Équations de Painlevé

Les équations de Painlevé sont les uniques équations différentielles non linéaires du second ordre qui définissent de nouvelles fonctions. Elles possèdent par construction la propriété de Painlevé : l'absence de singularités à la fois critiques et mobiles dans la solution générale. Découvertes par les mathématiciens Paul Prudent Painlevé et Richard Fuchs, on peut les rencontrer dans de nombreux problèmes intégrables de physique, géométrie, etc.

Définition et propriétés fondamentales

Il existe six équations de Painlevé : cinq découvertes par Painlevé et Bertrand Gambier, et la sixième par Richard Fuchs. La sixième équation engendre toutes les autres par un processus de confluence^[Quoi ?].

La sixième équation de Painlevé

La sixième équation de Painlevé, notée PVI, est une équation différentielle ordinaire (EDO) non linéaire qui dépend de quatre paramètres complexes $\theta _{\infty }$, $\theta _{0}$, $\theta _{1}$ et $\theta _{x}$. Il en existe deux représentations : ou bien en coordonnées rationnelles pour une fonction $u(x)$ :

${\begin{aligned}\mathrm {(PVI)} \quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{u}}+{\frac {1}{u-1}}+{\frac {1}{u-x}}\right]\left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}-\left[{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{u-x}}\right]{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\\&+{\frac {u(u-1)(u-x)}{2x^{2}(x-1)^{2}}}\left[\theta _{\infty }^{2}-\theta _{0}^{2}{\frac {x}{u^{2}}}+\theta _{1}^{2}{\frac {x-1}{(u-1)^{2}}}+(1-\theta _{x}^{2}){\frac {x(x-1)}{(u-x)^{2}}}\right];\end{aligned}}$

ou bien en coordonnées elliptiques pour une fonction $U(X)$ :

${\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} X^{2}}}-{\frac {(2\omega )^{3}}{\pi ^{2}}}\sum _{j=\infty ,0,1,x}\theta _{j}^{2}\wp '(2\omega U+\omega _{j})=0.$

Ici $\wp$ est la fonction elliptique de Weierstrass, une fonction doublement périodique, dont les périodes sont notées $2\omega$ et $2\omega '$, et $\wp '$ désigne sa dérivée par rapport au premier argument. La variable indépendante $X$ ne dépend que du rapport des périodes, $X=i\pi {\frac {\omega '}{\omega }}$, et les quatre grandeurs $(\omega _{\infty },\omega _{0},\omega _{1},\omega _{x})=\left(0,{\tfrac {1}{2}}\omega ,{\tfrac {1}{2}}\omega ',{\tfrac {1}{2}}(\omega +\omega ')\right)$ sont respectivement l'unique pôle et les trois zéros de $\wp '$.

Le passage aux coordonnées rationnelles $(u,x)$

$U={\frac {1}{2\omega }}\int _{\infty }^{u}{\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {u(u-1)(u-x)}}},\quad X=i\pi {\frac {\omega '}{\omega }},$

a pour inverse

${\begin{aligned}u&={\frac {\wp (2\omega U)-e_{1}}{e_{2}-e_{1}}},\\\quad {\sqrt {u(u-1)(u-x)}}&={\frac {1}{2}}(e_{2}-e_{1})^{-3/2}\wp '(2\omega U),\\\quad x&={\frac {e_{3}-e_{1}}{e_{2}-e_{1}}},\end{aligned}}$

où $(e_{1},e_{2},e_{3})=(\wp (\omega _{0}),\wp (\omega _{1}),\wp (\omega _{x}))$.

L'équation PVI en coordonnées elliptiques découle d'un hamiltonien naturel dont les variables (position, impulsion) sont $(Q=U,P=\mathrm {d} U/\mathrm {d} X)$

${\mathcal {H}}(Q,P,X)={\frac {P^{2}}{2}}+V(Q,X),\quad V=-{\frac {(2\omega )^{2}}{\pi ^{2}}}\sum _{j=\infty ,0,1,x}\theta _{j}^{2}\wp (2\omega Q+\omega _{j}),\quad {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} X}}=-{\frac {\partial V}{\partial Q}}.$

Propriété de Painlevé et singularités

Quelques définitions classiques sont ici nécessaires.

• une expression est dite uniforme (resp. multiforme) si le nombre de ses déterminations est égal (resp. supérieur) à un. Exemples respectifs : $e^{1/x},{\sqrt {x}}$.
• pour une expression donnée, un point est dit critique si autour de lui plusieurs déterminations de l'expression permutent, non-critique dans le cas contraire. Exemples respectifs : ${\sqrt {x}}$ en $x=0$ a un point critique, $e^{1/x}$ en $x=0$ a un point non critique.
• étant donné une équation différentielle ordinaire (EDO), un point est dit mobile si sa position dans $\mathbb {C}$ dépend des conditions initiales, fixe sinon.

La propriété de Painlevé d'une EDO est alors définie comme l'absence dans la solution générale de singularités à la fois critiques et mobiles. Une telle équation est aussi appelée à points critiques fixes.

L'équation PVI pour $u(x)$ possède par construction la propriété de Painlevé. Sa solution générale est uniforme sauf en trois points fixes, mis par convention en $x=\infty ,0,1$ pour que $x$ soit le birapport $(\infty ,0,1,x)$. Plus précisément, elle est méromorphe dans $\mathbb {C} \setminus \left\lbrace \infty ,0,1\right\rbrace$.

Les seules singularités mobiles de PVI en coordonnées rationnelles sont les suivantes. À chaque $j\in \{\infty ,0,1,x\}$, sont associés soit deux pôles simples $p_{j,\pm }$ de résidus opposés si $\theta _{j}\neq 0$, soit un pôle double $p_{j}$ si $\theta _{j}=0$. Le comportement de la solution $u$ au voisinage de ces pôles est

${\begin{aligned}u\ {\underset {x\to p_{\infty ,\pm }}{\sim }}\ {\frac {\pm x(x-1)}{\theta _{\infty }(x-p_{\infty ,\pm })}},&\quad u\ {\underset {x\to p_{\infty }}{\sim }}\ {\frac {a_{\infty }}{(x-p_{\infty })^{2}}},\\{\frac {1}{u}}\ {\underset {x\to p_{0,\pm }}{\sim }}\ {\frac {\pm (x-1)}{\theta _{0}(x-p_{0,\pm })}},&\quad {\frac {1}{u}}\ {\underset {x\to p_{0}}{\sim }}\ {\frac {a_{0}}{(x-p_{0})^{2}}},\\{\frac {1}{u-1}}\ {\underset {x\to p_{1,\pm }}{\sim }}\ {\frac {\pm x}{\theta _{1}(x-p_{1,\pm })}},&\quad {\frac {1}{u-1}}\ {\underset {x\to p_{1}}{\sim }}\ {\frac {a_{1}}{(x-p_{1})^{2}}},\\{\frac {1}{u-x}}\ {\underset {x\to p_{x,\pm }}{\sim }}\ {\frac {\pm 1}{\theta _{x}(x-p_{x,\pm })}}.&\quad {\frac {1}{u-x}}\ {\underset {x\to p_{x}}{\sim }}\ {\frac {a_{x}}{(x-p_{x})^{2}}},\end{aligned}}$

où les résidus $a_{j}$ des pôles doubles sont arbitraires.

