Cinétique du point matériel ou sans masse

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La cinétique du point matériel ou sans masse est une théorie définissant le mouvement d'une particule de masse[1] positive ou nulle dans un référentiel en tenant compte de son inertie (c'est-à-dire principalement de sa masse inerte).

La cinétique du point matériel apparaît sous sa forme classique[2] avec Isaac Newton (1643 - 1727) ; plus de deux siècles plus tard - en 1905 - Albert Einstein (1879 - 1955) crée la cinétique des particules matérielles sous sa forme relativiste[3] ainsi que celle du photon (base de la cinétique des particules sans masse[4]).

Définitions des grandeurs cinétiquesModifier

On définit trois grandeurs cinétiques pour décrire le mouvement d'une particule dans un référentiel en tenant compte de son inertie :

Quantité de mouvementModifier

La quantité de mouvement d'une particule est usuellement notée  , sa définition dépend de la cinétique utilisable :

En cinétique classiqueModifier

 

  est la masse de la particule et   sa vitesse (avec   correspondant pratiquement à  ).

En cinétique relativiste des particules massiquesModifier

Pour une particule ayant une masse   et une vitesse   (avec  )[5] :

  est appelé facteur de Lorentz de la particule

(si la masse  ,   rendant la formule inapplicable dans le cas limite des particules de masse nulle).

En cinétique (relativiste) des particules de masse nulleModifier

Pour des particules de masse nulle (essentiellement des photons) :

il n'y a pas de lien entre   et  ,

la première étant de norme variable[6] et la seconde de norme constante.

UnitéModifier

Dans le système international d'unités (ou  ), la norme de la quantité de mouvement s'exprime en  .

Moment cinétique (relativement à un point O du référentiel)Modifier

Le moment cinétique d'une particule (relativement à un point   du référentiel) est noté   (ou  ).

En cinétique classique ou relativiste, quelle que soit la masseModifier

Ce dernier est défini comme le « moment de la quantité de mouvement calculé par rapport à   »[7]

 

  est la position de la particule à l'instant considéré.

UnitéModifier

Dans le système international d'unités (ou  ), la norme du moment cinétique d'une particule s'exprime en  .

Énergie cinétiqueModifier

L'énergie cinétique est la seule grandeur scalaire parmi les trois principales[8], elle est usuellement notée   (ou   ou encore  ), sa définition dépend de la cinétique utilisable :

En cinétique classiqueModifier

 .

En cinétique relativiste des particules massiquesModifier

Pour une particule de masse  , de vitesse   (avec  ) et de facteur de Lorentz «   »[9] :

«   »[10] ;

le plus souvent on remplace l'utilisation de l'énergie cinétique   par l'énergie totale   ; celle-ci est l'énergie cinétique décalée d'une constante égale à l'énergie de masse   c.-à-d. :

  soit
 .

En cinétique (relativiste) des particules de masse nulleModifier

Pour des particules de masse nulle :

«   »[11].

UnitéModifier

Dans le système international d'unités (ou  ), l'énergie cinétique[12] s'exprime en joules de symbole  .

Propriétés des grandeurs cinétiques classiques (ou newtoniennes)Modifier

Cette cinétique[13] s'applique aux particules ayant une masse   et une vitesse   telle que   (où   est la vitesse de la lumière dans le vide), ce qui correspond approximativement à   et plus précisément à   à 1 % près[14] ;

bien que la masse d'une particule soit invariante par changement de référentiel, la cinétique - comme la cinématique - dépend du référentiel.

Pour toute particule matérielle et dans tout référentiel on a défini trois grandeurs cinétiques, deux vectorielles sa quantité de mouvement ainsi que son moment cinétique relativement à O (point fixe ou mobile du référentiel) et une scalaire son énergie cinétique.

Quantité de mouvementModifier

Formellement la grandeur cinétique   est le produit de la grandeur cinématique   et de la grandeur d'inertie  , elle représente une réserve vectorielle exprimant le mouvement mais aussi l'inertie de la particule.

Moment cinétique relativement à OModifier

Formellement le moment cinétique relativement à   est le produit vectoriel de «   »[15] et de la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement   », il représente vectoriellement une réserve exprimant le mouvement mais aussi l'inertie de la particule, le tout relativement au point  .

