Discussion:Groupe (mathématiques)

Il faut discuter plus en détails (ou discuter tout court): - de l'historique; - de la zoologie (groupes finis, profinis, résolubles, simples); - de la classification avec les groupes sporadiques et le fameux Monstre; - des groupes de Lie; - des actions de groupe; après tout c'est ainsi que Galois en a eu l'intuition...

Snark 14:08 jan 24, 2003 (CET)

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Ce serait pas mal d'avoir qqchose sur la théorie de la representation des groupes + application en physique. -- Looxix 29 aoû 2003 à 02:23 (CEST)

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Franchement je trouve que la LaTeXification est lourde, je suis plutôt pour avoir un rendu "latex" qu'en dernier recours, ce rendu ne s'incorporant que très mal dans le html. De plus une loi de composition se note plus avec une asterisque qu'avec une etoile de type \star.

Benyto 17 jui 2004 22:03

Régularité

Ne peut-on pas voir un groupe comme un semigroupe inversible? Et justement, un groupe n'est-il pas un monoïde inversible et régulier? Auquel cas je pense qu'il faudrait le préciser.
Je ne me permet jamais d'intervenir directement sur un article de mathématiques car je ne suis pas fort du tout!
--Coelacanthe 6 mars 2006 à 03:22 (CET)

Symbole dans exponentiation

Bonjour, dansla formule :

• $(x^{m})^{n}=x^{m\star n}$.

Ne faudrait-il pas remplacer l'étoile par un point voir la supprimer complétement car actuellement on pourrai penser que cette étoile est la meme que celle de la compisition interne du groupe auquel appartient x, alors que c'est la multiplication dans N. Rémi Thevenoux 13 mars 2007 à 12:29 (CET)

en effet, merci ! Peps 13 mars 2007 à 14:20 (CET)

Une critique

Une première lecture montre un véritable progrès par rapport à la version précédente. Elle n'est pas très loin d'un BA à mes yeux, même s'il manque un sourçage un peu plus précis (je suis à la disposition de la communauté si le besoin s'en fait sentir) et certains petits détails à polir.

A mes yeux, nous sommes encore loin d'un A.d.Q. pour une raison de fond beaucoup plus grave à mes yeux. L'article, tel qu'il est conçu vise deux objectifs trop contradictoires pour être aisés à exploiter par nos lecteurs.

• D'un coté, il se veut une introduction au concept de structure de groupe. Il vise alors un public cherchant des informations plutôt scolaires et l'article apparaît très incomplet. L'unicité de l'élément neutre, ou du symétrique est absente, des lois élémentaires comme a.b = a.c => b = c, etc... A mon avis, WP à besoin d'un article mathématique vraiment introductif à la notion de structure, bien relié aux articles connexes comme sous-groupe distingué, le morphisme de groupes et leur factorisation, le Théorème de Lagrange sur les groupes puis l'automorphisme intérieur, la classe de conjugaison etc... Il y a largement de quoi faire et le savoir associé me semble hautement encyclopédique et mériter une place dans WP.

• D'un autre coté, il se veut un tour d'horizon des groupes en mathématiques. Le public est alors totalement différent, ainsi que les objectifs. Le premier rôle de l'article est de pointer vers les bon paquets d'articles spécialisés sur le sujet. Pour l'instant, l'écart entre le savoir déjà accumulé sur les groupes et l'article est vaste. Il n'existe aucun travail de synthèse sur cette question. Des pans entiers de la théorie des groupes sont donc partiellement traités dans WP mais aucun échos ne se trouve dans cet article. Je pense particulièrement aux groupes algébriques d'ordre infini comme les groupes de tresses ou encore le groupe abélien de type fini ou encore les revêtements avec les groupes d'homotopies comme le groupe fondamental.

