Forme de connexion
En géométrie différentielle, une 1-forme de connexion est une forme différentielle sur un -fibré principal qui vérifie certains axiomes. La donnée d'une forme de connexion permet de parler, entre autres, de courbure, de torsion, de dérivée covariante, de relevé horizontal, de transport parallèle, d'holonomie et de théorie de jauge. La notion de forme de connexion est intimement reliée à la notion de connexion d'Ehresmann.
Définition
modifierSoient :
- , un groupe de Lie ;
- , l'élément identité de ;
- l'algèbre de Lie de ;
- , la représentation adjointe de sur ;
- , une variété différentielle ;
- , un -fibré principal sur .
Dénotons l'action de groupe à droite de sur par :
de sorte que pour tout et tout . La différentielle à l'identité de est l'application qui envoie un élément à son champ vectoriel fondamental sur :
Définition : Une 1-forme de connexion sur est une 1-forme différentielle sur qui est à valeurs en et qui vérifie les axiomes suivants :
1. est -équivariante, i.e. :
2. est l'application inverse de l'application envoyant à son champ vectoriel fondamental , i.e. :
Relation avec la notion de connexion d'Ehresmann
modifierSur repose une distribution verticale canonique qui est intégrable et dont les feuilles sont les -fibres de . Une connexion d'Ehresmann sur est une distribution horizontale qui satisfait trois axiomes :
1.
2.
3. est -invariante, i.e. :
La relation entre la notion de connexion d'Ehresmann et de forme de connexion se résume à ce qu'une distribution horizontale donnée soit la distribution noyau d'une forme de connexion donnée :
L'axiome d' -équivariance d'une forme de connexion est équivalent à l'axiome de -invariance de la distribution horizontale .
Projection verticale et projection horizontale
modifierDéfinition : Considérons une 1-forme de connexion sur . La projection verticale et la projection horizontale de sont respectivement données en tout et tout par :
Ce faisant, tout vecteur tangent sur se décompose de manière unique comme :
Forme de courbure
modifierSoient :
- , le fibré adjoint de ;
- le produit extérieur sur les -formes différentielles réelles sur ;
- le crochet de Lie sur l'algèbre de Lie ;
- le produit wedge-crochet sur les -formes différentielles à valeurs en sur , défini par les combinaisons linéaires de :
Définition : La 2-forme de courbure sur d'une forme de connexion est par définition :
Remarque : La 2-forme de courbure sur peut aussi s'écrire comme :
Définition : La 2-forme de courbure étant une forme basique, elle descend à la 2-forme de courbure sur :
Dérivée covariante
modifierSoient :
- , un espace vectoriel ;
- , une représentation linéaire de sur ;
- , un -fibré vectoriel associé.
À une section du fibré correspond une fonction -équivariante . De même, à toute fonction -équivariante sur descend à une section de .
Définition : La dérivée covariante sur d'une fonction -équivariante est :
Remarque : La dérivée covariante sur de peut aussi s'écrire :
où est la représentation infinitésimale correspondant à la représentation .
La dérivée covariante sur de est :
Remarque : Donnée une section trivialisante locale , la dérivée covariante de s'écrit explicitement comme :
où :
- ;
- ;
- .
Pour cette raison, la dérivée covariante est souvent dénotée, par abus de notation, plus simplement :
Aussi, la dérivée covariante est souvent dénotée . Pour , un champ vectoriel, on a :
Enfin, notons que la notion de dérivée covariante se généralise directement à la notion de dérivée covariante extérieure sur les -formes différentielles à valeurs en le fibré associé :
Relevé horizontal
modifierDéfinition : Un relevé horizontal d'une courbe différentiable est une courbe telle que pour tout on ait:
- .
Holonomie
modifierSoient :
- une courbe différentiable paramétrée en telle que ;
- un relevé horizontal de pour la connexion .
Définition : L'holonomie de la connexion pour le lacet en est par définition l'unique tel que :
Transport parallèle
modifierSoient :
- et un de ses relevés horizontaux ;
- et ;
- , un élément du fibré en ;
- , l'application -équivariante correspondant à ;
- , l'unique application -équivariante telle que :
Définition : Le transport parallèle de le long du chemin pour la connexion est par définition :
Livres et cours
modifier- Pour un traitement en détail de ce qui précède, voir :
- (en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, .
- Pour un cours accessible avec exercices sur la théorie de jauge, voir :
- (en) José Figueroa-O’Farrill, Lectures on Gauge Theory, 2006
- Pour aller plus loin en théorie de jauge, voir :
- (en) S. K. Donaldson et P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, 1986.