Relation de changement de point par rapport auquel le moment cinétique est définiModifier

  et   étant deux points quelconques (fixes ou mobiles dans le référentiel  ), les moments cinétiques de la particule relativement à chaque point   et   sont liés entre eux par : .

Preuve : dans la définition de  , on utilise la relation de Chasles   d'où   puis la distributivité du produit vectoriel par rapport à l'addition soit   dont on tire la relation cherchée, en reconnaissant dans le dernier terme le moment cinétique relativement à  , soit  .

Cas d'un mouvement rectiligneModifier

Si on choisit l'origine   de calcul des moments sur la trajectoire de la particule, on a   et, par définition du produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires,  .

Cas d'un mouvement circulaireModifier

Expression du vecteur vitesse en fonction des vecteurs position et rotationModifier

Dans le cas d'un mouvement de rotation de rayon   autour du point  , de vecteur rotation   (ou résultante du torseur cinématique)    est la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe   passant par   et   le vecteur unitaire de l'axe définissant le sens positif de rotation, le vecteur vitesse   de la particule positionnée en   à l'instant considéré s'exprime selon :

«   »[16].
Expression du moment cinétique en OModifier

Si on reporte l'expression du vecteur vitesse dans la définition du moment cinétique en   on obtient   ou encore   et, en utilisant la formule du double produit vectoriel  , cela donne   car   ; finalement :

  avec   appelé moment d'inertie de la particule relativement à l'axe de rotation  .

Dans le système international d'unités (ou  ) le moment d'inertie s'exprime en  .

Le moment d'inertie est une deuxième grandeur d'inertie introduite (la première étant la masse) et, à l'aide de cette autre grandeur d'inertie, on retrouve, dans le cas de la rotation d'une particule, la relation formelle écrite dans le cas général à savoir :

la grandeur cinétique   est le produit de la grandeur cinématique   et de la grandeur d'inertie  .

Cas d'un mouvement plan curviligne (non circulaire)Modifier

Le mouvement étant plan, on y choisit   fixe ; on repère la particule par ses coordonnées polaires   dans le plan   du mouvement, ce plan étant orienté par le vecteur unitaire   de l'axe   passant par   et   au plan  , tel que la base cartésienne  , choisie orthonormée, soit directe [base encore notée  ] ; la base polaire associée à la particule est notée   ou  , c'est un cas particulier de la base cylindrique d'axe   notée   ou   également directe ;

la particule, positionnée en   à l'instant considéré, a un vecteur position   et un vecteur vitesse   ou   ;

on en déduit   soit, avec la distributivité du produit vectoriel par rapport à l'addition et avec   ainsi qu'avec  , on obtient l'expression suivante :

«   »[17].

Énergie cinétiqueModifier

L'énergie cinétique   (encore notée   ou  ) peut être définie à partir de la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement   », et de la grandeur d'inertie associée, « la masse   », selon   c.-à-d. formellement la moitié du quotient du carré de la grandeur cinétique   sur la grandeur d'inertie associée   ;

on élimine aisément la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement   », au profit des premières grandeurs cinématique et d'inertie, « la vitesse   et la masse   », par utilisation de  , d'où   et on obtient la définition équivalente   c.-à-d. formellement la moitié du produit du carré de la grandeur cinématique   par la grandeur d'inertie associée   ;

on dispose aussi d'une troisième définition équivalente n'utilisant pas la masse, obtenue par   soit finalement  , c.-à-d. formellement la moitié du produit scalaire de la grandeur cinétique   et de la grandeur cinématique associée  .

Cas d'un mouvement circulaireModifier

Pour induire l'expression de l'énergie cinétique on peut utiliser la méthode formelle indiquée ci-dessus, sachant que, dans le cas d'une rotation, la grandeur cinématique intéressante est le vecteur rotation  , la grandeur cinétique associée, le moment cinétique relativement au centre   de rotation   et la grandeur d'inertie correspondante, le moment d'inertie relativement à l'axe   de rotation   d'où :

l'énergie cinétique   est la moitié du quotient du carré de la grandeur cinétique   sur la grandeur d'inertie associée  , soit   ;

l'énergie cinétique   est la moitié du produit du carré de la grandeur cinématique   par la grandeur d'inertie associée  , soit   ;

l'énergie cinétique   est la moitié du produit scalaire de la grandeur cinétique   et de la grandeur cinématique associée  , soit  .