Cette approche, qui était ce que l'on faisait de mieux en 2006 2007, me semble maintenant obsolète. Le néophyte est un peu désarmé par l'absence de propos élémentaires, l'expert sera bien étonné d'apprendre que pour WP, les gros groupes finis simples, comme le monstre, se traitent avec les théorèmes de Sylow et non des méthodes beaucoup plus puissante comme la théorie des représentations d'un groupe fini ou les réseaux, sujets déjà traités de manière encore très naïve dans WP, certes, mais déjà sur plus d'une centaine de pages. Jean-Luc W (d) 14 avril 2009 à 13:13 (CEST)

Je ne comprends pas ces critiques, car l'unicité de l'élément neutre est traitée (et fait même l'objet d'un titre de section). D'autre part, l'allusion au groupe monstre et autres commence par "La classification des groupes finis mène rapidement à des mathématiques profondes et difficiles." et même dans l'intro : "Une théorie particulièrement riche a été développée pour les groupes qui possèdent un nombre fini d'éléments, qui a culminé avec la classification des groupes simples finis, achevée en 1983." ce qui ne doit pas laisser penser au lecteur qu'on se contente des th de Sylow. Quant aux "propos élémentaires", il représentent bien la moitié de l'article, soit plus de 10 pages A4, avec deux exemples traités à fond. Je ne crois pas qu'un tel article ait pu exister en 2007 sur WP. Les références seront ajoutées peu à peu. Je les ai enlevées de l'article anglais car on doit pouvoir citer des sources françaises. ---- El Caro ^bla 14 avril 2009 à 13:28 (CEST)

El Caro m'a notifié de cette discussion, que je trouve valable. (J'ai contribué pas mal à l'équivalent anglais de cet article, dont l'article francais est largement inspiré.) Je vais essayer d'esquisser mon idée de la question. Il est vrai que l'article, dans sa forme presente, a une audience mixte. Evidemment, les trucs élémentaires seraient plutôt peu intéressant pour les chercheurs, l'histoire aurait des lecteurs particuliers aussi etc. etc. Mais, quand même, je ne vois ceci comme faiblesse de l'article. Je ne suis pas au courant comment les "guidelines" sont ici, mais à mon avis le but doit être d'écrire quelque-chose de compréhensif. Par consequent, il y aura des différents niveaus de texte et de lecteur. Sans doute, il est fort raisonnable de créer des sous-articles (par exemple, voir en:Elementary group theory qui est plus élementaire, en:Glossary of group theory est un survol sur tout les techniques, en:Group theory est plus avancé (mais peu complet, bien sûr). Mais, ce serait, a mon avis, un biais non-négligeable "de la réalité des groupes" de ne presenter que soit des trucs faciles ici, soit des trucs difficiles. Imaginons que cet article n'aurait que des fait plutot élémentaires (partant de la définition, consequences élémentaires, allant jusqu'à Sylow, disons). Un lecteur qui ne le sait mieux penserait que c'est tout! Mais il est, je suis convaincu, crucial de évoquer l'image telle qu'elle est, càd, en partant des faits elementaires, on arrive (assez vite...) à des questions profondes. Jakob.scholbach (d) 1 mai 2009 à 20:40 (CEST)

théorie des groupes

L'en-tête mentionne : "Cet article concerne une introduction au concept de groupe. Pour un approfondissement, voir théorie des groupes". Sur les pages anglaises correspondantes, ça se justifiait pleinement. Mais ici, c'est hélas faux (aujourd'hui), et le lien dans "Voir aussi" suffirait. Je signale par ailleurs une bizarrerie : la page Discussion:théorie des groupes est redirigée vers Discussion:modèle standard. Anne Bauval (d) 7 décembre 2009 à 00:28 (CET)

J'ai effacé la redirection. D'accord avec le reste. Liu (d) 7 décembre 2009 à 01:12 (CET)

reseau

Certains auteurs classe les "reseaux" parmi les groupes, or cet article n'en parle pas ... Un reseau est il un groupe ?--zorg (d) 19 janvier 2010 à 15:25 (CET)

bien vu ! j'ai rajouté vite fait réseau (géométrie) dans la section "Voir aussi", en attendant que quelqu'un peaufine Anne Bauval (d) 19 janvier 2010 à 22:18 (CET)

Suppression d'une incohérence ?

Je trouve que cette modification n'est pas très heureuse. La version originale était rigoureuse, je ne vois pas d'incohérence ? La formulation dans la nouvelle version laisse penser qu'un groupe est un ensemble qui peut être muni d'une structure de groupe, ce qui est incorrect. Un groupe est vraiment un ensemble plus une loi de groupe. Un ensemble n'est jamais un groupe. Liu (d) 14 septembre 2010 à 22:27 (CEST)

Un groupe trivial est-il simple ?