Confluence

Dans l'écriture de PVI en coordonnées rationnelles, le coefficient de ${u'}^{2}$ possède quatre pôles $(x_{j})=(\infty ,0,1,x)$ de résidus ${\tfrac {1}{2}}$. Par une homographie, on peut donner à trois de ces pôles des positions quelconques dans $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$. La confluence ou coalescence ou dégénérescence consiste à obtenir d'autres équations différentielles en effectuant des limites du type $x_{j}\to x_{k}$. Dans une telle limite, deux pôles sont remplacés par un seul pôle, dont le résidu est la somme des résidus des deux pôles initiaux. Les résidus se comportent donc ainsi :

${\begin{array}{c c c c c c c c}{}&{}&{}&{}&{\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}}\right)}&{}&{}&\\{}&{}&{}&{\nearrow }&{}&{\searrow }&{}&\\{\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)}&{\rightarrow }&{\left({\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {1}{2}}\right)}&{}&{}&{}&{(2)}&\\{}&{}&{}&{\searrow }&{}&{\nearrow }&{}&\\{}&{}&{}&{}&{\left(1,1\right)}&{}&{}&\end{array}}$

À partir de PVI, on obtient quatre autres équations :

${\begin{array}{c c c c c c c c c}{}&{}&{}&{}&{{\textrm {PIV}}'}&{}&{}&{}&{}&\\{}&{}&{}&{\nearrow }&{}&{\searrow }&{}&{}&{}&\\{\textrm {PVI}}&{\rightarrow }&{PV}&{}&{}&{}&{{\textrm {PII}}'}&&&\\{}&{}&{}&{\searrow }&{}&{\nearrow }&{}&{}&{}&\\{}&{}&{}&{}&{\textrm {PIII}}&{}&{}&{}&{}&\end{array}}$

Ce schéma est une extrapolation non-linéaire de la confluence classique qui, à partir de l'équation hypergéométrique de Gauss, engendre successivement les équations de Whittaker, Bessel, Hermite et Airy :

${\begin{array}{c c c c c c c c c}&{}&{}&{}&{}&{\rm {Hermite}}&{}&{}&\\&{}&{}&{}&{\nearrow }&{}&{\searrow }&{}&\\&{\rm {Gauss}}&{\rightarrow }&{\rm {Whittaker}}&{}&{}&{}&{\rm {Airy}}&\\&{}&{}&{}&{\searrow }&{}&{\nearrow }&{}&\\&{}&{}&{}&{}&{\rm {Bessel}}&{}&{}&\end{array}}$

${\begin{array}{c l l}&{\rm {{Gauss}:}}&\displaystyle {x(1-x){\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+[c-(a+b+1)x]{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}-ab\psi =0},\\&{\rm {{Whittaker}:}}&\displaystyle {x{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+(c-x){\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}-a\psi =0},\\&{\rm {{Bessel}:}}&\displaystyle {x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}+(x^{2}-\nu ^{2})\psi =0},\\&{\rm {{Hermite}:}}&\displaystyle {{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}+2\nu \psi =0},\\&{\rm {{Airy}:}}&\displaystyle {{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}-x\psi =0}.\end{array}}$

Équations de Painlevé

Les cinq équations PVI, PV, PIV', PIII, PII' dépendent chacune de quatre paramètres, ce qui permet d'exploiter au mieux la confluence pour engendrer à partir de PVI les diverses propriétés des autres : paires de Lax, hamiltoniens, fonctions tau, transformations birationnelles, solutions de Riccati, etc. On obtient les équations PIV, PII, PI en donnant des valeurs particulières aux paramètres de PIV' et PII'.

En coordonnées elliptiques

Dans l'écriture de Babich et Bordag, les équations de Painlevé sont :

${\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} X^{2}}}=\left\lbrace {\begin{array}{l l}({\textrm {PVI}})&\displaystyle {\frac {(2\omega )^{3}}{\pi ^{2}}}\sum _{j=\infty ,0,1,x}\theta _{j}^{2}\wp '(2\omega U+\omega _{j}),\\[3pt]({\textrm {PV}})&\displaystyle -2\alpha {\frac {\cosh U}{\sinh ^{3}U}}-2\beta {\frac {\sinh U}{\cosh ^{3}U}}-2\gamma e^{2X}\sinh(2U)-{\frac {1}{2}}\delta e^{4X}\sinh(4U),\\[3pt]({\textrm {PIII}})&\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{X}(\alpha e^{2U}+\beta e^{-2U})+{\frac {1}{2}}e^{2X}(\gamma e^{4U}+\delta e^{-4U}),\\[3pt]({\textrm {PIV}}')&\displaystyle -\alpha U+{\frac {\beta }{2U^{3}}}+\gamma \left({\frac {3}{4}}U^{5}+2XU^{3}+X^{2}U\right)+2\delta (U^{3}+XU),\\[3pt]({\textrm {PII}}')&\delta (2U^{3}+XU)+\gamma (6U^{2}+X)+\beta U+\alpha .\end{array}}\right.$.

En coordonnées rationnelles

Les changements de coordonnées entre les écritures elliptiques et rationnelles sont:

$\displaystyle {\begin{array}{c l l}{\textrm {PVI}}:\ &x\displaystyle ={\frac {e_{3}-e_{1}}{e_{2}-e_{1}}},&\displaystyle u={\frac {\wp (2\omega U)-e_{1}}{e_{2}-e_{1}}},\\{\textrm {PV}}:\ &x=e^{2X},&u=\coth ^{2}U,\\{\textrm {PIII}}:\ &x=e^{2X},&u=e^{X}e^{2U},\\{\textrm {PIV}}':\ &x=X,&u=U^{2},\\{\textrm {PII}}':\ &x=X,&u=U.\end{array}}$