Pour démontrer ces expressions on peut partir de la définition   en y reportant l'expression de la vitesse dans le cas d'un mouvement circulaire  , on obtient   dans laquelle on reconnaît le produit mixte de trois vecteurs   ; on utilise alors l'invariance du produit mixte par permutation circulaire c.-à-d.     d'où   soit   ; le remplacement de   par   donne la première expression alors que le remplacement de   par   fournit la seconde.

Dans le cas d'une rotation on peut donc aussi utiliser les trois expressions suivantes de l'énergie cinétique :

 .

Cas d'un mouvement plan curviligne (non circulaire)Modifier

On choisit   dans le plan du mouvement et on y repère la particule par ses coordonnées polaires  , le plan du mouvement étant orienté par le vecteur unitaire   de l'axe   passant par   et   au plan ; la base polaire associée à la particule est notée   ou  , c'est un cas particulier de la base cylindrique d'axe   notée   ou   base directe ;

la particule, positionnée en   à l'instant considéré, ayant un vecteur vitesse   on en déduit l'expression de son énergie cinétique par   en utilisant   :

«   »[18].

Propriétés des grandeurs cinétiques relativistes des particules matériellesModifier

La cinétique relativiste[19] s'est développée quasi simultanément à la cinématique et la dynamique relativistes ; cette dernière repose sur deux postulats, appelés postulats d'Einstein (1905) :

  1. Principe de relativité : Les lois de la physique ont la même forme dans tous les référentiels galiléens.
  2. La vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens.

En théorie classique, le caractère galiléen d'un référentiel n'intervient que dans la dynamique [en effet la cinétique est définie dans n'importe quel référentiel, qu'il soit galiléen ou pas, mais pour décrire simplement son évolution éventuelle connaissant ses causes de variation - c.-à-d. pour faire de la dynamique - il est exigé que le référentiel soit galiléen] ;

en théorie relativiste (ou relativité restreinte), on retrouve cette exigence concernant la dynamique - mais aussi toutes les lois de la physique - dans le premier postulat ; quant au second postulat, il concerne a priori l'électromagnétisme (nécessité que les référentiels soient galiléens pour écrire simplement les équations de Maxwell dans le vide, les changements de référentiels galiléens du champ électromagnétique étant décrits par ses transformations de Lorentz, lesquelles se retrouvent sous une forme semblable en cinétique du point).

Quantité de mouvementModifier

Expression relativiste de la quantité de mouvementModifier

Pour une particule de masse   et de vitesse   dans un référentiel spatio-temporel avec  , la quantité de mouvement définie précédemment, peut être réécrite en introduisant la vitesse relative de la particule dans le référentiel d'étude   de norme  , permettant de simplifier l'écriture du facteur de Lorentz en  , soit finalement :

 .

L'unité de norme de quantité de mouvement du   le   est mal adaptée pour des particules élémentaires compte tenu de la petitesse des valeurs de masse ; on utilise fréquemment une unité dérivée le   en introduisant la grandeur homogène à une énergie c.-à-d.     avec   énergie de masse de la particule, usuellement exprimée en Mégaélectron-Volt de symbole   [   ] ; ainsi une quantité de mouvement de norme égale à   correspond à une grandeur   de norme égale à  .

Expression relativiste de la quantité de mouvement aux faibles vitessesModifier

Dans le domaine des faibles vitesses   c.-à-d. que la norme de la vitesse relative peut être considérée comme un infiniment petit ; on peut alors faire un développement limité de la norme de   à l'ordre le plus bas non nul en   et, la grandeur étant proportionnelle à l'infiniment petit  , il suffit de faire le « développement limité de   à l'ordre zéro »[20] soit   et par suite

 , on retrouve effectivement l'expression de la quantité de mouvement de la cinétique classique.

