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Cet article concerne la structure algébrique. Pour les applications aux équations différentielles, voir C0-semigroupe (en) ou Semi-groupes.

En mathématiques, un demi-groupe (ou semi-groupe) est l'une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative. Autrement dit, c'est un magma associatif. Il est dit commutatif si sa loi est de plus commutative.

Un monoïde est un demi-groupe unifère, c'est-à-dire possédant un élément neutre[1],[2].

ExemplesModifier

  • L'ensemble vide pour sa seule loi de composition interne : l'application vide.
  • Tout groupe et plus généralement tout monoïde.
  • Tout pseudo-anneau, pour la multiplication (plus exactement si   est un pseudo-anneau, alors   est un demi-groupe).
  • Tout ensemble ordonné dont toute paire d'éléments possède une borne inférieure, muni précisément de la loi qui leur associe cette borne inférieure, constitue un demi-groupe commutatif et dont tout élément est idempotent. La réciproque est vraie : soit   un tel demi-groupe, en posant   si  , on a S partiellement ordonné par R et toute paire d'éléments possède une borne inférieure dans (S, R).
  • Pour tout demi-groupe  , l'ensemble des parties de S en est également un pour l'opération définie par 

MorphismeModifier

Soient   et   deux demi-groupes. Une application   est un morphisme de demi-groupes si   pour tous  . Par exemple, l'application   est un morphisme du demi-groupe des entiers naturels munis de l’addition dans le demi-groupe des puissances entières de 2 munis de la multiplication.

Adjonction d'un élément neutreModifier

Soit   un demi-groupe. Il est d'usage de noter   le monoïde obtenu par l'ajout à   d'un élément supplémentaire, qui déterminera   comme l'unique prolongement de   à   qui fait de ce nouvel élément le neutre de   ce dernier restant   s'il est déjà unifère. Formellement

 

Dans le deuxième cas,   est un objet quelconque qui ne figure pas dans  , et la loi   sur   est étendue à   en posant

  pout tout   dans  

Lorsque le demi-groupe   est commutatif, le monoïde   l'est aussi. On définit alors son groupe symétrisé ou groupe de Grothendieck  . Si de plus   est simplifiable (c'est-à-dire si tous ses éléments sont réguliers) alors   l'est aussi, donc le morphisme canonique de   dans   (via   ) est injectif.

Sous-demi-groupeModifier

Un sous-demi-groupe d'un demi-groupe   est un sous-ensemble de   fermé sous l'opération de  . Un sous-monoïde d'un monoïde   est un sous-demi-groupe de   qui contient l'élément neutre de  .

Ainsi l'ensemble ℕ des nombres naturels, muni de la multiplication, est un demi-groupe commutatif dont l'ensemble 2ℕ des nombres pairs est un sous-demi-groupe : à noter que ℕ est un monoïde avec élément neutre 1 alors que 2ℕ n'est qu'un demi-groupe.

Un sous-demi-groupe d'un monoïde   peut être un monoïde sans être un sous-monoïde de  . Par exemple dans le monoïde multiplicatif ℕ ci-dessus, le sous-demi-groupe {0} est le monoïde trivial, mais n'est pas un sous-monoïde de ℕ, car il ne contient pas l'élément neutre de ℕ.

InversesModifier

Il existe dans les demi-groupes une notion de pseudoinverse (à comparer avec celle de matrice pseudoinverse) et une notion d'inverse (nécessairement différente de celle d'« inverse » au sens d'élément symétrique dans les groupes, puisqu'un demi-groupe ne possède pas nécessairement d'élément neutre) ; (voir aussi Inverse (homonymie)) :

  est un pseudoinverse[3] de   si  .
  est un inverse de   si   et  .

Tout inverse est évidemment un pseudoinverse. Réciproquement, si   est un pseudoinverse de   alors[4]   est un inverse de  , puisque   et  .

Un demi-groupe régulier est un demi-groupe dans lequel tout élément admet au moins un pseudoinverse ou (ce qui, d'après ce qui précède, est équivalent) au moins un inverse.