Les écritures rationnelles des équations de Painlevé sont

${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c l}(PVI)&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{u}}+{\frac {1}{u-1}}+{\frac {1}{u-x}}\right]u'^{2}-\left[{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{u-x}}\right]u'+{\frac {u(u-1)(u-x)}{x^{2}(x-1)^{2}}}\left[\alpha +\beta {\frac {x}{u^{2}}}+\gamma {\frac {x-1}{(u-1)^{2}}}+\delta {\frac {x(x-1)}{(u-x)^{2}}}\right],\\[3pt](PV)&\displaystyle \left[{\frac {1}{2u}}+{\frac {1}{u-1}}\right]u'^{2}-{\frac {u'}{x}}+{\frac {(u-1)^{2}}{x^{2}}}\left[\alpha u+{\frac {\beta }{u}}\right]+\gamma {\frac {u}{x}}+\delta {\frac {u(u+1)}{u-1}},\\[3pt](PIII)&\displaystyle {\frac {u'^{2}}{u}}-{\frac {u'}{x}}+{\frac {\alpha u^{2}+\gamma u^{3}}{4x^{2}}}+{\frac {\beta }{4x}}+{\frac {\delta }{4u}},\\[3pt](PIV')&\displaystyle {\frac {u'^{2}}{2u}}+\gamma \left({\frac {3}{2}}u^{3}+4xu^{2}+2x^{2}u\right)+4\delta (u^{2}+xu)-2\alpha u+{\frac {\beta }{u}},\\[3pt](PII')&\delta (2u^{3}+xu)+\gamma (6u^{2}+x)+\beta u+\alpha ,\end{array}}\right.$

avec pour PVI la notation $(2\alpha ,-2\beta ,2\gamma ,1-2\delta )=(\theta _{\infty }^{2},\theta _{0}^{2},\theta _{1}^{2},\theta _{x}^{2}).$ Ces cinq équations possèdent par construction la propriété de Painlevé, ce qui n'est pas le cas (sauf pour PII') de leur écriture elliptique.

Potentiels

Pour les cinq équations PVI-PII' en coordonnées rationnelles, Garnier a introduit les potentiels

${\begin{aligned}&V_{\rm {VI}}(z)=\displaystyle -{\frac {3}{4}}z+{\frac {\theta _{\infty }^{2}(z-x)}{4}}+{\frac {\theta _{0}^{2}}{4}}\left({\frac {x}{z}}-1\right)+{\frac {\theta _{1}^{2}}{4}}\left(-{\frac {x-1}{z-1}}+1\right)+{\frac {\theta _{x}^{2}}{4}}\left({\frac {x(x-1)}{z-x}}+2x-1\right),\\[3pt]&V_{\rm {V}}(z)=\displaystyle \alpha \left({\frac {z}{x}}-{\frac {1}{2x}}\right)-\beta \left({\frac {1}{xz}}-{\frac {1}{2x}}\right)-\gamma \left({\frac {z}{z-1}}-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {\delta xz}{(z-1)^{2}}},\\[3pt]&V_{\rm {III}}(z)=\displaystyle {\frac {1}{16}}\left(2\alpha {\frac {z}{x}}-2{\frac {\beta }{z}}+\gamma {\frac {z^{2}}{x}}-\delta {\frac {x}{z^{2}}}\right),\\[3pt]&V_{\rm {IV'}}(z)=\displaystyle -2\alpha z-{\frac {\beta }{z}}+\gamma ({\frac {z^{3}}{2}}+2xz^{2}+2x^{2}z)+\delta (2z^{2}+4xz),\\[3pt]&V_{\rm {II'}}(z)=\displaystyle \alpha z+{\frac {\beta }{2}}z^{2}+\gamma (2z^{3}+zx)+{\frac {\delta }{2}}(z^{4}+z^{2}x).\end{aligned}}$

Ces potentiels permettent d'écrire les équations de façon plus compacte :

${\begin{aligned}u''&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{u}}+{\frac {1}{u-1}}+{\frac {1}{u-x}}\right]u'^{2}-\left[{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{u-x}}\right]u'+2{\frac {u(u-1)(u-x)}{x^{2}(x-1)^{2}}}\left({\frac {\partial V_{\rm {VI}}(u)}{\partial u}}+{\frac {3}{4}}+{\frac {x(x-1)}{4(u-x)^{2}}}\right),\\[3pt]u''&=\left[{\frac {1}{2u}}+{\frac {1}{u-1}}\right]u'^{2}-{\frac {u'}{x}}+{\frac {u(u-1)^{2}}{x}}{\frac {\partial V_{\rm {V}}(u)}{\partial u}},\\[3pt]\left({\frac {xu'}{u}}\right)'&=\displaystyle 2u{\frac {\partial V_{\rm {III}}(u)}{\partial u}},\\[3pt]u''&={\frac {{u'}^{2}}{2u}}+u{\frac {\partial V_{\rm {IV'}}(u)}{\partial u}},\\[3pt]u''&=-{\frac {\partial V_{\rm {II'}}(u)}{\partial u}}.\end{aligned}}$

Valeurs particulières des paramètres

Les équations PIV, PII, PI ont un nombre minimal de paramètres, et se déduisent de PIV' et PII' en donnant des valeurs particulières à certains de leurs quatre paramètres :

${\textrm {PIV}}={\textrm {PIV}}'(\gamma =1,\delta =0),$

${\textrm {PII}}={\textrm {PII}}'(\beta =0,\gamma =0,\delta =1),$

${\textrm {PI}}={\textrm {PII}}'(\alpha =0,\beta =0,\gamma =1,\delta =0).$

De plus, selon les valeurs des paramètres, on distingue trois variétés d'équations PIII :

${\textrm {PIII}}-D6={\textrm {PIII}},\gamma \delta \not =0,$

${\textrm {PIII}}-D7={\textrm {PIII}},(\gamma =0,\alpha \delta \not =0){\text{ ou }}(\delta =0,\beta \gamma \not =0),$

${\textrm {PIII}}-D8={\textrm {PIII}},\gamma =\delta =0,\alpha \beta \not =0.$

Données de base et confluence

La table ci-après rassemble : comportement dominant, indices de Fuchs, exposants de monodromie. Les indices de Fuchs sont par convention définis pour que la valeur $-1$ soit toujours un tel indice, ce sont donc les racines de l'équation indicielle de l'EDO linéarisée, diminuées de la valeur de l'ordre du pôle considéré. Chaque exposant de monodromie $\theta _{j}$ a son carré rationnel en $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$. Les lignes successives indiquent :

• le degré de singularité $q$ de la Pn et l'indice de Fuchs positif $i$,
• le premier coefficient $u_{0}$ de la série de Laurent de $u(x)$,
• la notation pour la racine carrée de $u_{0}$,
• la définition du vecteur (transposé) des exposants de monodromie,
• les composantes de ce vecteur.

