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DéfinitionModifier

Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps commutatif K. Une application   est une forme bilinéaire symétrique sur l'espace si ( ) :

  •   ;
  •   ;
  •  

Les deux derniers axiomes impliquent seulement la linéarité par rapport à la « première variable » mais le premier permet d'en déduire la linéarité par rapport à la « deuxième variable ».

ExemplesModifier

Tout produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique.

Représentation matricielleModifier

Soit   une base d'un espace vectoriel V. Définissons la matrice carrée A d'ordre n par  . La matrice A est symétrique d'après la symétrie de la forme bilinéaire. Si la matrice x de type   représente les coordonnées d'un vecteur v dans cette base, et de façon analogue y représente les coordonnées d'un vecteur w, alors   est égal à :

 

Supposons que   soit une autre base de V, considérons la matrice de passage (inversible) S d'ordre n de la base C à la base C'. Dans cette nouvelle base, la représentation matricielle de la forme bilinéaire symétrique est donnée par

 

Orthogonalité et singularitéModifier

Une forme bilinéaire symétrique est toujours réflexive. Par définition, deux vecteurs v et w sont orthogonaux pour la forme bilinéaire B si  , ce qui, grâce à la réflexivité, est équivalent à  .

Le noyau d'une forme bilinéaire B est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tout autre vecteur de V. C'est un sous-espace de V. Lorsqu'on travaille avec une représentation matricielle A relativement à une certaine base, un vecteur v représenté par sa matrice colonne des coordonnées x appartient au noyau si et seulement si

 

La matrice A est non inversible (ou « singulière ») si et seulement si le noyau de B n'est pas réduit au sous-espace nul.

Si W est un sous-espace vectoriel de V, alors  , l'ensemble de tous les vecteurs orthogonaux à tout vecteur de W est aussi un sous-espace de V. Lorsque le noyau de B est trivial, la dimension de   est  .

Bases orthogonalesModifier

Une base   est orthogonale pour B si :

 .

Lorsque la caractéristique du corps est différente de 2, il existe toujours une base orthogonale (voir Forme quadratique#Orthogonalité).

Une base C est orthogonale si et seulement si la matrice représentant B dans cette base est diagonale.

Signature et loi d'inertie de SylvesterModifier

Dans sa forme la plus générale, la loi d'inertie de Sylvester affirme qu'en travaillant sur un corps ordonné, le nombre d'éléments diagonaux strictement positifs, ou strictement négatifs, est indépendant de la base orthogonale choisie. Ces deux nombres constituent la signature de la forme bilinéaire.

Cas réelModifier

En travaillant sur le corps des réels, il est possible d'aller un peu plus loin. Soit   une base orthogonale.

Définissons une nouvelle base   par

 

La matrice de B dans cette nouvelle base est une matrice diagonale qui n'a que des 0, des 1 ou des –1 sur sa diagonale. Des 0 apparaissent sur la diagonale si et seulement si le noyau est non trivial.

Cas complexeModifier

En travaillant sur le corps des nombres complexes, on peut établir un résultat similaire à celui du cas réel.

Soit   une base orthogonale.

Pour tout   tel que  , notons   l'une des racines carrées de  .

Définissons une nouvelle base   par

 

La matrice de B dans cette nouvelle base est une matrice diagonale qui n'a que des 0 ou 1 sur la diagonale. Des 0 apparaissent si et seulement si le noyau est non trivial.

RéférencesModifier

Article connexeModifier