L'article dit : "Un groupe G est dit simple si ses seuls sous-groupes normaux sont son sous-groupe trivial (réduit à l'élément neutre) et le groupe G lui-même."

Mes livres (Rotman 1999, p. 39; Bourbaki, Algèbre, ch. 1, 1970, p. 36...) imposent en plus au groupe de ne pas être trivial. Donc, d'après mes livres, il faudrait : "Un groupe G est dit simple s'il n'est pas réduit à son élément neutre et que ses seuls sous-groupes normaux sont son sous-groupe trivial (réduit à l'élément neutre) et le groupe G lui-même."

La terminologie est-elle flottante ? Marvoir (d) 1 novembre 2010 à 14:53 (CET)

P.S. J'ai mis la même remarque sur la page de discussion de l'article Groupe simple. Marvoir (d) 1 novembre 2010 à 15:01 (CET)

Modèle:StructuresSemblablesGroupes

traduit de l'anglais (et visible en fin de cet article), il me fait douter (de lui et de moi). Par exemple, que signifie "oui" dans la colonne "inverse" pour un quasigroupe qui n'a pas de neutre ? Anne Bauval (d) 20 janvier 2011 à 16:08 (CET)

Corrigé. Liu (d) 20 janvier 2011 à 16:35 (CET)

Merci, ça me rassure (j'ai re-corrigé car tu t'étais trompé de ligne). pas compris ton commentaire de diff ; moi en tous cas tu ne m'as jamais vexée. Et que penser des neutres (donc aussi des inverses) dans un groupoïde ? Anne Bauval (d) 20 janvier 2011 à 17:27 (CET)

Merci d'avoir corrigé. Pour les groupoïdes, il fallait diriger le lien vers les groupoïdes en catégorie. Il y a des neutres comme dans toute catégorie, et tout élément a un inverse par définition des groupoïdes. Ceci dit, quand la loi de composition interne n'est pas définie en totalité, je ne sais pas si la notion de neutre et d'inverse est définie et si cela a un intérêt... désolé pour mon commentaire obscure, je me faisais cette réflexion rapport à mon interventation dans la pdd sur les espaces connectifs, tu n'es évidemment pas visée. Liu (d) 20 janvier 2011 à 21:26 (CET)

Les groupoïdes sont bien mieux expliqués sur la page anglophone, avec des sources. Liu (d) 20 janvier 2011 à 21:32 (CET)

Vu, merci (du coup j'ai vu que tu avais aussi rectifié ce modèle sur :en) Anne Bauval (d) 21 janvier 2011 à 00:10 (CET)

Toujours sur les pages anglophones, il y a une définition de l'inverse d'un élément quand il n'y a pas d'élément unité (en gros on demande que a*b soit idempotent), mais c'est pour une loi associative. Liu (d) 22 janvier 2011 à 00:18 (CET)

Ah oui, tiens ! Bon, je signale cette discussion-ci sur la page Discussion:Inverse et je poursuis là-bas. Anne Bauval (d) 23 janvier 2011 à 15:45 (CET)

File:Cayley Graph of Dihedral Group D4.svg has been changed

The greek letters in the file have been replaced by a and b. (So the description is now like in File:Dih4 cycle graph.svg.) But more important is the following: The old description was meant as "left multiplication", which was rather strange and complicated. Now it's easier.

The description in the article should be changed from this to this version. -- en:User:Lipedia -- Lipedia (d) 13 février 2011 à 22:35 (CET)

Modifs du 23/03/11

D'accord avec les retours à la ligne et le titre "Histoire". Pas d'accord avec la reformulation de la première phrase (la définition antérieure était plus correcte) ni avec l'ajout d'une phrase pleine de mots rébarbatifs : ils figurent dans la section finale "Généralisations" et à mon avis doivent s'y cantonner pour ne pas effaroucher inutilement le lecteur. Anne Bauval (d) 24 mars 2011 à 01:23 (CET)

même avis. Proz (d) 24 mars 2011 à 01:56 (CET)

heu ... pas entèrement en fait. Désolé d'être seulement négatif, mais il y a un problème aussi avec le titre "Histoire" : ce titre de section figure déjà dans l'article, plus loin (ça me va très bien) de façon mieux appropriée. Là il s'agit d'un bout de résumé qui ne parle pas exactement que d'histoire, et qui était à sa place dans le résumé introductif, en particulier les sources sont dans le paragraphe "Histoire" (l'autre). Je n'ai pas lu l'article mais, en survolant, ça a l'air plutôt réfléchi et construit, il faudrait y regarder à deux fois avant de le bousculer. Proz (d) 24 mars 2011 à 02:21 (CET)