${\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c}&{\textrm {PI}}&{\textrm {PII}}'&{\textrm {PIV}}'&{\textrm {PIII}}&{\textrm {PV}}&{\textrm {PVI}}\\q,i&-4,6&-3,4&-4,3&-4,2&-5,1&-6,1\\u_{0}&1&d^{-1}&c^{-1}&2c^{-1}x&\theta _{\infty }^{-1}x&\theta _{\infty }^{-1}x(1-x)\\{\sqrt {}}&&d^{2}=\delta &c^{2}=\gamma &c^{2}=\gamma &\theta _{\infty }^{2}=2\alpha &\theta _{\infty }^{2}=2\alpha \\\alpha &&-d\theta _{\infty }&2c\theta _{\infty }&2c\theta _{\infty }&\theta _{\infty }^{2}/2&\theta _{\infty }^{2}/2\\\beta &&&-8\theta _{0}^{2}&-2d\theta _{0}&-\theta _{0}^{2}/2&-\theta _{0}^{2}/2\\\gamma &&&c^{2}&c^{2}&-d\theta _{1}&\theta _{1}^{2}/2\\\delta &&d^{2}&&-d^{2}&-d^{2}/2&(1-\theta _{x}^{2})/2\\vecteur&&(\theta _{\infty })&(\theta _{\infty }\theta _{0})&(\theta _{\infty }\theta _{0})&(\theta _{\infty }\theta _{0}\theta _{1})&(\theta _{\infty }\theta _{0}\theta _{1}\theta _{x})\end{array}}$.

Les coalescences successives d'une équation $E(x,u,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=0$ vers une autre équation $E(X,U,A,B,C,D)=0$ sont décrites par des transformations affines $(x,u,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\to (X,U,A,B,C,D,\varepsilon )$, où $\varepsilon$ tend vers zéro.

Pour les cinq Pn définies par Garnier et pour des valeurs génériques de $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )$, ce sont

$(x,u,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=\left\lbrace {\begin{array}{l l}(VI\to V)&(1+\varepsilon X,U,A,B,\varepsilon ^{-1}C-\varepsilon ^{-2}D,\varepsilon ^{-2}D),\\(V\to IV')&(1+\varepsilon X,\varepsilon U/2,2C\varepsilon ^{-4}+28D\varepsilon ^{-3},B/4,-4C\varepsilon ^{-4}-60D\varepsilon ^{-3},2A\varepsilon ^{-2}-2C\varepsilon ^{-4}-32D\varepsilon ^{-3}),\\(V\to III)&(X,1+\varepsilon U,\varepsilon ^{-1}A/4+\varepsilon ^{-2}C/8,-\varepsilon ^{-2}C/8,\varepsilon B/4,\varepsilon ^{2}D/8),\\(IV'\to II')&(\varepsilon ^{2}X/4,1+\varepsilon U,-4B\varepsilon ^{-4}+96C\varepsilon ^{-5}-24D\varepsilon ^{-6},16A\varepsilon ^{-3}-8B\varepsilon ^{-4}+48C\varepsilon ^{-5}-8D\varepsilon ^{-6},\\&-32C\varepsilon ^{-5}+16D\varepsilon ^{-6},48C\varepsilon ^{-5}-16D\varepsilon ^{-6}),\\(III\to II')&(1+\varepsilon ^{2}X/2,1+\varepsilon U,16B\varepsilon ^{-4}-64C\varepsilon ^{-5}-32D\varepsilon ^{-6},32D\varepsilon ^{-6},\\&-8B\varepsilon ^{-4}+48C\varepsilon ^{-5}+16D\varepsilon ^{-6},16A\varepsilon ^{-3}-8B\varepsilon ^{-4}+16C\varepsilon ^{-5}-16D\varepsilon ^{-6}),\\(II'\to {\rm {J}})&(\varepsilon X,\varepsilon ^{-1}U,\varepsilon ^{-3}A,\varepsilon ^{-2}B,\varepsilon ^{-1}C,D),\end{array}}\right.$

Le niveau ajouté (J comme Jacobi) $u''=\delta (2u^{3})+\gamma (6u^{2})+\beta u+\alpha$ est celui vers lequel conflue PII'.

Pour la confluence des six Pn historiques, consulter ou, qui corrigent des erreurs typographiques des Comptes rendus .

La table suivante présente la confluence des exposants de monodromie. Les paramètres $c,d$ (qui représentent essentiellement des signes) participent aussi à la confluence. Le signe des racines carrées est choisi pour ne donner que des signes + dans les valeurs successives $\theta _{\infty }+\theta _{0}+\theta _{1}+\theta _{x},\theta _{\infty }+\theta _{0}+\theta _{1},2\theta _{\infty }+2\theta _{0},\theta _{\infty }+\theta _{0},2\theta _{\infty }.$

${\begin{array}{c|l|l|l|l|l|l|l|l}&x&u&\theta _{\infty }&\theta _{0}&\theta _{1}&\theta _{x}&c&d\\\hline 6\to 5&1+\varepsilon X&U&\theta _{\infty }&\theta _{0}&\theta _{1}-\varepsilon ^{-1}d&\varepsilon ^{-1}d+\varepsilon &&\\\hline 5\to 4&1+\varepsilon X&\varepsilon U/2&-2c\varepsilon ^{-2}&2\theta _{0}&2\theta _{\infty }+2c\varepsilon ^{-2}&&&2c\varepsilon ^{-2}-2\theta _{\infty }\\\hline 5\to 3&X&1+\varepsilon U&\theta _{\infty }+\varepsilon ^{-1}c/2&-\varepsilon ^{-1}c/2&\theta _{0}&&&\varepsilon d/2\\\hline 4\to 2&\varepsilon X/4-\varepsilon ^{-1}&\varepsilon ^{-1}+U&-\varepsilon ^{-3}d&\theta _{\infty }+\varepsilon ^{-3}d&&&4\varepsilon ^{-1}d&\\\hline 3\to 2&1+\varepsilon ^{2}X/2&1+\varepsilon U&4d\varepsilon ^{-3}&2\theta _{\infty }-4d\varepsilon ^{-3}&&&-4d\varepsilon ^{-3}&2\theta _{\infty }+4d\varepsilon ^{-3}\\\hline \end{array}}$

Fonctions tau

Il en existe au moins deux définitions, équivalentes au niveau de PVI : une analytique, une par la paire de Lax matricielle.

Définition analytique

Pour chaque $\mathrm {Pn} (u,x)$, il existe des fractions rationnelles de $x,u,u'$, définies à une fonction additive de $x$ près, dont les seules singularités mobiles sont des pôles simples de résidu entier positif. Leur primitive logarithmique, qui possède alors les mêmes singularités mobiles que la solution générale d'une EDO linéaire (c'est-à-dire aucune singularité mobile, seulement des zéros mobiles), est par définition appelée fonction tau [sans doute par le choix dans l'alphabet grec de la lettre $\tau$ qui suit $\sigma$, la notation de Weierstrass pour sa fonction entière] et leur existence prouve ipso facto la propriété de Painlevé de Pn.

