En géométrie différentielle, le fibré adjoint est un fibré vectoriel associé particulier d'un -fibré principal. Il joue un rôle important en théorie de jauge où les transformations de jauge infinitésimales, les vecteurs tangents à l'espace des formes de connexions et la 2-forme de courbure sont toutes des formes différentielles à valeurs dans le fibré adjoint.

Définition

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Soient :

  •  , un groupe de Lie ;
  •  , l'algèbre de Lie de   ;
  •  , une variété différentielle ;
  •  , un  -fibré principal sur   ;
  •  , l'action de groupe à droite de   sur   ;
  •  , la représentation adjointe de   sur son algèbre de Lie  .
Définition

Le fibré adjoint à   est le fibré associé suivant :

 

Exemples de sections du fibré associé

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Structure d'algèbre sur les sections du fibré adjoint

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La représentation adjointe   préserve le crochet de Lie :

 

Étant  -équivariant, le crochet de Lie descend à une forme bilinéaire antisymétrique définie fibre par fibre pour le fibré adjoint :

 

Ceci donne, en retour, une structure d'algèbre de Lie aux sections du fibré adjoint :

 

Combiné avec le produit extérieur sur les formes différentielles, ceci définit un produit crochet-extérieur sur les formes différentielles à valeurs en le fibré adjoint  :

 

Références

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  • 1986, S. K. Donaldson & P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds.

Notes et références

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