Avec cette approximation l'erreur commise sur la norme de la quantité de mouvement est  , soit encore   et elle peut être estimée en poussant le « développement limité de   à l'ordre un en   »[21] ;

de façon à utiliser la première formule du formulaire des développements limités des fonctions usuelles au voisinage de zéro   développement limité à l'ordre un en l'infiniment petit   ou, écrit de façon plus succincte (et donc moins précise)  , on réécrit le facteur de Lorentz selon   et son développement limité à l'ordre un en   donne :

  d'où   soit   ou encore, l'erreur relative suivante :

  ; cette dernière est inférieure à   si   soit   ; on vérifie ainsi que l'expression classique de la quantité de mouvement reste applicable à   près si  .

Moment cinétique relativement à OModifier

Pour obtenir l'expression relativiste du moment cinétique d'une particule relativement à  , il suffit de reporter l'expression relativiste de la quantité de mouvement dans la définition du moment cinétique   soit «   »[22].

Énergie cinétiqueModifier

Expression relativiste de l'énergie cinétique (et de l'énergie totale)Modifier

Pour une particule de masse  , de vitesse   (avec  ) et de facteur de Lorentz «   »[9] l'énergie cinétique a été définie, en fonction du facteur de Lorentz   avec   vitesse relative de la particule, selon :   ;

le plus souvent on remplace l'utilisation de l'énergie cinétique   par celle de l'énergie totale   avec   énergie de masse de la particule, d'où :  .

L'unité d'énergie du   le   est mal adaptée pour des particules élémentaires ; on utilise souvent le Mégaélectron-Volt de symbole  
[ ][23].

Expression relativiste de l'énergie cinétique aux faibles vitessesModifier

Dans le domaine des faibles vitesses  , la norme de la vitesse relative peut être considérée comme un infiniment petit ; on peut alors faire un développement limité de   à l'ordre le plus bas non nul et, comme le facteur de Lorentz ne fait intervenir que le carré de la norme de la vitesse relative  , on prendra   comme infiniment petit, il suffit donc de « faire le développement limité de   à l'ordre un en   »[24] ;

l'erreur commise sur la norme de la quantité de mouvement en adoptant son expression classique étant     et ayant aussi nécessité le développement limité de   à l'ordre un en  , il suffit de reprendre ce dernier[25]   d'où   dont on déduit   et par suite

 ,
on retrouve effectivement l'expression de l'énergie cinétique de la cinétique classique.

Avec cette approximation l'erreur commise sur l'énergie cinétique est  , soit encore   et elle peut être estimée en poussant le « développement limité de   à l'ordre deux en   »[26] ;

de façon à utiliser la première formule du formulaire des développements limités des fonctions usuelles au voisinage de zéro   développement limité à l'ordre deux en l'infiniment petit   ou, écrit de façon plus succincte (et donc moins précise)  , on réécrit le facteur de Lorentz selon   et son développement limité à l'ordre deux en   donne :

  d'où   soit  
ou encore, l'erreur relative suivante :   ;

la valeur absolue de cette dernière est inférieure à   si   soit   ; l'expression classique de l'énergie cinétique reste applicable à   près « si   »[27].

Lien entre énergie cinétique (ou totale) et quantité de mouvementModifier

La quantité de mouvement et l'énergie cinétique (ou totale) d'une particule ont été définies à partir de sa vitesse ; éliminons la vitesse de façon à trouver un lien entre quantité de mouvement et énergie cinétique (ou totale) ; de   et de  , on déduit aisément l'expression de la vitesse relative   en fonction des grandeurs cinétiques   et   :

  ;

reportant cette expression de vitesse relative dans le facteur de Lorentz  , on obtient   ou,   étant d'autre part égal à  ,   soit   ou, en élevant au carré, on en déduit   soit finalement, l'énergie totale étant positive :  .

L'énergie cinétique s'obtient alors en retranchant l'énergie de masse soit  .