PVI admet deux ensembles de quatre fonctions tau équivalentes, respectivement construits par Painlevé et Chazy, chaque élément des deux ensembles étant indicé par l'une des singularités $j\in \lbrace \infty ,0,1,x\rbrace$.

Dans le cas (de Picard) où les quatre $\theta _{j}$ sont nuls, Painlevé a défini l'ensemble préliminaire $\tau _{{\rm {VI}},0,j}$

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},0,\infty }={\frac {x(x-1){u'}^{2}}{4u(u-1)(u-x)}}-{\frac {u'}{2(u-x)}}+{\frac {1}{4(u-x)}}+{\frac {1}{4x}}+{\frac {1}{4(x-1)}},\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},0,0}={\frac {x(x-1){u'}^{2}}{4u(u-1)(u-x)}}-{\frac {xu'}{2u(u-x)}}+{\frac {u-1}{4(x-1)(u-x)}},\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},0,1}={\frac {x(x-1){u'}^{2}}{4u(u-1)(u-x)}}-{\frac {(x-1)u'}{2(u-1)(u-x)}}+{\frac {u}{4x(u-x)}},\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},0,x}={\frac {x(x-1){u'}^{2}}{4u(u-1)(u-x)}}-{\frac {1}{4(u-x)}},\end{aligned}}$

dont chaque élément possède un seul pôle simple de résidu unité au voisinage des pôles doubles correspondants de $x$, $\forall j:\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},0,j}\sim {\frac {1}{x-x_{0}}}.$ Le seul élément pair en $u'$ est celui d'indice $x$ (le birapport des quatre points singuliers), il conduit à des expressions ultérieures plus simples.

Le premier ensemble de fonctions tau, noté $\tau _{{\rm {VI}},{\rm {P}},j}$, extrapole le double de ces expressions préliminaires ; leur dérivée logarithmique possède ou bien deux pôles simples de résidu unité (cas $\theta _{j}$ non nul), ou bien un pôle double de résidu deux (cas $\theta _{j}$ nul).

Avec le choix $j=x$ (plus simple que le choix $j=\infty$ à cause de sa parité en $u'$), la dérivée logarithmique

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {P}},x}={\frac {x(x-1){u'}^{2}}{2u(u-1)(u-x)}}+{\frac {1}{2x(x-1)}}\left[\theta _{\infty }^{2}\left({\frac {1}{2}}-u\right)+\theta _{0}^{2}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{u}}\right)+\theta _{1}^{2}\left({\frac {x-1}{u-1}}-{\frac {1}{2}}\right)+(\theta _{x}^{2}+1)\left({\frac {1}{2}}-x-{\frac {x(x-1)}{u-x}}\right)\right],$

possède des pôles simples de résidus un ou deux aux pôles de $1/(u-x)$,

${\begin{aligned}&\theta _{x}\not =0,x\to x_{0,\pm }:{\frac {1}{u-x}}\sim \pm {\frac {1}{\theta _{x}(x-x_{0,\pm })}},{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {P}},x}\sim {\frac {1}{x-x_{0,\pm }}},\\&\theta _{x}=0,x\to x_{0}:{\frac {1}{u-x}}\sim {\frac {f_{0}(x)}{(x-x_{0})^{2}}},{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {P}},x}\sim {\frac {2}{x-x_{0}}},\end{aligned}}$

et elle est régulière aux six pôles simples ou aux trois pôles doubles de $u,1/u,1/(u-1)$. Cependant, l'EDO d'ordre deux qu'elle vérifie a pour degré quatre, soit plus que le minimum deux.

Le deuxième ensemble de quatre fonctions tau, noté $\tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},j}$, a été construit par Chazy [expression $t$ p. 341] à partir de l'ensemble $\tau _{{\rm {VI}},{\rm {P}},j}$ simplement en supprimant l'un des deux pôles mobiles simples du premier ensemble :

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},\infty }={\frac {1}{2}}\left\lbrack {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{\rm {VI,{\rm {P}},\infty }}+\theta _{\infty }{\frac {u-1/2}{x(x-1)}}\right\rbrack ,\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},0}={\frac {1}{2}}\left\lbrack {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{\rm {VI,{\rm {P}},0}}+{\frac {\theta _{0}}{(x-1)u}}\right\rbrack ,\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},1}={\frac {1}{2}}\left\lbrack {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{\rm {VI,{\rm {P}},1}}+{\frac {\theta _{1}}{x(u-1)}}\right\rbrack ,\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},x}={\frac {1}{2}}\left\lbrack {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{\rm {VI,{\rm {P}},x}}+{\frac {\theta _{x}}{u-x}}\right\rbrack .\end{aligned}}$

De plus, et c'était la motivation de Chazy, l'EDO d'ordre deux pour chaque $(\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},j})'$ a pour degré la valeur minimale deux, comme explicité ci-dessous.

L'élément $j=x$ (le choix de Malmquist) de ce deuxième ensemble est le plus simple car il n'a pas de terme linéaire en $u'$ :

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},x}={\frac {x(x-1){u'}^{2}}{4u(u-1)(u-x)}}+{\frac {1}{4x(x-1)}}\left[\theta _{\infty }^{2}\left({\frac {1}{2}}-u\right)+\theta _{0}^{2}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{u}}\right)+\theta _{1}^{2}\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {x-1}{u-1}}\right)+(\theta _{x}-1)^{2}\left({\frac {1}{2}}-x-{\frac {x(x-1)}{u-x}}\right)\right],\end{aligned}}$

son unique singularité mobile est un pôle simple $x_{0}$ de résidu unité :

${\begin{aligned}&\theta _{x}\not =0,x\to x_{0,+}:{\frac {1}{u-x}}\sim {\frac {1}{\theta _{x}(x-x_{0,+})}},{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},x}\sim {\frac {1}{x-x_{0,+}}},\\&\theta _{x}=0,x\to x_{0}:{\frac {1}{u-x}}\sim {\frac {f_{0}(x)}{(x-x_{0})^{2}}},{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},x}\sim {\frac {1}{x-x_{0}}},\end{aligned}}$

et il est régulier aux pôles mobiles de $u,1/u,1/(u-1)$.