Un demi-groupe inversif est un demi-groupe dans lequel tout élément admet un unique inverse[5].

IdéauxModifier

Une partie[6]   d'un demi-groupe   est un idéal à gauche (à droite) si  ,  . C'est un idéal (bilatère) s'il est à la fois un idéal à droite et à gauche. Pour tout élément   de  , l'ensemble  ,  ,   est l'idéal à gauche, à droite, bilatère engendré par  . Un idéal est propre s'il est non vide et distinct du demi-groupe tout entier.

Un zéro d'un demi-groupe   est un élément   tel que   pout tout   dans  . Par exemple, le nombre 0 est un zéro des entiers naturels pour la multiplication. Si un demi-groupe possède un zéro, il est unique. Le zéro, s'il existe, est un idéal bilatère propre si   ne se réduit pas à cet élément.

Quotient de ReesModifier

Soit   un demi-groupe et soit   un idéal de  . Le quotient de Rees   de   par   est le demi-groupe quotient de   par la congruence de Rees  , définie par

 .

Si   est vide,  . Si  ,   est un singleton. Si  , on emploie la construction suivante[7] : On dénote la classe de   par  , et on identifie les autres classes à leur unique élément. Alors  , avec la multiplication   définie comme suit :   est un zéro, et

 

Le quotient de Rees est nommé ainsi d'après son concepteur, le mathématicien David Rees.

Exemple 
Dans le monoïde libre   engendré par un alphabet   à deux lettres au moins, on considère l'idéal des mots contenant un mot carré, c'est-à-dire l'ensemble des mots de la forme  , où   sont des mots, et   n'est pas le mot vide. Le quotient de Rees est composé des mots sans carré de  , et d'un zéro. Si   est composé de deux lettres   et  , le quotient de Rees est fini et formé de  , du mot vide et du zéro. Si   a plus de deux lettres, ce quotient de Rees est infini.

Demi-groupe simple et 0-simpleModifier

  • Un demi-groupe   est simple si ses seuls idéaux sont   et S.
  • Un demi-groupe   est 0-simple s'il possède un zéro noté  , si   et si   et   sont ses seuls idéaux. Comme   est un idéal non vide, la seule possibilité qui reste est  . Un demi-groupe 0-simple ne se réduit donc pas à son zéro.
Exemples
Le demi-groupe bicyclique est simple. Tout groupe est simple en tant que demi-groupe.
Un 0-groupe est un demi-groupe de la forme  , où   est un groupe et où   est un élément qui joue le rôle d'un zéro et qui n'est pas dans  . La loi de   est donc étendue à   par   pour   dans  . On écrit en général   pour  . Plus généralement, si   est un demi-groupe non vide, on note   le demi-groupe avec zéro obtenu en ajoutant un zéro à  . Un 0-groupe est un demi-groupe 0-simple.

Idéal minimalModifier

Le produit   d'idéaux   est un idéal contenu dans leur intersection. Il en résulte que si les idéaux   ne sont pas vides, leur intersection ne l'est pas non plus.

Un idéal non vide   est minimal s'il ne contient pas d'autre idéal non vide. Ainsi, un idéal minimal, vu comme demi-groupe, est un demi-groupe simple. Comme l'intersection de deux idéaux non vides est un idéal non vide, un demi-groupe possède au plus un seul idéal minimal. L'existence d'un idéal minimal est assurée dans le cas d'un demi-groupe fini (on prend simplement l'intersection de tous les idéaux non vides).

Si un demi-groupe   possède un zéro  , il est à lui tout seul l'idéal minimal de  . Un idéal   de   est  -minimal s'il est non vide, différent de  , et ne contient pas d'autre idéal non vide. Un idéal 0-minimal  , vu comme demi-groupe, est un demi-groupe 0-simple sauf si  .

Exemple 
Le demi-groupe   défini par   pour   possède deux idéaux 0-minimaux, à savoir   et  .

