:46 (CET)

c'est vrai, ça --Michel421 (d) 29 mars 2008 à 00:38 (CET)

Autre formulation de l'axiome

Après tout, cela pourrait se réduire à : $\exists \omega (\varnothing \in \omega \wedge \omega =\cup \omega )$--Michel421 (d) 29 mars 2008 à 00:29 (CET)

Reprise

J'ai commencé de reprendre parce que je trouvais la notation \exists\omega(... assez trompeuse (ce n'est justement pas omega a priori). De fil en aiguille ... Proz (d) 16 juin 2008 à 23:29 (CEST)

De fil en aiguille ... un tricot de laine

Je n'ai rien contre un développement sur les entiers voire les ordinaux et la récurrence, mais je trouve que le faire d'emblée c'est perdre la raison principale de l'axiome : exprimer en 1er ordre qu'il existe un ensemble infini ... quelque soit la manière usuelle de le faire. Par exemple avant de parler de 0 et xU{x}, il faudrait dire que n'importe quel autre ensemble à la place de 0 et n'importe quelle fonction injective suffit. Maintenant il y a p.e. d'autres moyen d'exprimer l'axiome sans passer par une propriété héréditaire. Donc Il énonce qu'il existe un ensemble infini, plus précisément il énonce qu'il existe un ensemble qui contient les entiers naturels, me semble un peu abrupt et dissimule 2 choses différente 1. l'axiome 2. notre envie de se construire oméga et les autres ordinaux.

Un détail, je ne vois pas bien l'utilité de (= { x | ∀ Y(Cl(Y) ⇒ x ∈ Y) } dans :

ω = { x ∈ A | ∀ Y(Cl(Y) ⇒ x ∈ Y) } (= { x | ∀ Y(Cl(Y) ⇒ x ∈ Y) }).

--Epsilon0 ε₀ 17 juin 2008 à 22:18 (CEST)

La simple existence d'un ensemble infini c'est un peu court, on veut pouvoir construire les entiers (rmq : sans AC, contenir un ensemble dénombrable, c'est plus fort qu'infini). J'ai l'impression que c'est ça au contraire la raison principale de l'axiome.

Sinon (= { x | ∀ Y(Cl(Y) ⇒ x ∈ Y) } ) c'est pour signaler que la définition ne dépend en fait pas de A, qui n'est utile que pour montrer que c'est un ensemble (utile pour la suite, récurrence par ex.). Proz (d) 18 juin 2008 à 00:34 (CEST)

L'ax de l'infini peut-il seulement dire "Il existe un ensemble infini" ou est-il nécessaire (au sens que sinon on n'aurait pas la même théorie modulo les autres axiomes de ZF) qu'il dise plus?

Je crois qu'il est clair, qu'il suffit qu'il dise "Il existe un ensemble infini", s'il faut une référence (ok, Devlin n'est p.e. pas un spécialiste de thie des ens. comme Jech ou Shelah, mais je ne crois pas qu'il se gourre sur ce point) :

Keith Devlin, The Joy of Sets, Fundamentals of Contemporary Set Theory , p.42 :

• L'ax est définit par : exist x (0 in x et all y [ y in x -->> {y} in x ] ), puis il précise :
• Now in order to obtain all the infinite sets we need, it suffices that we commence with just one infinite set. The precise nature of this set turns out to be quite irrelevant, so we have some freedom in the way we formulate the Axiom of Infinity. (But notice that the notion of "infinite" is not itself a basic notion in our theory.) The formulation chosen has the advantage of being easy to state. (traduction libre, si nécessaire) Afin d'obtenir tous les ensembles infinis, il suffit simplement de s'en donner un (seul). Ce que peut être cet ensemble est sans intérêt, ainsi nous somme libre de formuler cet axiome comme il nous en gré. ( ... ). La formulation que nous avons choisi ci-dessus a pour simple intérêt d'être facile à énoncer.