Ah oui, pardon j'avais zappé ça (il est trop long cet article ! ). Donc je retire ma première phrase d'accord. Anne Bauval (d) 24 mars 2011 à 02:59 (CET)

C'est vrai que ça fait bizarre d'appeler un groupe un magma associatif unifère. Pour les deux morceaux de "Histoire", il faudrait pouvoir les fusionner ou en supprimer un. Liu (d) 25 mars 2011 à 23:35 (CET)

Je n'ai rien contre l'idée que mes modifs soient retirés. Par contre la séparation de la partie « histoire » me semble indipensable pour ne pas avoir une intro surchargée. --Psychoslave (d) 25 mars 2011 à 23:41 (CET)

Définition d'un groupe, cas des axiomes affaiblis

La définition donnée d'un groupe par un ensemble d'axiomes affaiblis est actuellement:

• • est loi de composition interne;
• • est associatif;
• il existe un élément neutre à gauche e;
• «Pour tout élément a de G, il existe b dans G tel que b • a = e, où e est l'élément neutre.»

Cet énoncé est tout à fait incorrect, incohérent. Quand on dit qu'il existe un élément neutre à gauche, on n'est pas en train d'affirmer qu'il n'en existe qu'un seul. Il est donc incorrect de reprendre dans l'axiome suivant «cet» élément en parlant de «l'élément neutre», avec un article défini.

De fait, d'ailleurs, si on s'en tient aux trois premiers axiomes, il est facile de construire un exemple où il existe plusieurs neutres à gauche: $G=\{a,b\}$ avec $a\neq b$, et $ab=bb=b$ et $aa=ba=a$.

Donc on ne peut reprendre dans le quatrième axiome la désignation e comme si elle était bien définie.

Le quatrième axiome peut, dans ce contexte, s'interpréter de deux manières:

- Soit: «Il existe un neutre à gauche e tel que pour tout a de G, il existe b dans G tel que b • a = e» (c'est-à-dire que le symétrique à gauche est défini comme redonnant toujours le même neutre à gauche);

- Soit: «Pour tout a de G, il existe b dans G tel que b • a soit un neutre à gauche» (c'est-à-dire que le symétrique à gauche est défini comme donnant chaque fois un neutre à gauche quelconque).

La démonstration donnée ensuite pour montrer que ces axiomes affaiblis sont équivalents aux axiomes habituellement donnés semble fonctionner sur la base de la première interprétation. En partant de la seconde interprétation, j'ai essayé de démontrer cela aussi, mais je n'y suis pas parvenu. Je ne sais donc pas si cette seconde interprétation est, de fait, équivalente à la première. En tout cas, cela ne saute pas aux yeux.

De toute façon, il est clair qu'il faudrait modifier la rédaction de ces axiomes, et de la démonstration.

(Le même problème entache, formellement, l'énoncé des axiomes non «affaiblis»: on postule l'existence d'au moins un neutre (neutre à gauche comme à droite), puis on poursuit en parlant de ce neutre avec l'article défini. Mais dans ce cas, le problème est moins grave, car l'unicité du neutre est immédiate.)

David Olivier (d) 3 février 2013 à 11:12 (CET)

Vous avez raison, la formulation est mauvaise. Vous avez donné un exemple où tout élément est neutre à gauche (xy = y pour tout x et tout y), donc la seconde interprétation est fausse. C'est à la première interprétation que correspond la démonstration. Je vous suggère d'améliorer la formulation. Marvoir (d) 3 février 2013 à 13:02 (CET)

Bon, j'ai fait le travail. Marvoir (d) 3 février 2013 à 16:17 (CET)

