En géométrie différentielle, une 1-forme de connexion est une forme différentielle sur un -fibré principal qui vérifie certains axiomes. La donnée d'une forme de connexion permet de parler, entre autres, de courbure, de torsion, de dérivée covariante, de relevé horizontal, de transport parallèle, d'holonomie et de théorie de jauge. La notion de forme de connexion est intimement reliée à la notion de connexion d'Ehresmann.

Définition

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Soient :

  •  , un groupe de Lie ;
  •  , l'élément identité de   ;
  •   l'algèbre de Lie de   ;
  •  , la représentation adjointe de   sur   ;
  •  , une variété différentielle ;
  •  , un  -fibré principal sur  .

Dénotons l'action de groupe à droite de   sur   par :

 

de sorte que   pour tout   et tout  . La différentielle à l'identité de   est l'application qui envoie un élément   à son champ vectoriel fondamental   sur   :

 

Définition : Une 1-forme de connexion sur   est une 1-forme différentielle   sur   qui est à valeurs en   et qui vérifie les axiomes suivants :

1.   est  -équivariante, i.e. :

 

2.   est l'application inverse de l'application envoyant   à son champ vectoriel fondamental  , i.e. :

 

Relation avec la notion de connexion d'Ehresmann

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Sur   repose une distribution verticale canonique   qui est intégrable et dont les feuilles sont les  -fibres de  . Une connexion d'Ehresmann sur   est une distribution horizontale   qui satisfait trois axiomes :

1.  

2.  

3.   est  -invariante, i.e. :

 

La relation entre la notion de connexion d'Ehresmann et de forme de connexion se résume à ce qu'une distribution horizontale donnée soit la distribution noyau d'une forme de connexion donnée :

 

L'axiome d' -équivariance d'une forme de connexion   est équivalent à l'axiome de  -invariance de la distribution horizontale  .

Projection verticale et projection horizontale

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Définition : Considérons une 1-forme de connexion   sur  . La projection verticale et la projection horizontale de   sont respectivement données en tout   et tout   par :

 
 

Ce faisant, tout vecteur tangent sur   se décompose de manière unique comme :

 

Forme de courbure

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Soient :

  •  , le fibré adjoint de   ;
  •   le produit extérieur sur les  -formes différentielles réelles sur   ;
  •   le crochet de Lie sur l'algèbre de Lie   ;
  •   le produit wedge-crochet sur les  -formes différentielles à valeurs en   sur  , défini par les combinaisons linéaires de :
 

Définition : La 2-forme de courbure sur   d'une forme de connexion   est par définition :

 

Remarque : La 2-forme de courbure sur   peut aussi s'écrire comme :

 

Définition : La 2-forme de courbure étant une forme basique, elle descend à la 2-forme de courbure sur   :

 

Dérivée covariante

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Soient :

À une section   du fibré   correspond une fonction  -équivariante  . De même, à toute fonction  -équivariante   sur   descend à une section de  .

Définition : La dérivée covariante sur   d'une fonction  -équivariante   est :

 

Remarque : La dérivée covariante sur   de   peut aussi s'écrire :

 

  est la représentation infinitésimale correspondant à la représentation  .

La dérivée covariante sur   de   est :

 

Remarque : Donnée une section trivialisante locale  , la dérivée covariante de   s'écrit explicitement comme :

 

où :

  •   ;
  •   ;
  •  .

Pour cette raison, la dérivée covariante est souvent dénotée, par abus de notation, plus simplement :

 

Aussi, la dérivée covariante est souvent dénotée  . Pour  , un champ vectoriel, on a :

 

Enfin, notons que la notion de dérivée covariante se généralise directement à la notion de dérivée covariante extérieure sur les  -formes différentielles à valeurs en le fibré associé   :

 

Relevé horizontal

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Définition : Un relevé horizontal d'une courbe différentiable   est une courbe   telle que pour tout   on ait:

 
 .

Holonomie

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Soient :

  •   une courbe différentiable paramétrée en   telle que  ;
  •   un relevé horizontal de   pour la connexion  .

Définition : L'holonomie de la connexion   pour le lacet   en   est par définition l'unique   tel que :

 

Transport parallèle

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Soient :

  •   et   un de ses relevés horizontaux ;
  •   et   ;
  •  , un élément du fibré   en   ;
  •  , l'application  -équivariante correspondant à   ;
  •  , l'unique application  -équivariante telle que :
 

Définition : Le transport parallèle de   le long du chemin   pour la connexion   est par définition :

 

Livres et cours

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  • Pour un traitement en détail de ce qui précède, voir :
    (en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, .
  • Pour un cours accessible avec exercices sur la théorie de jauge, voir :
    (en) José Figueroa-O’Farrill, Lectures on Gauge Theory, 2006
  • Pour aller plus loin en théorie de jauge, voir :
    (en) S. K. Donaldson et P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, 1986.

Notes et références

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