• Je crois que c'est clair que
  • 1.seul "il existe un ensemble infini" est important et que
  • 2. le choix de la formulation relève
    • 2.1. de ce qu'il est aisé d'écrire (trouver une autre écriture en premier ordre n'est p.e. pas facile) et
    • 2.2. (mais Devlin n'en parle pas) d'une écriture judicieuse en rapport avec la construction des ordinaux (comme le fait le Cori et Lascar qui donne l'axiome après avoir définit les ordinaux et qui l'énonce "Il existe un ordinal limite" cf C. et L., Tome 2. p.135 ou Halmos in intro à la thie naïve des ensembles, Naive set thy, p.55 : "il existe un ensemble contenant 0 et contenant le successeur de chacun de ses éléments", ce qui est la def usuelle donnée dans l'article).

Ainsi il me semble important dans cet article de bien dissocier l'axiome dont on a besoin pour avoir ZF de la formulation pratique qu'on lui donne généralement pour ... ben plus facilement poursuivre le cours de thie des ensembles, sur un autre sujet, comme celui des ordinaux. Mais à noter, on s'en moque des ordinaux en théorie, ils ne sont introduit que par définitions, pas par des axiomes. Et si moi ce qui me fait triper c'est pas les ordinaux mais les nombres surréels de Conway qui les généralisent dans tous les sens, doit-on adapter l'axiome en "il existe un nombre surréel infini", sachant que là encore la théorie (ZF) reste inchangée?

Donc je crois véritablement que l'orientation de l'article sur les entiers (notion certes intuitive mais par là même très difficile à définir : cf ce que j'ai dis sur Discuter:Infini sauf à ce qu'ils soient d'emblée identifiés aux ordinaux finis) , même s'il est parfaitement compréhensible en développement (je ne suis pas pour la suppression) ou les ordinaux (+ simple à définir), travestit l'importance de cet axiome (en terme d'indépendance) vis-à-vis des autres axiomes de ZF, en lui faisant jouer un second rôle.

Plus précisément (et pertinemment p.e.), je crois que dans une encyclopédie comme wp, sachant qu'avant tout les articles sont destinés à des lecteurs découvrant une notion et voulant savoir précisément ce qu'elle recouvre (pour bien comprendre tout simplement, sans fausses croyances), il ne faut pas sauter d'emblée sur une notion annexe, quelqu'en soit son intérêt, avant d'avoir circonscrit précisément ce qu'elle apporte de plus à ce que l'on avait avant.

Bref pour cet article on garde tout mais il faut tout reformuler sans orientation primitive particulière sur les ordinaux ou pire sur les entiers [car personne ne sait ce que sont ces trucs appelés "entiers", ou cela relève de (la bonne) philo de la logique ( <pov>genre celle de Krivine dans ses écrits informels </pov>) ]

Sinon, nouveau détail (ok pour le précédent que j'avais bien compris ainsi, mais mettre une phrase explicative dans l'article comme c'est pour signaler que la définition ne dépend en fait pas de A, qui n'est utile que pour montrer que c'est un ensemble c'est mieux. ) :

∅ ∈ A est juste une abréviation pour par exemple exist y[(∀ z z ∉ y) et y ∈ A],

(merci au passage d'avoir corrigé ma bourde de changer le quantificateur sans changer le connecteur, ce qui était comme tu l'as dit faux) C'est bien sûr correct (et en plus, on a plus besoin de l'axiome d'extensionalité), mais on est d'accord que c'est tout de même très mal dit vu que "juste une abréviation" n'est pas ici un "si et seulement si". Mais j'avoue ne pas avoir d'alternative simple pour une formulation correcte qui ne nous amènerait pas dans des abymes syntaxiques qui ne concernent pas plus cet article qu'un autre. Aussi on peut partir d'un autre ensemble que le vide. (mince, quand on y regarde de près c'est trop compliqué la logique quand on veut toujours rester précis; bon je me couche).

--Epsilon0 ε₀ 19 juin 2008 à 10:05 (CEST) Foin de l'ordino-centrage, parole d'ordinal (il fallait bien que je la sorte un jour celle là ;-) ) !

Les variantes sont à mettre dans l'article, mais pas au début. Je ne vois pas en quoi elles contredisent la précision qui est que l'on veut, informellement, une représentation des entiers intuitifs. La construction par x -> {x} est je crois celle de Zermelo (avant von Neumann). Les ordinaux commencent par les entiers, ... Pour l'introduction et les premiers paragraphes, il faut aller au plus simple et au plus accessible. Proz (d) 21 juin 2008 à 09:58 (CEST)

Expression incorrecte ?

