Arc sinus
En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre –1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre –π/2 et π/2.
Notation | |
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Réciproque |
sur |
Dérivée | |
Primitives |
Ensemble de définition |
[−1, 1] |
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Ensemble image | |
Parité |
impaire |
La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre –1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée arcsin (Arcsin[1] ou Asin en notation française, sin−1, asin ou asn en notation anglo-saxonne). Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle [–π/2, π/2]. Elle fait partie des fonctions circulaires réciproques.
On a donc par définition :
Courbe représentative modifier
Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle [–π/2, π/2] par la réflexion d'axe la droite d'équation y = x.
Relations avec les fonctions circulaires directes modifier
- pour
- pour
- pour
Par contre, seulement pour
La formule générale est où est la partie entière de .
Dérivée modifier
Comme dérivée d'une bijection réciproque, arcsin est dérivable sur ]–1, 1[ et vérifie .Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation .
Développement en série entière modifier
Si ,
(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)
Forme intégrale indéfinie modifier
Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :
.
Primitives modifier
Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :
.
Relation entre arc sinus et arc cosinus modifier
Pour tout réel x entre –1 et 1 : .
Extension aux complexes modifier
De la relation valable pour tout z complexe : sin z = –i sinh(iz), on déduit
- .
D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un logarithme complexe : , valable pour .
Le développement en série
est alors valable pour tout z dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.
Référence modifier
Voir aussi modifier
- Intégrale de Wallis (pour le développement de )
- (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Sine », sur MathWorld
- (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 4.4, p. 79-83