Oui, j'ai vu, sauf que moi aussi j'ai fait le travail -> «conflit d'édition» #!@&*{} Bon tant pis je laisse votre version, qui me semble bonne et moins touffue que la mienne. Et effectivement, l'exemple de G à deux éléments que je mentionne ci-dessus est un bon contre-exemple à la seconde interprétation, je l'avais sous le nez et je ne m'en étais même pas rendu compte. David Olivier (d) 3 février 2013 à 17:06 (CET)

Bonjour,
Je ne sais pas si il y avait un problème de clarté il y a 5 ans, personnellement si je relis e dans la troisième hypothèse et que ce n'est pas une "variable muette", je me réfère assez naturellement à celui qu'on a nommé à l'aide de ce symbole à la l'hypothèse précédente (sinon, je trouverais les mathématiciens vraiment méchants).
En revanche, je me suis posé la question "qu'en serait-il avec un élément neutre à gauche et des symétriques à droite". En général, je crois que ça ne donne rien d'intéressant. Cependant j'ai constaté un ensemble d'axiomes pour que ça fonctionne (il faut ajouter l'unicité du symétrique à gauche d'un symétrique à droite):

• (E,*) magma associatif
• unifère à gauche $\exists e\in E:\forall x{\text{ }}e*x=x$
• symétrique à droite avec unicité du symétrique à gauche quand il existe $\forall a\in E\exists b:{\text{ }}(ab=e)\wedge ((xb=e)\Rightarrow x=a)$ (c'est le e désigné à ligne précédente).

On ne change alors que la première partie de la démonstration, concernant le fait que le symétrique à droite l'est aussi à gauche (pour tout a, il existe b et c avec ab=e, bc=e. Donc abcb=aeb=ab=e et abcb=cb, donc cb=e donc par l'hypothèse d'unicité du symétrique à gauche pour b, c=a).
Honnêtement, cette propriété est assez alambiqué et je crains fort qu'on ne trouve pas de cas où elle soit utile (cela dit, je débute). J'ai mis ça à titre purement indicatif et on peut en faire ce qu'on veut.

--Un autre type (discuter) 17 avril 2018 à 19:07 (CEST)

Groupes infinis

Merci pour cet article qui est vraiment clair et intéressant. Le "mélange" des deux points de vue (scolaire et histoire) me semble fonctionner très bien.

Question générale : y a-t-il matière à dire quelque chose sur les groupes infinis ? (qui soit aussi intéressant que ce qui est dit là sur les groupes finis ?). N'y a-t-il pas un théorème de décomposition, un peu analogue au théorème chinois ? (qui n'est pas évoqué, d'ailleurs, est-ce exprès ?)

Juste une remarque en passant : le paragraphe sur le Groupe quotient utilise en passant la notion d'ordre, qui n'est définie qu'ensuite. Est-ce gênant ? Bien à vous. 2mtauveron (d) 12 mars 2013 à 16:17 (CET)

À mon avis, ce qui concerne les groupes libres et les présentations (c'est là que le notion d'ordre d'un élément est utilisée prématurément) ne devrait pas se trouver dans la section sur les groupes quotients, cela devrait venir après des notions élémentaires comme les groupes cycliques etc.

La notion de groupe infini est très très vaste, je me demande s'il est raisonnablement possible d'en faire une section de l'article sur les groupes.

J'ajoute que je supprimerais volontiers cette partie de la section sur les groupes quotients :

"Les sous-groupes et groupes quotients sont liés par la relation suivante : un sous-ensemble H de G peut être vu comme une injection H → G, c'est-à-dire que chaque élément de G possède au plus un antécédent par cette fonction. La notion d'application injective est liée avec celle d'application surjective (une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent). L'application canonique G → G / N est surjective. Les théorèmes d'isomorphisme permettent d'exhiber des homomorphismes injectifs, surjectifs et bijectifs « naturels » d'un groupe afin de comprendre sa structure".

