Carquois (théorie des catégories)

collection d'arcs joignant des couples de points

Un carquois est une collection d'arcs joignant des couples de points. En ce sens, il s'agit d'un graphe orienté, mais la notion intervient en physique théorique ainsi qu'en théorie des représentations, des groupes et des catégories de manière naturelle. En effet, une catégorie est un carquois doté d'une structure supplémentaire : nommément la présence d'identités et de compositions. On parle donc de carquois lorsque l'on souhaite évoquer ce contexte catégorique (ou de représentation), plutôt que de (multi-di-)graphe orienté.

A gauche, le carquois de Kronecker et à droite le carquois de Jordan.

Le nom « carquois » provient du fait qu'il s'agit essentiellement d'une collection de flèches.

DéfinitionModifier

On appelle carquois libre (ou catégorie de Kronecker) la catégorie X formée :

  • de deux objets E et V (correspondant aux arcs et aux points, respectivement) ;
  • de deux morphismes   (source et destination, respectivement) ;
  • des deux morphismes identité.

Soit C une catégorie, un carquois sur C est un foncteur  .

La catégorie des carquois sur C, notée  , est la catégorie de foncteurs   dont :

  • les objets sont les carquois,   ;
  • les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs ;

Si C est la catégorie des ensembles, alors la catégorie des carquois correspond à la catégorie des préfaisceaux sur la catégorie duale  .

Catégories libresModifier

On obtient un carquois à partir d'une catégorie en retirant les morphismes identité et en « oubliant » la composition. En d'autres termes, on a un foncteur d'oubli :

 

de la catégorie des (petites) catégories dans la catégorie des carquois. Ce foncteur est adjoint à droite au foncteur qui associe, à un carquois, la catégorie libre correspondante :

 

De fait, il est souvent intéressant de travailler sur le carquois d'une catégorie libre, plutôt que sur la catégorie elle-même : les isomorphismes de carquois s'identifient aux équivalences entre les catégories libres correspondantes.

Représentations de carquoisModifier

Si   est un carquois, une représentation de   est un foncteur   de la catégorie libre engendrée par   dans la catégorie des  -espaces vectoriels. Autrement dit, chaque point se voit associé à un  -espace vectoriel, et chaque arc correspond à une transformation linéaire d'un espace à l'autre.

La dimension d'une représentation est infinie si l'un des espaces vectoriels est de dimension infinie, et est finie sinon. C'est alors la famille des dimensions des espaces vectoriels.

Catégorie des représentations de carquoisModifier

Si   est un carquois et si   et   sont deux représentations de   sur un corps  , on définit un morphisme de représentations   entre   et   comme une famille   d'applications linéaires   telles que pour toute arête  , le diagramme :

 

commute, c'est-à-dire :  .
On peut alors définir la catégorie   la catégorie des  -représentations de   dont les objets sont morphismes sont tels que définis plus haut, l'identité la famille des identités, et la composition est simplement la composition composante par composante.

Algèbre des cheminsModifier

Étant donné un carquois   et un corps k, on peut définir l'algèbre de chemins   de   comme l'algèbre dont la  -base est donnée par les chemins de   (y compris les chemins triviaux), la composition étant la concaténation si les chemins considérés peuvent être mis bout à bout, et donnant l'objet nul sinon.

Un  -module n'est rien d'autre qu'une représentation de  , au sens où la catégorie   des  -modules est équivalente[1] à la catégorie   des  -représentations de  .

Représentations simples, projectives, injectivesModifier

  • Si   est un carquois et   un corps, pour tout sommet  , on définit la représentation simple   comme la représentation de   dont toutes les flèches sont nulles et dont tous les sommets sont l'espace nul, excepté   se voit associer l'espace  .
  • On définit la représentation projective   comme suit :
    • Pour tout sommet  ,   est l'espace vectoriel dont la base est l'ensemble des chemins de   vers   (y compris le chemin trivial si  ).
    • Pour toute arête  ,   est la concaténation des chemins par   (de sorte que tout chemin de   vers   soit envoyé sur un chemin de   vers  ), prolongée à   par linéarité.
  • De manière duale, on définit la représentation injective   :
    • Pour tout sommet  ,   est l'espace vectoriel dont la base est l'ensemble des chemins de   vers   (y compris le chemin trivial si  ).
    • Pour toute arête  ,   est la réciproque de la concaténation des chemins par   (de sorte que tout chemin de   vers   soit envoyé sur un chemin de   vers  , on "enlève" l'arête   du chemin), prolongée à   par linéarité.

Les représentations   (resp.  ) sont des objets projectifs (resp. injectifs) de la catégorie  , mais ce ne sont pas les seuls.

Sous-représentationsModifier

Une sous-représentation   d'une représentation   est une représentation telle que pour tout sommet  ,   est un sous-espace vectoriel de  , et pour toute arête  ,   est la restriction de   à  . Autrement dit, l'injection canonique des   dans les   est un morphisme de représentations.

Une représentation est dite irréductible (ou simple) elle n'admet pas de sous-représentation autre qu'elle même et la représentation nulle. Les représentations   sont irréductibles.

Une représentation est dite indécomposable si elle n'est pas somme directe de sous-représentations strictes (au sens de la somme directe composante par composante des espaces vectoriels des sommets, et par bloc des applications linéaires des arêtes). Cela revient à dire que le module associé à la représentation est indécomposable. Les représentations   et   sont indécomposables.

Le Théorème de Krull-Schmidt (en) appliqué aux représentations de carquois énonce que toute représentation de dimension finie peut s'écrire comme somme directe de représentations indécomposables[2] :

Théorème de Krull-Schmidt — Soit   un carquois,   un corps et   une  -représentation de   de dimension finie. Il existe une décomposition :

 

telle que les   soient des représentations indécomposables deux à deux non isomorphes, et les   des entiers naturels non nuls.

De plus, si   est une décomposition suivant les mêmes propriétés, alors   et, quitte à réordonner,   et   pour tout  

.

On peut donc s'intéresser aux représentations indécomposables pour chercher à classifier les représentations à isomorphisme près.

ClassificationModifier

Le théorème de Gabriel donne une classification des carquois ayant un nombre fini de représentations indécomposables en termes de diagrammes de Dynkin.

Articles connexesModifier

RéférencesModifier

  1. (en) Ralf Schiffler, « Bound Quiver Algebras », dans Quiver Representations, Springer International Publishing, coll. « CMS Books in Mathematics », (ISBN 978-3-319-09204-1, DOI 10.1007/978-3-319-09204-1_5, lire en ligne), p. 133–151
  2. (en) Henning Krause, « Representations of quivers via reflection functors » (notes de cours), (arXiv 0804.1428v2, consulté le )

BibliographieModifier