Pont brownien

Un pont brownien standard est un objet mathématique issu de la théorie des probabilités. C'est un processus stochastique à temps continu de loi celle d'un processus de Wiener et conditionné à s'annuler en 0 et en 1. À ne pas confondre avec l'excursion brownienne.

Simulations de deux ponts browniens standard indépendants (en rouge et en vert)

Le pont brownien standard est ainsi également appelé « mouvement brownien attaché » ("tied down Brownian motion" en anglais), « mouvement brownien attaché en 0 et 1 » ("Brownian motion tied down at 0 and 1" en anglais) ou « mouvement brownien épinglé » ("pinned Brownian motion" en anglais)

Le pont brownien (non standard) est une généralisation du pont brownien standard en utilisant le conditionnement par l’événement .

DéfinitionModifier

Un pont brownien standard est un processus stochastique   à temps continu dont la loi est celle d'un processus de Wiener (modèle mathématique du mouvement brownien) sachant l’événement  . Il s'agit d'un processus aléatoire gaussien, c'est-à-dire que la loi de probabilité de tout vecteur  , conditionnellement à  , est gaussienne. Il est alors caractérisé par sa moyenne et sa covariance :

 

Remarque : l'événement   est de probabilité nulle. Considérons alors l’événement   de probabilité non nulle. On peut ainsi considérer la loi conditionnelle   du mouvement brownien sachant  . La convergence en loi suivante (propriété 12.3.2. du livre de R. Dudley[1]):

 

permet de donner un sens rigoureux à la définition du pont brownien.

Relations avec d'autres processus stochastiquesModifier

Relations avec le mouvement brownienModifier

Propriété 1

Si   est un processus de Wiener (ou mouvement brownien), alors le processus   défini par   est un pont brownien standard.

Réciproque

Si   est un pont brownien standard et Z une variable aléatoire normale, alors les processus   et   définis par :

 

sont des processus de Wiener.

Propriété 2

Si   est un processus de Wiener, alors le processus   défini par   est un pont brownien standard.

Réciproque

Si   est un pont brownien standard, alors le processus   défini par   est un processus de Wiener.

Relations avec l'excursion brownienneModifier

 
en haut : simulation d'un pont brownien standard (en utilisant la Propriété 1). Le changement de couleur correspond à l'emplacement du minimum.
en bas : simulation de l'excursion brownienne associée (en utilisant la Propriété 3).

Le pont brownien et l'excursion brownienne sont deux objets mathématiques différents mais l'un peut se construire à partir de l'autre[2].

Définissons la transformée de Verwaat   d'une fonction continue   par

 

Intuitivement, la trajectoire de   est celle de   sur   mais coupée au temps   et où les deux parties sont inversées.

Propriété 3

Supposons que  désigne un pont brownien standard et   le temps aléatoire (presque sûrement unique) où   atteint son minimum. Alors le processus   défini par   a pour la loi celle de l'excursion normalisée du mouvement brownien. De plus   est indépendante de   et est de loi uniforme sur  .

Intuitivement, l'excursion brownienne normalisée est construite à partir d'un pont brownien en le coupant en son minimum et en inversant les deux parties obtenues.

Réciproque

Supposons que  désigne une excursion normalisée du mouvement brownien et   une variable aléatoire indépendante de   et de loi uniforme sur  . Alors le processus   défini par   a pour loi celle du pont brownien. De plus   est l'unique temps en lequel   atteint son minimum.

Expression sous forme de diffusionModifier

Le pont brownien peut être exprimé comme un processus de diffusion. En effet, si   est un mouvement brownien standard, la solution de l'équation différentielle stochastique :

 

munie de la condition initiale   a la même loi que le pont brownien. Notamment, le processus   est markovien, ce qui n'est pas clair à partir de la définition de   comme mouvement brownien conditionné par sa valeur finale.

Relation avec le processus empiriqueModifier

D'après le théorème de Donsker, si les variables   sont indépendantes identiquement distribuées de loi uniforme sur  , le processus empirique

 

converge en loi vers le pont brownien.

PropriétésModifier

  désigne un pont brownien standard.

Propriété 4 (temps d'atteinte)

Soit   un nombre réel alors

 

Propriété 5 (loi du supremum)

Soit   un nombre réel strictement positif alors

 

C'est cette propriété qui est à l'origine du test de Kolmogorov-Smirnov.

Propriété 6

Soient   deux nombres réels strictement positifs alors

 

Propriété 7

Soit   un nombre réel strictement positif alors

 

GénéralisationModifier

Il est possible de généraliser la définition du pont brownien pour que ce dernier soit indexé par des classes de fonctions. Soit   une classe de fonctions mesurables définies sur   à valeurs réelles et   une variable aléatoire de loi   définies sur un espace de probabilité   à valeurs dans  . On note   le  -pont brownien indexé par cette classe de fonctions, c'est-à-dire l'unique processus gaussien centrée dont la fonction de covariance est donnée par

 

Le pont brownien standard est donc le pont brownien indexé par la classe des fonctions indicatrices  

Si le processus empirique indexé par une classe de fonctions   converge en loi vers le pont brownien indexé par cette même classe de fonctions, alors cette classe est appelée est une classe de Donsker.

RéférencesModifier

  1. (en) R.M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge University Press, (ISBN 0-511-02958-6)
  2. Philippe Biane, Relations entre pont et excursion du mouvement brownien réel, Annales Henri Poincaré, section B, tome 22, n°1 (1986), p. 1-7 http://archive.numdam.org/article/AIHPB_1986__22_1_1_0.pdf