Inutile de définir ici ce qu'est une injection ou une surjection. On pourrait peut-être dire un mot sur l'homomorphisme canonique (surjectif) du groupe G sur le groupe G/H, et peut-être dire aussi que d'après un des théorèmes d'isomorphisme, l'image d'un homomorphisme est isomorphe au quotient du groupe de départ par le noyau, encore que cela relève peut-être plutôt de l'article détaillé sur le groupe quotient. Marvoir (d) 12 mars 2013 à 17:28 (CET)

Exemple d'un groupe diédral

Le groupe diédral d'un polygone régulier à 4 côtés pris en exemple est ici noté D₄. Or, selon la page décrivant ces groupes, la notation retenue ne serait-elle pas plutôt D₈ (« On utilisera ici la notation D_2n ») ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Supercontente (discuter), le 18 février 2016 à 19:02 UTC+X

Vous avez raison. Comme il y avait accord sur Discussion:Groupe diédral pour adopter la notation D_2n, j'ai modifié le présent article. Marvoir (discuter) 18 février 2016 à 19:31 (CET)

Image de l'élément neutre par un morphisme de groupes

Je ne trouve nulle part la démonstration du fait qu'un morphisme de groupes envoie l'élément neutre du premier groupe sur celui du second (mais peut-être n'ai-je pas bien cherché). Vivarés (discuter) 26 juin 2016 à 17:50 (CEST)

Je me réponds à moi-même, après une légère modification du présent article Groupe (mathématiques) par Anne : la démonstration, dans l'article Monoïde, est celle du fait que « Tout morphisme de magmas d'un monoïde vers un groupe est un morphisme de monoïdes » (je trouve dommage, pour une propriété aussi élémentaire des morphismes de groupes, d'obliger le lecteur à passer par les structures de magma et de monoïde et leurs morphismes : ce n'est pas très transparent, et il faut décoder. Mais comme toujours, la critique est aisée...).Vivarés (discuter) 26 juin 2016 à 19:15 (CEST)

Je ne sais pas si la section sur les morphismes est très bien rédigée. On y lit par exemple :

« En effet, cette condition assure que l'image de l'élément neutre du groupe (G ; •) est l'élément neutre de (H ; *) et que l'image du symétrique a⁻¹ de tout élément a est le symétrique de l'image de a (f(a⁻¹) = f(a)⁻¹). »

Ce « en effet » semble supposer qu'il y a une définition des morphismes de groupes préexistante à celle qui vient d'être donnée et qu'on prouve maintenant que celle qui vient d'être donnée est équivalente à la définition préexistante. Mais la définition préexistante est absente... On pourrait évidemment se référer à une définition préexistante qui serait énoncée dans le cadre général de l'algèbre universelle (et qui, alors, ferait en effet intervenir les neutres et les symétriques), mais il me semble que ce degré d'abstraction devrait être réservé à un stade ultérieur. Quant à la justification donnée en note, à savoir « Tout morphisme de magmas d'un monoïde vers un groupe est un morphisme de monoïdes », je n'ai rien contre, car les notions de magma et de monoïde sont fondamentales. Peut-être pourrait-on aussi renvoyer à la démonstration qui est donnée dans l'article Morphisme de groupes.

La phrase suivante : « Ainsi, l'image d'un morphisme de groupes respecte les axiomes de groupe » devrait peut-être être précisée ainsi : « Plus précisément, l'image d'un morphisme de groupes est un sous-groupe du groupe d'arrivée. » Pour cela aussi, il y a une démonstration dans l'article Morphisme de groupes. Marvoir (discuter) 26 juin 2016 à 21:38 (CEST)

La démonstration (en deux ou trois lignes) de l'article sur les morphismes de groupes est celle que je viens d'ajouter. Je veux bien vous croire quand vous dites que les notions de magma et de monoïde sont fondamentales ; mais apparemment, ces notions ne sont pas au programme de la licence, par exemple. D'où la question que je me pose : à qui s'adressent ces articles ? Que l'on commence par donner une démonstration directe (d'ailleurs très simple) dans le seul cadre de la théorie des groupes, et qu'on donne à côté (dans d'autres articles) des généralisations, fort bien. Mais qu'on oblige le lecteur de bonne volonté intéressé par la théorie des groupes à passer d'abord par le détour de théories plus générales (dans des articles multiples), puis à les particulariser, ne me semble pas satisfaisant. Vivarés (discuter) 27 juin 2016 à 00:12 (CEST)

Concernant la dem renvoyant sur le magma, Bourbaki a encore frappé...Un doublon peut parfois s'imposer, c'est pourquoi je trouve justifiable la présence de la dem (en trois lignes) maintenant introduite dans morphisme de groupe.

