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« Arcsin » redirige ici. Ne pas confondre avec Arsin.
Fonction arc sinus
Arcsine.svg
Représentation graphique de la fonction arc sinus.
Notation
Réciproque
sur
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
[−1, 1]
Ensemble image
Parité
impaire

En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre –1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre et .

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre –1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée arcsin (Arcsin[1] ou Asin en notation française, sin−1, asin ou asn en notation anglo-saxonne). Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle .

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle par la réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Sommaire

DérivéeModifier

Comme dérivée d'une bijection réciproque, arcsin est dérivable sur ]–1, 1[ et vérifie  .

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation  .

Développement en série entièreModifier

Si  ,

 

(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)

Forme intégrale indéfinieModifier

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

 .

PrimitivesModifier

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :

 .

Relation entre arc sinus et arc cosinusModifier

 
arccos(x) (bleu) et arcsin(x) (rouge)
Voir section détaillée « Relation entre arc cosinus et arc sinus » de l'article « arc cosinus »

Pour tout réel x entre –1 et 1 :  .

Forme logarithmiqueModifier

On peut exprimer la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :

 .

RéférenceModifier

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

Liens externesModifier