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En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, le complément orthogonal W d'un sous-espace vectoriel W d'un espace préhilbertien V est l'ensemble des vecteurs de V qui sont orthogonaux à tout vecteur de W, c'est-à-dire

Le complément orthogonal est toujours un sous-espace vectoriel fermé. Pour un espace de Hilbert, d'après le théorème du supplémentaire orthogonal, le complément orthogonal du complément orthogonal de W est l'adhérence de W, soit

Espace de BanachModifier

Il existe un analogue de cette notion pour un espace de Banach quelconque. On peut alors définir le complément orthogonal de W comme étant le sous-espace du dual topologique V' de V défini par

 

Il s'agit toujours d'un sous-espace fermé de V'. Il existe aussi une propriété analogue au double complément. W⊥⊥ est alors un sous-espace de V'' (qui n'est pas égal à V). Cependant, si V est un espace réflexif, c'est-à-dire si le morphisme naturel   est un isomorphisme, on a :

 

C'est une conséquence du théorème de Hahn-Banach.

RéférencesModifier