Cette expression s'écrit également

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},x}={\frac {R(\theta _{0},\theta _{1},\theta _{x})R(-\theta _{0},-\theta _{1},2-\theta _{x})}{4x(x-1)u(u-1)(u-x)}}-{\frac {u-x}{4x(x-1)}}\left[\theta _{\infty }^{2}-(\theta _{0}+\theta _{1}+\theta _{x}-1)^{2}\right]\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {\theta _{\infty }^{2}-\theta _{0}^{2}+\theta _{1}^{2}-(\theta _{x}-1)^{2}-4\theta _{0}(\theta _{x}-1)}{8x}}-{\frac {\theta _{\infty }^{2}+\theta _{0}^{2}-\theta _{1}^{2}-(\theta _{x}-1)^{2}-4\theta _{1}(\theta _{x}-1)}{8(x-1)}},\\&R(\theta _{0},\theta _{1},\theta _{x})=x(x-1)u'+u(u-1)(u-x)\left({\frac {\theta _{0}}{u}}+{\frac {\theta _{1}}{u-1}}+{\frac {\theta _{x}-1}{u-x}}\right),\end{aligned}}$

où $R=0$ définit la solution classique de PVI à un paramètre.

Définition par la paire de Lax

C'est plutôt une propriété caractéristique, elle est donc mentionnée dans la section Paires de Lax matricielles en coordonnées rationnelles.

Exemple de fonction tau

Seul ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {n}},{\rm {X}},j}$ (X=P ou C) est exprimable sous forme fermée, $\tau _{{\rm {n}},{\rm {X}},j}$ ne peut pas l'être à cause de l'irréductibilité. Pour la série asymptotique de $\tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},j}$, voir Jimbo et, pour plus de détails, Its, Lisovyy et Prokhorov .

Équations différentielles des fonctions tau

Les termes additifs non-pertinents qui ne dépendent que de $x$ dans ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},j}$ visent à rendre les quatre expressions ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},j}$ solutions de la même EDO d'ordre deux et de degré deux, dénotée (B-V) par Chazy [p. 340]. Après la normalisation $y=x(x-1){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},x}$, l'EDO pour $y(x)$ s'écrit ou bien avec un belle symétrie quaternaire

$-y'\left(x(x-1)y''\right)^{2}-\left[{y'}^{2}-2y'(xy'-y)+n_{1}n_{2}n_{3}n_{4}\right]^{2}+(y'+n_{1}^{2})(y'+n_{2}^{2})(y'+n_{3}^{2})(y'+n_{4}^{2})=0,$

ou bien comme une équation simplifiée avec quatre termes complémentaires notée SD-Ia par Cosgrove et Scoufis

${\text{SD-Ia}}:-\left((x(x-1)y''\right)^{2}-4y'(xy'-y)^{2}+4{y'}^{2}(xy'-y)+A_{0}{y'}^{2}+A_{2}(xy'-y)+\left(A_{3}+{\frac {A_{0}^{2}}{4}}\right)y'+A_{4}=0,$

avec les valeurs suivantes dans le cas $\tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},x}$

${\begin{array}{l l}&\Theta _{x}=\theta _{x}-1,\\&2n_{1}=\theta _{\infty }-\Theta _{x},2n_{2}=\theta _{\infty }+\Theta _{x},2n_{3}=\theta _{1}-\theta _{0},2n_{4}=\theta _{1}+\theta _{0},\\&2A_{0}=b\theta _{\infty }^{2}+\theta _{0}^{2}+\theta _{1}^{2}+\Theta _{X}^{2},\\&4A_{2}=-(\theta _{\infty }^{2}-\Theta _{X}^{2})(\theta _{0}^{2}-\theta _{1}^{2}),\\&4A_{3}=(\theta _{\infty }^{2}-\theta _{1}^{2})(\theta _{0}^{2}-\Theta _{X}^{2}),B_{3}=A_{3}+{\frac {A_{0}^{2}}{4}},\\&32A_{4}=(\theta _{\infty }^{2}+\Theta _{X}^{2})(\theta _{0}^{2}-\theta _{1}^{2})^{2}+(\theta _{\infty }^{2}-\Theta _{X}^{2})^{2}(\theta _{0}^{2}+\theta _{1}^{2}).\end{array}}$

La transformation inverse s'écrit [Table R]

${\begin{aligned}&u=x+{\frac {\Theta _{x}x(x-1)y''-\left[y+\displaystyle {\frac {\theta _{\infty }^{2}+3\Theta _{x}^{2}}{8}}(2x-1)-{\frac {\theta _{1}^{2}-\theta _{0}^{2}}{8}}\right]\left[y'+\displaystyle {\frac {\theta _{\infty }^{2}+\Theta _{x}^{2}}{4}}\right]}{\left(y'+\displaystyle {\frac {(\theta _{\infty }+\Theta _{x})^{2}}{4}}\right)\left(y'+\displaystyle {\frac {(\theta _{\infty }-\Theta _{x})^{2}}{4}}\right)}}\\&\qquad +{\frac {\displaystyle {\frac {\Theta _{x}^{2}}{2}}\left[y+\displaystyle {\frac {3\theta _{\infty }^{2}+\Theta _{x}^{2}}{8}}(2x-1)+\displaystyle {\frac {\theta _{1}^{2}-\theta _{0}^{2}}{8}}\right]}{\left(y'+\displaystyle {\frac {(\theta _{\infty }+\Theta _{x})^{2}}{4}}\right)\left(y'+\displaystyle {\frac {(\theta _{\infty }-\Theta _{x})^{2}}{4}}\right)}}.\end{aligned}}$

Exemples en physique et en géométrie

Ces deux ensembles de fonctions tau se rencontrent dans de nombreux domaines :

• dans la correspondance quantique, les quatre $\theta _{j}$ ne contribuent que par leur carré, c'est donc la fonction tau de Painlevé$\tau _{{\rm {VI}},{\rm {P}},*}$ qui la décrit.
• dans tout problème où la fonction tau n'a qu'un zéro mobile simple (donc sa dérivée logarithmique un seul pôle mobile simple de résidu un), c'est la fonction tau de Chazy $\tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},*}$ qu'il faut considérer. Sa non-invariance par parité d'un des quatre $\theta _{j}$ a conduit Okamoto à établir le groupe de Weyl affine et la transformation birationnelle élémentaire de PVI.
• si l'on désire l'invariance par changement de $u'$ en son opposé, les fonctions tau adéquates sont $\tau _{{\rm {VI}},*,x}$. Cela a conduit Malmquist à construire un hamiltonien polynomial dans les deux coordonnées canoniques $q,p$.
• l'exigence d'un degré minimal (deux) de l'EDO d'ordre deux pour ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{\rm {VI}}$ sélectionne les fonctions tau de Chazy $\tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},*}$. Cela se présente en géométrie des surfaces de Bonnet, où une telle EDO d'ordre deux et de degré deux trouvée par Hazzidakis a pour solution ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},C,*}$.

Fonctions tau des Pn inférieures

Il suffit pour les engendrer de faire agir la confluence.

