Formule de Leibniz

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En mathématiques, plusieurs identités portent le nom de formule de Leibniz, nommées en l'honneur du mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz :

Dérivée d'un produit

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Soit   un entier positif. Le produit de deux fonctions d'une variable réelle   et   définies et dérivables jusqu'à l'ordre   sur un intervalle est dérivable jusqu'à l'ordre  . La formule de Leibniz fournit sa dérivée d'ordre   donnée par[1] :

 

où les nombres entiers   sont les coefficients binomiaux, et où l'on convient que la « dérivée zéro-ième » de  , notée  , est la fonction   elle-même.

Cette formule se démontre par récurrence sur l'entier  [2]. La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton. Cette dernière peut d'ailleurs en être déduite.

Série alternée

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La « Quadrature arithmétique » pour π, trouvée par Leibniz en 1674[3], est un exemple de série alternée :

 

Elle correspond au développement en série de Taylor de la fonction arctan, évalué au point 1.

Elle a été découverte en Occident au XVIIe[4],[5],[6], mais apparaît déjà chez Madhava, mathématicien indien de la province du Kerala, vers 1400[7]. Il l'utilise pour calculer une approximation de π. La thèse la plus courante est que les travaux mathématiques indiens de cette période ne seront connus en Occident qu'à la fin du XIXe siècle, pendant la colonisation de l'Inde par la Grande-Bretagne.

Déterminant d'une matrice carrée

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Le déterminant d'une matrice carrée   d'ordre n est le nombre :

 

Sn est le groupe des permutations de {1, 2, … , n} et pour une permutation σ de Sn, ε(σ) désigne sa signature, égale à 1 si la permutation est paire et –1 sinon.

Notes et références

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  1. Bruno Aebischer, Introduction à l'analyse, Paris, Vuibert, , 288 p. (ISBN 978-2-311-00274-4), p. 22
  2. Voir Dérivées d'ordre supérieur sur Wikiversité.
  3. Lettre de Christian Huygens à Leibniz du 7 novembre 1674 (lire en ligne).
  4. (la) Leibniz, « De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus expressa », Acta Eruditorum, février 1682.
  5. Leibniz, « Lettre à M. de La Roque, directeur du Journal des sçavans », 1678, Leibnizens mathematische Schriften, vol. 5, p. 88-92.
  6. Marc Parmentier, La naissance du calcul différentiel, Vrin, 1989, p. 61-81.
  7. (en) L. Berggren, J. Borwein et P. Borwein, Pi, A Source Book, Springer, 1997, « Madhava, the power series for arctan and pi (~1400) », p. 45-50.