Concernant la rédaction de la section dans cet article, je ne suis pas aussi puriste que Marvoir. Je trouve au contraire que pour un article encylopédique (qui n'a pas à être un cours) il en respecte bien l'esprit : une explication pragmatique : un morphisme de groupe doit préserver la structure de groupe (le terme préserver n'a pas de définition mais donne une idée générale de ce qu'on doit attendre du morphisme). Ensuite une CNS qui tient lieu de définition. Ensuite une remarque destinée à rassurer le lecteur : cette seule condition suffit à assurer la conservation de l'élément neutre et du symétrique et donc à préserver la structure de groupe. Dans une encyclopédie, on ne construit pas un cours, on explique des concepts. Mais je reconnais qu'à ce niveau, tout est affaire de point de vue. HB (discuter) 27 juin 2016 à 08:06 (CEST)

 Vivarés : Je n'avais pas remarqué que c'était vous qui aviez ajouté la démonstration en question à l'article Morphisme de groupes. Je n'ai peut-être pas montré assez clairement que je suis d'accord avec vous : quand il est possible de donner une démonstration élémentaire qu'un niveau supplémentaire de généralité ne simplifie pas, il vaut mieux donner la démonstration élémentaire. Mais si la démonstration élémentaire s'étend de façon immédiate à des notions plus générales, il n'est pas mauvais de le signaler aussi (en remarque) au lecteur susceptible d'être intéressé. L'énoncé plus général fait mieux voir où est l'essentiel de la démonstration particulière.

 HB : Si je suis seul de mon avis sur ce point, je ne m'obstine pas. Marvoir (discuter) 27 juin 2016 à 08:21 (CEST)

1. C'est moi qui avais bourbakisé ce § en décembre, mais je suis d'accord (comme Marvoir et HB si j'ai bien compris) avec le compromis de Vivarés, qui a ajouté une courte démo dans l'article loupe. Du coup, je trouve qu'on devrait signaler ici son existence, et transporter là-bas (en les adaptant) mes 2 notes bourbakistes.
2. Concernant la rédaction, je suis un peu entre l'avis d'HB et celui de Marvoir : d'accord pour donner d'abord informellement l'idée générale (« préserver… ») mais utiliser le mot « définir » ou « définition » avant d'écrire f(a • b) = f(a) * f(b), puis énoncer, en faisant sentir que c'est ce qu'on entendait par « préserver… », les conséquences de cette définition (« cette condition assure que… »).
3. La phrase « Ainsi, l'image d'un morphisme de groupes respecte les axiomes de groupe. » est en effet bizarrement formulée, et de plus bizarrement placée. Je propose de l'effacer et d'écrire dans le § suivant, juste après a⁻¹ • b ∈ H : « ceci permet par exemple de montrer que l'image d'un morphisme de groupes est un sous-groupe du groupe d'arrivée ».
4. La preuve de ça est absente là-bas : mettre une boîte déroulante dans Morphisme de groupes#Liens avec les sous-groupes ?

Anne, 10 h 52

Il me semble que c'est tout à fait judicieux et que tout le monde y trouve son compte. Marvoir (discuter) 27 juin 2016 à 11:02 (CEST)

section "Généralisations"

Bonjour,
Je ne suis pas du tout convaincu par la première phrase de la section Généralisations:

En algèbre générale, des structures plus générales sont définies en omettant certains axiomes de la définition des groupes. Par exemple, si la condition que chaque élément possède un symétrique est éliminée, on obtient une structure algébrique appelée monoïde

Bien que je ne sois pas tout-à-fait clair sur les notions de structure algébrique et de variété (j'ai tendance à dire qu'on peut avoir des variétés dans des variétés et je ne suis certain pas que ce soit légal), je crois qu'il serait plus malin de définir groupe, monoïde et semigroupe comme des variétés de magma plutôt que d'aller du cas particulier au cas général. Je propose donc un truc de ce type:

Un magma est une structure algèbrique définie comme un ensemble muni d'une loi de composition interne. Un groupe est donc un magma et, plus précisément, la classe des groupes est la variété des magmas associatifs, unifères et symétrisable. On peut définir de nombreuse variétés de magmas parmi lesquelles la variété des monoïde, les magmas associatifs et unifères, et celle des demi-groupe, les magmas associatifs. On notera des relation d'inclusion entre certaines variétés, un groupe étant nécessairement un monoïde et un monoïde un demi-groupe. Parmi les variétés non nécessairement associatives, on notera l'existence de la variété des quasigroupe, définie par une propriété très intéressante (magmas dans lesquels la composition à droite ou à gauche par n'importe quel élément induit une bijection) et qui a une relation assez forte avec la variété des groupes, puisque celle-ci est confondue avec celle des quasigroupes associatifs.