Les fonctions tau à deux zéros mobiles $\tau _{{\rm {VI}},{\rm {P}},j}$ engendrent des fonctions tau (C10)-(C13) affines en $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )$, paires en $u'$ pour le choix $j=x$, à deux zéros mobiles simples (mais un seul zéro double pour PIII-D8 et PI) définies à des fonctions additives de $x$ près

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {n}},{\rm {P}}}=\left\lbrace {\begin{array}{l|l}(PVI)&\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {P}},x}\\(PV)&\displaystyle {\frac {x{u'}^{2}}{2u(u-1)^{2}}}-\alpha {\frac {u}{x}}+{\frac {\beta }{2x}}\left({\frac {2}{u}}-4\right)+{\frac {\gamma }{u-1}}+\delta {\frac {xu}{(u-1)^{2}}},\\(PIII)&\displaystyle {\frac {x{u'}^{2}}{2u^{2}}}-\alpha {\frac {u}{4x}}+\beta {\frac {1}{4u}}-\gamma {\frac {u^{2}}{8x}}+\delta {\frac {x}{8u^{2}}},\\(PIV')&\displaystyle {\frac {{u'}^{2}}{4u}}+\alpha u+{\frac {\beta }{2u}}-\gamma {\frac {(u+2x)^{2}u}{4}}-\delta (u+2x)u,\\(PII')&{u'}^{2}-2\alpha u-\beta u^{2}-2\gamma (2u^{3}+xu)-\delta (u^{4}+xu^{2}),\\(J)&{u'}^{2}-2\alpha u-\beta u^{2}-4\gamma u^{3}-\delta u^{4}.\end{array}}\right.$

Les fonctions tau à un zéro mobile engendrées par $\tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},j}$ sont les suivantes

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {n}},{\rm {C}}}=\left\lbrace {\begin{array}{l l}(PVI)&\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},x}\\(PV)&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\lbrack {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {V}},{\rm {P}}}+{\frac {d}{u-1}}+{\frac {\theta _{0}(\theta _{1}-1)}{x}}-d(\theta _{1}+\theta _{0}-1)\right\rbrack ,\\(PIII)&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\lbrack {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {III}},{\rm {P}}}+{\frac {d}{2u}}+{\frac {cd}{4}}-{\frac {2k}{x}}\right\rbrack ,k=0{\text{ si }}\gamma =\delta =0,k=\theta _{\infty }{\text{ ou }}\theta _{0}-1{\text{ si }}\gamma \delta \not =0,\\(PIV')&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\lbrack {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {IV'}},{\rm {P}}}+cu\right\rbrack ,\\(PII')&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\lbrack {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {II'}},{\rm {P}}}+du\right\rbrack ,\\(J)&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\lbrack {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {J}},{\rm {P}}}+du\right\rbrack .\end{array}}\right.$

La dérivée logarithmique de chaque fonction tau obéit à une EDO d'ordre deux et de degré quatre (fonction tau à deux zéros $\tau _{{\rm {VI}},{\rm {P}},j}$) ou deux (fonction tau à un zéro $\tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},j}$). Celles de degré deux ont le type dit binomial, elles sont énumérées par Chazy [p. 340] et détaillées par Cosgrove et Scoufis [p. 66]. Avec la normalisation

$\displaystyle {\frac {y}{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {n}},{\rm {C}}}}}=(x(x-1),x,x,1,1),\ n={\rm {VI,V,III,IV',II'}},$

Okamoto [Table (E)] [Éq. (B.58)] les a récrites comme suit afin de mettre en évidence leur groupe de symétrie

${\begin{array}{l l}PVI&-y'\left(x(x-1)y''\right)^{2}-\left[{y'}^{2}-2y'(xy'-y)+n_{1}n_{2}n_{3}n_{4}\right]^{2}+(y'+n_{1}^{2})(y'+n_{2}^{2})(y'+n_{3}^{2})(y'+n_{4}^{2})=0,\\PV(\delta \not =0)&(dxy'')^{2}-\left\lbrack 2{y'}^{2}-d^{2}(xy'-y)+d(n_{1}+n_{2}+n_{3})y'\right\rbrack ^{2}+4y'(y'+dn_{1})(y'+dn_{2})(y'+dn_{3})=0,\\&\qquad 2n_{1}=2\theta _{0},\ 2n_{2}=\theta _{0}+\theta _{1}-1+\theta _{\infty },2n_{3}=\theta _{0}+\theta _{1}-1-\theta _{\infty },\\PIII&(xy'')^{2}\displaystyle +4\left[\left(y'-{\frac {cd}{8}}\right)^{2}-{\frac {c^{2}d^{2}x+\alpha (\beta +2d)}{64x}}\right](xy'-y-k)-{\frac {\alpha (\beta +2d)}{16x}}(y+k)-{\frac {(d\alpha -c(\beta +2d))^{2}}{256}}=0,\\&\qquad k=0{\text{ si }}\gamma =\delta =0,k=\theta _{\infty }{\text{ ou }}\theta _{0}-1{\text{ si }}\gamma \delta \not =0,\\PIII(\gamma \delta \not =0)&(xy'')^{2}+y'(4y'-cd)(xy'-y)-[n_{s}y'-cdn_{1}/4]^{2}=0,\\&\qquad 2n_{1}=\theta _{\infty }+\theta _{0}-1,n_{s}=\theta _{\infty }{\text{ ou }}\theta _{0}-1,\\PIV'&{y''}^{2}+4(y'-2c\theta _{0})\left\lbrack (y'+2c\theta _{0}-2\delta x)(y'+c(2\theta _{\infty }+1)+2\delta (y+c(2\theta _{\infty }+1)x)\right\rbrack -4\left(c(xy'-y)+2\delta \theta _{0}\right)^{2}=0,\\PII'&{y''}^{2}+4{y'}^{3}+(xy'-y)\left\lbrack 2d^{2}y'+2\gamma ^{2}-(1/2)\beta d^{2}\right\rbrack -y'(\beta y'-2\alpha \gamma +\gamma d)-{\frac {d^{2}}{16}}(2\alpha -d)^{2}=0.\end{array}}$

Invariances

Pour les établir toutes, il faut considérer non seulement l'équation PVI mais aussi la fonction tau à un seul zéro $\tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},j}$. La considération d'un tel couple est également nécessaire dans l'étude du comportement au voisinage des trois points critiques fixes, cf. la section Problèmes de connexion.

Dans sa représentation elliptique ${\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} X^{2}}}-{\frac {(2\omega )^{3}}{\pi ^{2}}}\sum _{j=\infty ,0,1,x}\theta _{j}^{2}\wp '(2\omega U+\omega _{j},g_{2},g_{3})=0,$ PVI possède deux invariances dans l'espace des quatre $\theta _{j}$ : quatre changements de signes, vingt-quatre permutations des $\theta _{j}^{2}$. Dans l'espace $(u,x),$ ces permutations agissent comme des homographies, lire ci-après.

