Catégorie à involution

En mathématiques, une †-catégorie (catégorie dague, également appelée catégorie involutive ou catégorie à involution) est une catégorie dotée d'une certaine structure appelée dague ou involution. Le nom de catégorie dague a été inventée par Selinger.

Définition formelle

Une †-catégorie est une catégorie ${\mathcal {C}}$ dotée d'un foncteur involutif $^{\dagger }\colon {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow {\mathcal {C}}$ qui correspond à l'identité sur les objets, où ${\mathcal {C}}^{op}$ est la catégorie opposée (ie un foncteur contravariant $^{\dagger }:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ tel que composé par lui-même, donne le foncteur trivial ${\text{id}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$).

Plus précisément, cela signifie que ce foncteur associe à tout morphisme $f\colon A\to B$ de ${\mathcal {C}}$ son adjoint $f^{\dagger }\colon B\to A$, de sorte que pour tous $f\colon A\to B$ et $g\colon B\to C$, on ait :

• $\mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{A}^{\dagger }\colon A\rightarrow A$
• $(g\circ f)^{\dagger }=f^{\dagger }\circ g^{\dagger }\colon C\rightarrow A$
• $f^{\dagger \dagger }=f\colon A\rightarrow B\,$

Notez que dans la définition précédente, le terme "adjoint" est utilisé de manière analogue à celui de l'algèbre linéaire, et non en le sens de la théorie des catégories.

Certaines sources définissent une †-catégorie comme une †-catégorie, avec la propriété supplémentaire que sa collection de morphismes est partiellement ordonnée, et que l'ordre des morphismes est compatible avec la composition des morphismes, c'est-à-dire : $a<b$ implique $a\circ c<b\circ c$ pour les morphismes $a$, $b$, $c$, dès que les composées ont un sens.

Exemples

• La catégorie Rel des ensembles et des relations binaires possède une structure de †-catégorie : pour une relation donnée $R:X\rightarrow Y$ dans Rel, la relation $R^{\dagger }:Y\rightarrow X$ est la relation inverse de $R$ . Dans cet exemple, un morphisme auto-adjoint est une relation symétrique.
• La catégorie Cob des cobordismes est une †-catégorie compacte.
• La catégorie Hilb des espaces de Hilbert possède également une structure de †-catégorie : étant donné une application linéaire continue $f:A\rightarrow B$, l'adjoint $f^{\dagger }:B\rightarrow A$ est juste son adjoint au sens usuel.
• Tout monoïde à involution est une †-catégorie avec un seul objet.
• Une catégorie discrète est trivialement une †-catégorie, où le foncteur † est le foncteur trivial.
• Un groupoïde (et donc a fortiori un groupe) a également une structure de †-catégorie, où l'adjoint d'un morphisme est défini comme son inverse. Dans ce cas, tous les morphismes sont unitaires.

Morphismes remarquables

Dans une †-catégorie ${\mathcal {C}}$, un morphisme $f$ est appelé

• unitaire si c'est un isomorphisme tel que $f^{\dagger }=f^{-1}$ ;
• auto-adjoint si c'est un endomorphisme tel que $f^{\dagger }=f$

Les termes unitaire et auto-adjoint dans la définition précédente sont directement inspirés de la catégorie des espaces de Hilbert, où les morphismes satisfaisant ces propriétés sont alors unitaires et auto-adjoints au sens habituel.

• *-algèbre
• †-catégorie monoïdale symétrique
• †-catégorie compacte