Propriétés des grandeurs cinétiques (relativistes) des particules de masse nulleModifier

Les particules de masse nulle sont purement énergétiques, l'exemple le plus connu est le photon[28] ; dans la dualité onde-corpuscule, un photon est la particule duale d'une onde électromagnétique ;

les particules de masse nulle se déplacent dans tout référentiel galiléen à la vitesse limite   laquelle s'identifie, dans la mesure où la masse théorique du photon est effectivement nulle[28], à la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide.

Énergie des particules de masse nulleModifier

Ces particules sans masse n'ayant évidemment pas d'énergie de masse, la seule énergie qu'on peut leur associer est une énergie liée à leur mouvement c.-à-d. l'énergie cinétique   et, comme l'énergie de masse  , c'est aussi l'énergie totale   soit   ;

c'est l'une des grandeurs cinétiques la plus facile à introduire pour une particule de masse nulle [par exemple un photon associé à une onde électromagnétique de fréquence   possède une énergie    est la constante de Planck] ;

L'unité d'énergie du   le   est mal adaptée pour des particules élémentaires de masse nulle ; on utilise l'Électron-Volt de symbole  
[ ] pour les photons associés aux ondes lumineuses ou   un multiple pour les particules plus énergétiques.

Quantité de mouvement des particules de masse nulleModifier

Dans la cinétique des particules matérielles relativistes il existe une relation entre grandeurs cinétiques dont la recherche de limite quand  , ne conduit pas à une forme indéterminée c'est   ; on prolonge la validité de cette formule aux particules de masse nulle et on en déduit   ; la direction et le sens de déplacement de la particule de masse nulle sont choisies pour définir la direction et le sens de sa quantité de mouvement d'où :

 .

L'unité de norme de quantité de mouvement du   le   est mal adaptée pour des particules de masse nulle ; comme cette norme s'identifie à l'énergie au facteur   près, on utilise l'unité dérivée l'  ; ainsi une quantité de mouvement de particule de masse nulle de norme égale à   correspond à une énergie   de valeur égale à  .

Espace de Minkowski et quadrivecteur « quantité de mouvement-énergie » d'une particuleModifier

L'espace de Minkowski est un espace affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte ;
la position d'une particule à un instant donné nécessitant la connaissance de « trois coordonnées spatiales et d'une temporelle »[29] et, le temps de la relativité restreinte n'étant plus un temps absolu mais un temps relatif[30], l'affichage des quatre coordonnées spatio-temporelles est facilité dans le repère de Minkowski associé au référentiel d'espace-temps dans lequel on étudie la particule[31].

Structure algébrique de l'espace de MinkowskiModifier

L'espace de Minkowski étant un espace affine de dimension quatre, il nécessite la donnée d'une origine spatio-temporelle[32] et d'un espace vectoriel (dit associé) de dimension quatre (sur  ).

Intervalle d'espace-temps entre deux événements ponctuels dans une base vectorielle de premier vecteur temporelModifier

Cette structure est complétée par la donnée, sur l'espace vectoriel associé[33], d'une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée, notée «   ou   »[34] : on suppose qu'il existe une base vectorielle  [35] telle que   dans lequel «   »[36] et «   »[36].

Comme pour toute forme bilinéaire, il lui correspond une forme quadratique définissant le carré de la pseudo-norme ou de la pseudo-métrique : «   »[36] [37].

Dans l'espace affine, les coordonnées du point spatio-temporel[38]  , sont définies par  [39] et on définit la distance entre deux points spatio-temporels[38]   (distance encore appelée intervalle d'espace-temps) par   grâce à la pseudo-métrique de l'espace de Minkowski dont le carré est égale au carré de la pseudo-norme du quadrivecteur «   »[40], soit  , cette dernière expression pouvant être écrite plus simplement «   »[41].

