2-forme de courbure

La 2-forme de courbure est une forme différentielle induite par une forme de connexion sur un fibré principal dans le domaine de la géométrie différentielle.

Définition modifier

Soient :

$G$ , un groupe de Lie ;
${\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G$ , l'algèbre de Lie de $G$ ;
$B$ , une variété différentielle ;
$\pi :P\to B$ , un $G$ -fibré principal sur $B$ ;
$\mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$ , la représentation adjointe de $G$ sur son algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$ ;
$\mathrm {Ad} P:=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}$ , le fibré adjoint de $P$ sur $B$ ;
$\wedge :\Omega ^{p}(P;\mathbb {R} )\times \Omega ^{q}(P;\mathbb {R} )\to \Omega ^{p+q}(P;\mathbb {R} )$ le produit extérieur sur les $k$ -formes différentielles réelles sur $P$ ;
$[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ le crochet de Lie sur l'algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$ ;
$[\cdot \wedge \cdot ]:\Omega ^{p}(P;{\mathfrak {g}})\times \Omega ^{q}(P;{\mathfrak {g}})\to \Omega ^{p+q}(P;{\mathfrak {g}})$ le produit wedge-crochet sur les $k$ -formes différentielles à valeurs en ${\mathfrak {g}}$ sur $P$ , défini par les combinaisons linéaires de :
$[(\alpha _{1}\otimes \xi _{1})\wedge (\alpha _{2}\otimes \xi _{2})]:=(\alpha _{1}\wedge \alpha _{2})\otimes [\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall \alpha _{1}\in \Omega ^{p}(P;\mathbb {R} ),\;\alpha _{2}\in \Omega ^{q}(P;\mathbb {R} ),\;\xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}$ ;
$A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})$ , une 1-forme de connexion sur $P$ .

La 2-forme de courbure sur $P$ de la 1-forme de connexion $A$ est par définition :

F_{A}^{\sharp }=(dA)_{\mathrm {hor} }=(dA)(\mathrm {hor} (\cdot ),\mathrm {hor} (\cdot ))

.

La 2-forme de courbure sur $P$ peut aussi s'écrire comme :

F_{A}^{\sharp }:=dA+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})

.

La 2-forme de courbure étant une forme basique, elle descend à la 2-forme de courbure sur $B$ :

F_{A}\in \Omega ^{2}(B;\mathrm {Ad} P)

.

En préquantification, la 2-forme de courbure du fibré préquantique est proportionnelle à la forme symplectique.

Le tenseur électromagnétique de Maxwell est la 2-forme de courbure d'une connexion venant d'un $\mathrm {U} (1)$ -fibré principal sur l'espace-temps.

Dans la théorie de jauge, la théorie de Yang-Mills, la théorie de Chern-Simons, la 2-forme de courbure joue un rôle primordial.