Représentation adjointe

En mathématiques, il existe deux notions de représentations adjointes :

Alors que la première est une représentation de groupe, la seconde est une représentation d'algèbre.

DéfinitionModifier

Soient :

  •  , un groupe de Lie ;
  •  , l'élément identité de   ;
  •  , l'algèbre de Lie de   ;
  •   l'automorphisme intérieur de   sur lui-même, donné par  .

Définition : La représentation adjointe du groupe de Lie   sur son algèbre de Lie   est :

 .

Remarques :

  • la représentation adjointe   est un morphisme de groupes :
      ;
  • pour tout  , la représentation adjointe de   est un isomorphisme d'algèbres :
     .

Définition : La représentation adjointe de l'algèbre de Lie   sur elle-même est :

 .

Remarques :

  • la structure d'algèbre   sur l'espace tangent   peut être définie à partir de la représentation adjointe   via :
      ;
  • puisque le crochet de Lie   satisfait l'identité de Jacobi, la représentation adjointe   est un morphisme d'algèbres :
     .

Lorsque G est un groupe matricielModifier

Supposons que   est un groupe de Lie matriciel, e. g.   ou  , de sorte que son algèbre de Lie soit aussi matriciel, e. g.   ou  . Alors, les deux représentations adjointes sont explicitement :

 
 

  est ici le commutateur de matrices.

Relation avec la forme de KillingModifier

La forme de Killing est définie par :

 .

La forme de Killing est  -invariante :

 .

Ainsi, elle vérifie de plus :

 .

Régularité de la représentation adjointeModifier

Si   est un groupe de Lie de classe  , l'application adjointe   est différentiable. En effet, il suffit de démontrer que l'application d'évaluation   est différentiable. Mais par définition de  , c'est la différentielle en la seconde variable en l'élément neutre de  . En toute généralité, il y a une perte de régularité pour la représentation adjointe.

LivreModifier

(en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963