Représentation adjointe

En mathématiques, il existe deux notions de représentations adjointes :

• la représentation adjointe d'un groupe de Lie sur son algèbre de Lie,
• la représentation adjointe d'une algèbre de Lie sur elle-même.

Alors que la première est une représentation de groupe, la seconde est une représentation d'algèbre.

Définition

Soient :

• $G$, un groupe de Lie ;
• $e\in G$, l'élément identité de $G$ ;
• ${\mathfrak {g}}:=T_{e}G$, l'algèbre de Lie de $G$ ;
• $\iota :G\to \mathrm {Aut} (G);g\mapsto \iota _{g}$ l'automorphisme intérieur de $G$ sur lui-même, donné par $\iota _{g_{1}}(g_{2})=g_{1}g_{2}g_{1}^{-1}$.

Définition : La représentation adjointe du groupe de Lie $G$ sur son algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$ est :

$\mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}});g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}:=\left((\iota _{g})_{*}|_{e}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\right)$.

Remarques :

• la représentation adjointe $\mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$ est un morphisme de groupes :

  $\mathrm {Ad} _{g_{1}g_{2}}=\mathrm {Ad} _{g_{1}}\circ \mathrm {Ad} _{g_{2}},\qquad \forall g_{1},g_{2}\in G$ ;

• pour tout $g\in G$, la représentation adjointe de $g$ est un isomorphisme d'algèbres :

  $[\mathrm {Ad} _{g}(\xi _{1}),\mathrm {Ad} _{g}(\xi _{2})]=\mathrm {Ad} _{g}[\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}$.

Définition : La représentation adjointe de l'algèbre de Lie ${\mathfrak {g}}$ sur elle-même est :

$\mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\to \mathrm {End} ({\mathfrak {g}});\xi \mapsto \mathrm {ad} _{\xi }:=\mathrm {Ad} _{*}|_{e}(\xi )$.

Remarques :

• la structure d'algèbre $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ sur l'espace tangent ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$ peut être définie à partir de la représentation adjointe $\mathrm {ad}$ via :

  $[\xi _{1},\xi _{2}]:=\mathrm {ad} _{\xi _{1}}(\xi _{2}),\qquad \forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}$ ;

• puisque le crochet de Lie $[\cdot ,\cdot ]$ satisfait l'identité de Jacobi, la représentation adjointe $\mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\to \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})$ est un morphisme d'algèbres :

  $\mathrm {ad} _{[\xi _{1},\xi _{2}]}=[\mathrm {ad} _{\xi _{1}},\mathrm {ad} _{\xi _{2}}],\qquad \forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}$.

Lorsque G est un groupe matriciel

Supposons que $G$ est un groupe de Lie matriciel, e. g. $\mathrm {GL} (n;\mathbb {R} )$ ou $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$, de sorte que son algèbre de Lie soit aussi matriciel, e. g. $\mathrm {Mat} (n;\mathbb {R} )$ ou $\mathrm {Mat} (n;\mathbb {C} )$. Alors, les deux représentations adjointes sont explicitement :

$\mathrm {Ad} _{g}(\xi )=g\xi g^{-1},\qquad \forall g\in G,\;\forall \xi \in {\mathfrak {g}}$

$\mathrm {ad} _{\xi _{1}}(\xi _{2})=[\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}$

où $[\cdot ,\cdot ]$ est ici le commutateur de matrices.

Relation avec la forme de Killing

La forme de Killing est définie par :

$K:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} ;(\xi _{1},\xi _{2})\mapsto K(\xi _{1},\xi _{2}):=\mathrm {Tr} (\mathrm {ad} _{\xi _{1}}\circ \mathrm {ad} _{\xi _{2}})$.

La forme de Killing est $\mathrm {Ad}$-invariante :

$K(\mathrm {Ad} _{g}(\xi _{1}),\mathrm {Ad} _{g}(\xi _{2}))=K(\xi _{1},\xi _{2}),\qquad \forall g\in G,\;\forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}$.

Ainsi, elle vérifie de plus :

$K([\xi _{1},\xi _{2}],\xi _{3})=K(\xi _{1},[\xi _{2},\xi _{3}]),\qquad \forall \xi _{1},\xi _{2},\xi _{3}\in {\mathfrak {g}}$.

Régularité de la représentation adjointe

Si $G$ est un groupe de Lie de classe ${\mathcal {C}}^{\infty }$, l'application adjointe $\mathrm {Ad}$ est différentiable. En effet, il suffit de démontrer que l'application d'évaluation $G\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}:(g,\xi )\mapsto \mathrm {Ad} _{g}(\xi )$ est différentiable. Mais par définition de $\mathrm {Ad}$, c'est la différentielle en la seconde variable en l'élément neutre de $G\times G\to G;(g_{1},g_{2})\mapsto g_{1}g_{2}g_{1}^{-1}$. En toute généralité, il y a une perte de régularité pour la représentation adjointe.

Livre

(en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963