HistoriqueModifier

L'étude des demi-groupes, en tant que structure algébrique, commence avec des travaux russes, notamment de Anton Suschkewitsch, qui détermina en 1928 la structure des semi-groupes simples finis[8], et Evgenii Sergeevich Lyapin. Quelques années plus tard, des travaux fondateurs ultérieurs furent menés par David Rees, James Alexander Green, Alfred H. Clifford et Gordon Preston[9]. La théorie des demi-groupes finis s'est beaucoup développée, en liaison avec la théorie des automates, sous l'impulsion de Marcel-Paul Schützenberger et Samuel Eilenberg notamment. Elle est directement liée aux variétés de langages formels[10].

Depuis 1970 paraît un périodique consacré à la théorie des demi-groupes, appelé Semigroup Forum.

RéférencesModifier

  1. Cette définition est conforme à N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, vol. I, Paris, édition de 1970, ch. I, § 2, n° 1, déf. 2, p. I.12. Dans l'édition de 1964, « monoïde » avait un sens différent.
  2. Une certaine confusion dans la terminologie a pu exister en langue française due, en partie du moins, au fait qu'en 1904, le mathématicien français J.-A. de Séguier, dans Éléments de la Théorie des Groupes Abstraits, proposait le terme « semi-groupe » pour désigner un demi-groupe simplifiable. Cette distinction est maintenant abandonnée.
  3. Kilp, Knauer et Mikhalev 2000, page 33.
  4. Clifford et Preston 1961, Lemma 1.14.
  5. Le terme « inversif » apparaît dans G. Thierrin, « Sur les éléments inversifs et les éléments unitaires d'un demi-groupe inversif », C. R. Acad. Sci. Paris vol. 234 (1952) pp. 33-34. On dit aussi « inverse », en analogie avec le terme anglais.
  6. Howie accepte l'idéal vide, Grillet demande qu'il ne soit pas vide.
  7. Voir par exemple Grillet 1995, p. 17-18.
  8. Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit, 1928.
  9. (en) G. B. Preston, « Personal reminiscences of the early history of semigroups », sur gap-system.org, (consulté le 12 mai 2009).
  10. Pin 1986.

LittératureModifier

Histoire des demi-groupes
Ouvrages historiques
  • (en) Alfred H. Clifford et Gordon B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, vol. I, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys » (no 7-Part I), , xv+224 p. (ISBN 978-0-8218-0272-4, Math Reviews 0132791)
  • (en) Alfred H. Clifford et Gordon B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, vol. II, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys » (no 7-Part II), , xv+350 p. (ISBN 978-0-8218-0272-4, Math Reviews 0218472)
  • (en) Evgueni S. Lyapine, Semigroups, American Mathematical Society, coll. « Translations of Mathematical Monographs » (no 3),
    Deux autres éditions suivent, une première en 1968 avec un chapitre additionnel, et une deuxième, en 1974, avec un autre chapitre en plus.
Ouvrages classiques
  • (en) John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford University Press, coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series » (no 12), , x+351 p. (ISBN 0-19-851194-9, Math Reviews 1455373)
  • (en) Pierre Antoine Grillet, Semigroups : An Introduction to the Structure Theory, Marcel Dekker, coll. « Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics » (no 193), , xii+398 p. (ISBN 0-8247-9662-4, Math Reviews 2000g:20001)
  • Gérard Lallement, Semigroups and Combinatorial Applications, John Wiley & Sons, coll. « Pure and Applied Mathematics », , xi+376 p. (ISBN 0-471-04379-6, Math Reviews 81j:20082)
  • (en) Jean-Éric Pin, Varieties of Formal Languages, Plenum Press,
Ouvrages récents
  • (en) Mati Kilp, Ulrich Knauer et Alexander V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories : With Applications to Wreath Products and Graphs, Walter de Gruyter, coll. « De Gruyter Expositions in Mathematics » (no 29), , xviii+529 p. (ISBN 3-11-015248-7)
  • (en) Attila Nagy, Special Classes of Semigroups, Kluwer Academic Publishers, coll. « Advances in Mathematics (Dordrecht) » (no 1), , viii+269 p. (ISBN 0-7923-6890-8, Math Reviews 2002d:20091, présentation en ligne)

Articles connexesModifier