Bonjour. Je ne suis pas logicien, mais j'ai "fait" pas mal de mathématiques dans ma vie, et il me semble que dans la phrase de la définition de l'axiome ("En fait on a juste besoin de montrer qu'un ensemble ayant pour éléments des représentations des entiers naturels (et éventuellement d'autres) existe") le mot "montrer" n'est pas correct, que, puisqu'il s'agit d'un AXIOME, il faudrait le remplacer par "affirmer" ou tout autre qui conviendrait mieux.

--Hpa (discuter) 7 janvier 2016 à 12:14 (CET)

Définir les entiers sans l'axiome de l'infini

Je suis gênée par tout le paragraphe « L'ensemble des entiers naturels », dès le début : « et ainsi de suite […] cette définition […] Ainsi l'axiome affirme essentiellement qu’il existe un ensemble contenant tous les nombres entiers naturels […] » Ce n'est pas une « définition ». Pourtant, il en existe une (ordinal fini), qui permettrait de reformuler toute cette section de façon moins confuse et plus brève, ce que la section suivante « Ordinaux » ne fait pas vraiment. Anne, 19/10/16

(rapidement dit) Il me semble qu'il y a une confusion que ne lève p.-e. pas l'article. L'axiome de l'infini dit bien qu'il existe un ensemble comportant tous les entiers (= ordinaux finis) ... mais ce qu'on attend de lui avant tout c'est de dire qu'il existe un ensemble comportant une infinité d'éléments et c'est le moyen le plus simple que l'on a trouvé pour le faire.

Attention, il ne définit pas l'ensemble des entiers, il ne dit même pas, pour exemple, que oméga existe, il dit qu'il existe un ensemble qui inclut oméga, ce qui est bien différent.

Le truc, si on veut définir l'ensemble des entiers, c'est qu'il y a une difficulté théorique : on est en logique du premier ordre et en premier ordre on ne peut pas définir la notion de finitude : toute théorie qui a des modèles de cardinalité finie arbitrairement grand à des modèles infinis. C'est une conséquence des thms de complétude/Lowenheim-Skolem. Cf. Van Dalen, Logic and Structure, : Lemma 3.2.6 : If Γ has arbitrarily large finite models, then Γ has an infinite model. (là). Sans regarder en détail, la def. des ordinaux finis du lien que tu donnes doit être du 2nd ordre (ZF est une théorie du premier ordre pour rappel).

Mais je ne réponds peut-être pas bien à ton interrogation. --Epsilon0 ε₀ 19 octobre 2016 à 15:23

L'axiome de l'infini $\exists A~Cl(A)$ (où Cl(A) est « $\varnothing \in A$ et A est stable par successeur ») permet bien de définir, au premier ordre, l'ensemble des ω des « ordinaux finis » (c'est fait dans l'article) :

ω est l'intersection des A tels que Cl(A). C'est bien un ensemble (car il est défini comme une partie de l'un quelconque de ces A, qui existe) et on a Cl(ω).

Donc l'axiome de l'infini est bien équivalent à « oméga existe », c'est-à-dire : $\exists \omega Cl(\omega )\land \forall A(Cl(A)\Rightarrow \omega \subset A)$.

Dans l'article, on ne définit qu'ensuite les ordinaux finis, comme étant les éléments de ω (qu'on appelle sans vergogne « entiers naturels »), et on passe beaucoup de temps à redémontrer, dans le cas particulier des ordinaux finis, des propriétés générales des ordinaux.

Ce que je voulais simplement dire est qu'il serait plus élégant d'utiliser un prédicat (du premier ordre) OF(x) exprimant « x est un ordinal fini » et de formuler l'axiome de l'infini par : la classe des ordinaux finis est un ensemble (le même ω, en fait).

Dans tout ça, la notion de « finitude » est interne, contrairement à celle dont tu parles. Anne (conflit d'édit), 19 h 17

Je relis au dessus la discussion de juin 2008 et vois que finalement je suis toujours du même avis. En gros cet article n'a pas à s'orienter particulièrement vers les entiers. --Epsilon0 ε₀ 19 octobre 2016 à 17:24