Si vous pensez que c'est juste et que ça mérite d'apparaître tel quel, vous pouvez faire un copier-coller. Mais vu que je ne suis pas sûr de mon texte (et entre autre de l'utilisation du mot symétrisable, je crois que j'ai néologisé), je ne le ferais pas moi-même. La référence aux quasigroupes est peut-être de trop, mais pour avoir le nez dedans ces temps-ci, je trouve que la propriété de "bijectivité par composition" dans un groupe est souvent très très bonne à prendre.

--Un autre type (discuter) 18 avril 2018 à 16:24 (CEST)

Loi additive, multiplicative

Bonjour,

On défini ce que c'est qu'une LCI mais on ne définie pas ce qu'est une loi additive ou une loi multiplicative et pourtant ces termes sont utilisés dans l'article...

HacHledj 20 novembre 2018 à 16:33

C'est expliqué dans la section 1.3 Remarque sur le vocabulaire --Valvino ^(discuter) 20 novembre 2018 à 18:19 (CET)

Version anglaise en commentaires

Quel est l'intérêt de conserver la version anglaise correspondante en commentaires (dans les balises < !--- ... --> ? HB (discuter) 11 février 2020 à 08:37 (CET)

Il me semble aussi que ces citations de la version anglaise (au nombre de deux, si je ne me trompe) peuvent disparaître. Elless n'ajoutent rien au texte français. Marvoir (discuter) 11 février 2020 à 13:06 (CET)

Supprimé. HB (discuter) 11 février 2020 à 17:03 (CET)

Axiomes

Xavier Combelle vient de faire disparaître l'expression "axiomes (de la théorie) des groupes". Pourtant, cette expression est courante. Marvoir (discuter) 4 mars 2020 à 19:44 (CET)

De plus "propriété" n'est pas synonyme, donc, pour la seconde intervention (affaiblissement), ça ne veut plus rien dire, ceci dit avant ça n'était pas très heureux. Ca paraît indispensable de parler d'axiomes de groupe, mais on doit pouvoir arriver à se mettre d'accord. Proz (discuter) 4 mars 2020 à 22:15 (CET)

vous pouvez reverter, c’est pas facile depuis un mobile Xavier Combelle (discuter) 5 mars 2020 à 09:07 (CET)

Pour ma part, j'ai simplement voulu noter que l'expression "axiomes des groupes" est conforme à l'usage, mais si Proz pense que la version antérieure doit être améliorée, je lui laisse champ libre, car je préfère ne pas m'aventurer dans ce domaine. Marvoir (discuter) 5 mars 2020 à 09:48 (CET)

Case en couleur dans la table de Cayley de D8 : erreur ?

dans la table de Cayley de D8, la case r3 • fh est coloriée en mauve, pourquoi ? rien ne renvoie à cette couleur dans le commentaire en dessous. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 2806:107E:19:3093:FC34:8512:8011:9FF4 (discuter), le 8 janvier 2021 à 01:02 (CET)

Ça correspond à la phrase suivante, que j'ai mise un peu plus en valeur dans le texte : « Ainsi, à l'intersection de la ligne f_h et de la colonne r₃ se trouve f_d (case coloriée en bleu). Cela signifie que f_h • r₃ = f_d. » Comme dans la VO, j'ai donc remplacé le mauve par du bleu. Anne, 10 h 18

Inverse ou symétrique?

Bon, j'ai un petit problème avec le choix du terme symétrique de x pour l'élément x' tel que x*x'=x'*x=e. Ce terme est aisément sourçable. Par exemple Lelong-Ferrand/Arnaudies, Cours de mathématiques, Algèbre, t. I, Dunod, 1974, p. 49.

Mais Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], p. 219, parle d'inverse pour le cas général.

En 30 ans le vocabulaire peut changer et peut-être devrions-nous en tenir compte. HB (discuter) 24 novembre 2022 à 19:57 (CET)