Classe de Donsker

Une classe de Donsker est une classe de fonctions mesurables qui vérifie la propriété de la convergence en loi du processus empirique indexé par cette classe de fonctions vers le pont brownien indexé lui-aussi par cette classe de fonction. Il s'agit d'une généralisation au théorème de Donsker.

DéfinitionsModifier

Soient des variables aléatoires   i.i.d. définies sur un espace de probabilité   à valeurs dans un espace mesurable   et   une classe de fonctions mesurables de   à valeurs réelles. On dit que   est une classe de Donsker si elle vérifie la propriété

 

avec   le processus empirique indexé par la classe de fonctions   et   le pont brownien indexé par  , i.e. le processus gaussien centré dont la fonction de covariance est donnée par

 

Puisqu'une classe de Donsker   dépend de la mesure   la loi des  , on peut dire en cas d'éventuelle confusion sur la loi que   est une classe de  -Donsker.

En particulier, le théorème de Donsker revient à dire que la classe des fonctions indicatrices   est une classe de Donsker. Ce théorème dit donc que le processus empirique converge en loi vers un pont brownien.

Conditions suffisantesModifier

Les conditions suffisantes évoquées dans cette partie[1] impliquent implicitement la continuité du processus limite d'après le théorème de Dudley[2].

Condition avec l'entropie avec crochetModifier

Soit   une classe de fonctions mesurables vérifiant

 

  est le logarithme de  , le nombre de recouvrements avec crochets de   de rayon   et avec la distance  . Alors   est une classe de Donsker

Condition avec l'entropieModifier

On note   le logarithme de   du nombre de recouvrement de   de rayon   et avec la distance  . Supposons que   est une classe de fonctions satisfaisant les conditions

  •  , où   est une enveloppe de   et le supremum est pris sur l'ensemble des mesures de probabilité discrètes de   telles que   ;
  • Les classes   et   sont  -mesurables pour tout   ;
  •   avec   une enveloppe de  .

Alors   est  -Donsker.

La première condition est généralement appelée « condition d'entropie uniforme ».

Condition avec les deux entropiesModifier

Soit   une classe de fonctions mesurables vérifiant

 

De plus, on suppose que   possède une enveloppe   admettant un moment de second ordre faible (i.e.  ). Alors   est une classe de  -Donsker.

Articles connexesModifier

RéférencesModifier

  1. (en) Aad W. Van Der Vaart et Jon. A. Wellner, Weak convergence and empirical processes with applications to statistics, Springer, p. 127
  2. (en) Michel Ledoux et Michel Talagrand, Probability in Banach spaces, Springer, p. 321