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Groupe simple

type de groupe mathématique

En mathématiques, un groupe simple est un groupe non trivial qui ne possède pas de sous-groupe distingué autre que lui-même et son sous-groupe trivial[1],[2].

DéfinitionModifier

Un groupe   est dit simple s'il a exactement deux sous-groupes distingués :   (  étant l’élément neutre du groupe) et   lui-même.

ExemplesModifier

Quelques exemples de groupes simples :

  • Les seuls groupes abéliens simples sont les groupes cycliques d'ordre premier. En effet, tout sous-groupe d'un groupe abélien est normal, et
    un groupe non trivial qui ne possède pas de sous-groupe autre que lui-même et son sous-groupe trivial est cyclique d'ordre premier.

IntérêtModifier

Le terme « simple » signifie que de tels groupes ne sont pas, en quelque sorte, « réductibles » à un groupe plus maniable. L'intérêt d'un sous-groupe distingué non trivial   d'un groupe   est souvent de permettre la construction du groupe quotient  . L'étude de   se ramène alors à celle de   et de  . Cette construction n'est pas possible pour un groupe simple et on ne peut donc pas ramener son étude à celle d'un groupe quotient de cardinal plus petit que lui.

Tout groupe simple non abélien est non résoluble.

Les groupes simples finis sont importants car ils peuvent être perçus comme les briques de base de tous les groupes finis, de la même façon que tous les nombres entiers peuvent être décomposés en produit de nombres premiers.

La classification des groupes simples finis fut achevée en 1982.

Théorème de Feit-ThompsonModifier

Article détaillé : Théorème de Feit-Thompson.

Le théorème de Feit-Thompson dit que tout groupe fini d’ordre impair est résoluble. Il en résulte que tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair et contient donc au moins une involution (c'est-à-dire un élément d'ordre 2).

Notes et référencesModifier

  1. (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4e éd., tirage de 1999, p. 39.
  2. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. 1, 1970, p. 36.

Voir aussiModifier

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