L'explicitation du carré de l'intervalle d'espace-temps entre les deux événements ponctuels   donne, dans la base  ,   ; on peut, à l'aide des deux principes de la relativité restreinte, établir l'invariance du carré de l'intervalle d'espace-temps entre deux événements ponctuels par changement de référentiel spatio-temporel ; on distingue alors le cas où   correspondant à la possibilité d'un lien causal entre les deux événements, du cas où   interdisant tout lien causal entre ces événements[42] ;

  • si  , l'intervalle d'espace-temps est dit du genre lumière, seules les particules de masse nulle (les photons par exemple) peuvent joindre les deux événements ;
  • si  , l'intervalle d'espace-temps est dit du genre temps, de   avec     on déduit  , ce qu'on interprète dans le référentiel où les mesures ont été faites, en disant qu'un mobile partant de l'endroit du premier événement ponctuel à l'instant de réalisation de ce dernier et allant à la vitesse constante   dans la bonne direction peut atteindre l'endroit du deuxième événement ponctuel à l'instant où ce dernier se produit et vice-versa ; on peut alors montrer qu'il existe un référentiel spatio-temporel dans lequel les événements se produisent au même endroit : dans ce référentiel, la distance spatiale entre les deux événements est nul     ; ainsi on peut définir l'écart de temps séparant ces deux événements dans le référentiel où ils se produisent au même endroit  , appelée temps propre ;
  • si  , l'intervalle d'espace-temps est dit du genre espace, de   avec     on déduit  , ce qu'on interprète dans le référentiel où les mesures ont été faites, en disant qu'aucun mobile ou aucune onde électromagnétique partant de l'endroit du premier événement ponctuel à l'instant de réalisation de ce dernier ne peut atteindre l'endroit du deuxième événement ponctuel à l'instant où ce dernier se produit et vice-versa, quelle que soit dans la direction considérée ; il ne peut donc pas y avoir de lien causal entre les deux événements ; on peut alors montrer qu'il existe un référentiel spatio-temporel dans lequel les événements sont simultanés : dans ce référentiel, l'écart de temps entre les deux événements est nul, d'où   ; ainsi on peut définir la distance spatiale entre les deux événements dans le référentiel où ils sont simultanés  , appelée distance propre.

Intervalle d'espace-temps entre deux événements ponctuels dans une base vectorielle de dernier vecteur temporelModifier

On trouve aussi le choix où le dernier vecteur de base est temporel[43] correspondant à la base vectorielle  [44] ; avec   et   dans la base précédemment définie, on introduit, sur l'espace vectoriel associé, une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée, notée   ou   à laquelle on fait correspondre une forme quadratique définissant le carré de la pseudo-norme ou de la pseudo-métrique : «   »[45].

Les coordonnées du point spatio-temporel[38]  , sont définies par  [46] dans l'espace affine de Minkowski, et on définit la distance entre deux points spatio-temporels[38]   (distance encore appelée intervalle d'espace-temps) par   grâce à la pseudo-métrique de l'espace de Minkowski dont le carré est égale au carré de la pseudo-norme du quadrivecteur  , soit  , cette dernière expression s'écrivant plus simplement  .

L'explicitation du carré de l'intervalle d'espace-temps entre les deux événements ponctuels   donne, dans la base  ,   c.-à-d. l'opposé de ce qu'on trouvait avec le choix de la base   ; comme avec l'autre choix de base, on peut affirmer l'invariance du carré de l'intervalle d'espace-temps entre deux événements ponctuels par changement de référentiel spatio-temporel et distinguer le cas où   correspondant à la possibilité d'un lien causal entre les deux événements et le cas où   interdisant tout lien causal entre ces événements ;

  • si  , l'intervalle d'espace-temps est dit du genre lumière, seules les particules de masse nulle (les photons par exemple) peuvent joindre les deux événements ;
  • si  , l'intervalle d'espace-temps est dit du genre temps, de   avec     on déduit  , ce qu'on interprète dans le référentiel où les mesures ont été faites, en disant qu'un mobile partant de l'endroit du premier événement ponctuel à l'instant de réalisation de ce dernier et allant à la vitesse constante   dans la bonne direction peut atteindre l'endroit du deuxième événement ponctuel à l'instant où ce dernier se produit et vice-versa ; on peut alors montrer qu'il existe un référentiel spatio-temporel dans lequel les événements se produisent au même endroit : dans ce référentiel, la distance spatiale entre les deux événements est nul, d'où   ; ainsi on peut définir l'écart de temps séparant ces deux événements dans le référentiel où ils se produisent au même endroit  , appelée temps propre ;
  • si  , l'intervalle d'espace-temps est dit du genre espace, de   avec     on déduit  , ce qu'on interprète dans le référentiel où les mesures ont été faites, en disant qu'aucun mobile ou aucune onde électromagnétique partant de l'endroit du premier événement ponctuel à l'instant de réalisation de ce dernier ne peut atteindre l'endroit du deuxième événement ponctuel à l'instant où ce dernier se produit et vice-versa, quelle que soit dans la direction considérée ; il ne peut donc pas y avoir de lien causal entre les deux événements ; on peut alors montrer qu'il existe un référentiel spatio-temporel dans lequel les événements sont simultanés : dans ce référentiel, l'écart de temps entre les deux événements est nul, d'où   ; ainsi on peut définir la distance spatiale entre les deux événements dans le référentiel où ils sont simultanés  , appelée distance propre.

