Théorème de Donsker

En théorie des probabilités, le théorème de Donsker établit la convergence en loi d'une marche aléatoire vers un processus stochastique gaussien. Il est parfois appelé le théorème central limite fonctionnel.

Simulations de Xn de n=100 à n=800 avec U de loi uniforme sur l'ensemble {-1,1}

Ce théorème est une référence pour la convergence en loi de marches aléatoires renormalisées vers un processus à temps continus. De nombreux théorèmes sont alors dits de « type Donsker ».

Énoncé classiqueModifier

Soient   une suite iid de variables aléatoires centrées, de carré intégrable et de variance  .

On interpole la marche aléatoire   de manière affine par morceaux en considérant le processus   défini par

  pour t  ∈  [0,1] et où [x] désigne la partie entière de x.

Considérons l'espace   des fonctions à valeurs réelles et continues sur [0,1]. On munit   de la tribu borélienne   et de la norme infini   . Ainsi,   est une variable aléatoire à valeurs dans   .

Théorème (Donsker, 1951)Modifier

La suite   converge en loi vers un mouvement brownien standard   quand n tend vers l'infini.

Ici B est vu comme un élément aléatoire de  .

Idées de la démonstrationModifier

Notons  

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on montre que   converge en probabilité vers 0.

Ainsi par le théorème central limite,   (converge en loi) où N est une variable aléatoire de loi normale  .

De manière similaire, on obtient successivement

 
 
 

B est un mouvement brownien standard.

Reste à montrer que la suite   est tendue. Pour cela, on montre que

 

On démontre d'abord cette convergence pour le cas où les variables   sont normales. Pour généraliser à une loi quelconque, on utilise le théorème central limite et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour affiner les majorations[1].

Énoncé pour les processus empiriquesModifier

Soit   une suite iid de variables aléatoires de loi uniforme sur [0,1]. On note F la fonction de répartition commune des variables  . (   ) On définit la fonction de répartition empirique Fn de l'échantillon X1,X2,...,Xn par

 

ainsi que le processus empirique associé Wn par

 .

Considérons l'espace   des fonctions càdlàg (continues à droite et avec limites à gauche) sur [0,1] muni de la topologie de Skorokhod.

Théorème (Donsker, 1952) (conjecture de Doob, 1949) —  La suite de processus   converge en loi dans l'espace   vers un pont brownien   quand n tend vers l'infini.

Voir égalementModifier

RéférencesModifier

  1. Voir (en) Patrick Billingsley (en), Convergence of Probability measures, Wiley-Interscience publication, , 2e éd., 296 p. (ISBN 978-0-471-19745-4, présentation en ligne) pour plus de détails.