Arc sinus
« Arcsin » redirige ici. Ne pas confondre avec Arsin.
En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre –1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre et .
Notation | |
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Réciproque |
sur |
Dérivée | |
Primitives |
Ensemble de définition |
[−1, 1] |
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Ensemble image | |
Parité |
impaire |
La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre –1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée arcsin (Arcsin[1] ou Asin en notation française, sin−1, asin ou asn en notation anglo-saxonne). Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle .
Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle par la réflexion d'axe la droite d'équation y = x.
DérivéeModifier
Comme dérivée d'une bijection réciproque, arcsin est dérivable sur ]–1, 1[ et vérifie .
Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation .
Développement en série entièreModifier
Si ,
(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)
Forme intégrale indéfinieModifier
Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :
.
PrimitivesModifier
Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :
.
Relation entre arc sinus et arc cosinusModifier
Pour tout réel x entre –1 et 1 : .
Forme logarithmiqueModifier
On peut exprimer la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :
.
RéférenceModifier
Voir aussiModifier
Articles connexesModifier
Liens externesModifier
- (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Sine », sur MathWorld
- (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 4.4, p. 79-83