Autre définition de l'espace vectoriel associé à l'espace de Minkowski, quadrivecteurs à composante de temps imaginaire pureModifier

Si on s'intéresse au choix de base vectorielle   dans l'espace vectoriel de dimension quatre défini sur   associé à l'espace de Minkowski, ainsi qu'au choix correspondant de pseudo-norme   avec  , les trois composantes spatiales et la composante de temps étant réelles, on peut être tenté de modifier la définition de l'espace vectoriel associé dans le but d'aboutir à une pseudo-norme semblable à la norme euclidienne de carré  , ceci pouvant être réalisé en imposant   ou
«   »[47] soit   ;

ainsi, à condition de définir la quatrième composante de temps   du quadrivecteur dans  , les trois composantes spatiales   restant réelles c.-à-d.  , la pseudo-norme définie dans l'espace vectoriel associé à l'espace de Minkowski a un carré s'écrivant «   »[48] ; de nos jours, cette définition de l'espace vectoriel associé à l'espace de Minkowski introduisant des quadrivecteurs à composante de temps imaginaire pure est peu utilisée.

Les coordonnées du point spatio-temporel[38]  , sont définies par   dans l'espace affine de Minkowski, et on définit la distance entre deux points spatio-temporels[38]   (distance encore appelée intervalle d'espace-temps) par   grâce à la pseudo-métrique de l'espace de Minkowski dont le carré est égale au carré de la pseudo-norme du quadrivecteur  , soit  , cette dernière expression s'écrivant plus simplement  .

L'explicitation du carré de l'intervalle d'espace-temps entre les deux événements ponctuels   donne, dans la base  ,   c.-à-d. exactement le même résultat que celui obtenu dans la sous-section précédente ; on peut donc en tirer exactment les mêmes conclusions...

Le choix entre une pseudo-métrique de signature   et des quadrivecteurs à composante temporelle réelle d'une part et d'autre part une pseudo-métrique de signature   semblable à une norme euclidienne mais des quadrivecteurs à composante temporelle imaginaire pure n'est qu'une question de préférence[49].

Propriétés de l'ensemble des transformations affines de l'espace de MinkowskiModifier

L'ensemble des transformations affines de l'espace de Minkowski qui laissent invariante la pseudo-métrique[50] forme un groupe nommé groupe de Poincaré dont les transformations de Lorentz forment un sous-groupe.

Quadrivecteur « quantité de mouvement-énergie » d'une particuleModifier

Nous reprenons temporairement la distinction particule matérielle et particule de masse nulle dans un référentiel d'espace-temps auquel on associe un espace de Minkowski pour finalement aboutir à une introduction commune - à condition de laisser de côté la notion de vitesse de la particule.

Cas d'une particule matérielleModifier

Dans un référentiel spatio-temporel, la quantité de mouvement d'une particule de masse   et de vitesse   se simplifie en fonction de sa vitesse relative
«   »[51] et de son facteur de Lorentz associé «   »[52], en :  .

Dans le même référentiel d'espace-temps, l'énergie totale de la particule de masse   et de vitesse   s'exprime simplement en fonction de son facteur de Lorentz «   »[52],   étant la norme de sa vitesse relative, selon :  .

Dans l'espace de Minkowski associé au référentiel d'espace-temps, et avec le choix d'une base vectorielle  [53] on définit le quadrivecteur quantité de mouvement-énergie de la particule[54] selon «