L'EDO pour $(\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},j})'$ telle qu'écrite par Okamoto

$y=x(x-1){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \tau _{{\rm {VI}},{\rm {C}},x},-y'\left(x(x-1)y''\right)^{2}-\left[{y'}^{2}-2y'(xy'-y)+n_{1}n_{2}n_{3}n_{4}\right]^{2}+(y'+n_{1}^{2})(y'+n_{2}^{2})(y'+n_{3}^{2})(y'+n_{4}^{2})=0,$

est invariante par les vingt-quatre permutations des $n_{j}$, liés aux $\theta _{j}$ par les relations précitées. Ces permutations agissent sur $(u,x)$ comme des transformations birationnelles, détaillées ci-après.

Homographies

Pn$(u,x)$ ne désigne pas une EDO mais une classe d'équivalence définie par l'homographie la plus générale qui conserve la structure de singularités

$(u,x)\mapsto (U,X),u(x)={\frac {\alpha (x)U(X)+\beta (x)}{\gamma (x)U(X)+\delta (x)}},X=\xi (x),(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\xi ){\hbox{ fonctions}},\alpha \delta -\beta \gamma \not =0,$

et qui dépend donc de quatre fonctions arbitraires.

Ainsi, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}=2u^{3}+u+{\frac {1}{x}}\left(a-{\frac {du}{dx}}\right)+{\frac {u}{9x^{2}}}$ est une définition parfaitement admissible [p. 258] de PII.

Les 24 permutations de $(\infty ,0,1,x)$ qui laissent PVI invariante de forme agissent sur les $\theta _{j}^{2}$ comme une permutation et sur $(u,x)$ comme une homographie. Rangées par valeurs croissantes de l'ordre de cette homographie, ce sont (la numérotation en première colonne est celle de Gromak et Lukashevich),

${\begin{array}{| c | c | c | l | l |}\hline {\rm {num}}&{\rm {ordre}}&\infty 01x&x,X&u,U\\1&1&\infty 01x&x=X&u=U\\\hline \hline 7&2&0\infty x1&x=X&u=X/U\\\hline 15&2&1x\infty 0&x=X&u=(U-X)/(U-1)\\\hline 22&2&x10\infty &x=X&u=X(U-1)/(U-X)\\\hline \hline 6&2&\infty x10&x=X/(X-1)&u=(U-X)/(1-X)\\\hline 11&2&01x\infty &x=X/(X-1)&u=X(1-U)/((1-X)U)\\\hline 18&2&10\infty x&x=X/(X-1)&u=U/(U-1)\\\hline 20&2&x\infty 01&x=X/(X-1)&u=-X/(U-X)\\\hline \hline 2&2&\infty 0x1&x=1/X&u=U/X\\\hline 8&2&0\infty 1x&x=1/X&u=1/U\\\hline \hline 3&2&\infty 10x&x=1-X&u=1-U\\\hline 23&2&x01\infty &x=1-X&u=(1-X)U/(U-X)\\\hline \hline 4&3&\infty 1x0&x=1/(1-X)&u=(1-U)/(1-X)\\\hline 10&3&0x1\infty &x=1/(1-X)&u=(U-X)/((1-X)U)\\\hline 14&3&1\infty 0x&x=1/(1-X)&u=1/(1-U)\\\hline 24&3&x0\infty 1&x=1/(1-X)&u=U/(U-X)\\\hline \hline 5&3&\infty x01&x=1-1/X&u=1-U/X\\\hline 12&3&01\infty x&x=1-1/X&u=1-1/U\\\hline 17&3&10x\infty &x=1-1/X&u=(X-1)U/(X(U-1))\\\hline 19&3&x\infty 10&x=1-1/X&u=(1-X)/(U-X)\\\hline \hline 16&4&1x0\infty &x=1/X&u=(U-X)/(X(U-1))\\\hline 21&4&x1\infty 0&x=1/X&u=(U-1)/(U-X)\\\hline \hline 9&4&0x\infty 1&x=1-X&u=1-X/U\\\hline 13&4&1\infty x0&x=1-X&u=(1-X)/(1-U)\\\hline \end{array}}$

Leurs trois générateurs sont par exemple les éléments 8, 14, 7.

Pour des valeurs génériques de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$, la confluence définit les homographies laissant les autres Pn$(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )$ invariantes de forme

${\begin{array}{l l l }PVI&(u,x,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )&\to (1/u,1/x,-\beta ,-\alpha ,\gamma ,\delta ),\\&&\to (1-1/u,1-1/x,-\beta ,-\gamma ,\alpha ,\delta ),\\&&\to (x/u,x,-\beta ,-\alpha ,-\delta +1/2,-\gamma +1/2),\\PV&(u,x,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )&\to (u,-x,\alpha ,\beta ,-\gamma ,\delta ),\\&&\to (1/u,x,-\beta ,-\alpha ,-\gamma ,\delta ),\\PIII&(u,x,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )&\to (\lambda u,\mu x,\lambda ^{-1}\mu ^{-1}\alpha ,\lambda \mu ^{-1}\beta ,\lambda ^{-2}\mu ^{-2}\gamma ,\lambda ^{2}\mu ^{-2}\delta ),\\&&\to (u^{-1},x,-\beta ,-\alpha ,-\delta ,-\gamma ),\\PIV'&(u,x,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )&\to (ku,kx,k^{2}\alpha ,\beta ,k^{4}\gamma ,k^{3}\delta ),\\PIV&(u,x,\alpha ,\beta )&\to (ku,kx,k^{2}\alpha ,\beta ),k^{4}=1,\\PII'&(u,x,\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )&\to (ku,k^{2}x,k^{-3}\alpha ,k^{-4}\beta ,k^{-5}\gamma ,k^{-6}\delta ),\\PII&(u,x,\alpha )&\to (ku,k^{2}x,k^{-3}\alpha ),k^{6}=1,\\PI&(u,x)&\to (ku,k^{2}x),k^{5}=1,\end{array}}$

où $k,\lambda ,\mu$ désignent des constantes arbitraires non-nulles.

Transformations birationnelles

Étant donné deux EDOs en $u(x)$ et $U(X)$ de même $n$, une transformation birationnelle entre ces deux EDOs est par définition [p. 21] une paire de relations

$u=r(x,U,\mathrm {d} U/\mathrm {d} X,\dots ,\mathrm {d} ^{n-1}U/\mathrm {d} X^{n-1})=0,x=\Xi (X),U=R(X,u,\mathrm {d} u/\mathrm {d} x,\dots ,\mathrm {d} ^{n-1}u/\mathrm {d} x^{n-1})=0,X=\xi (x),$

où $r$ et $R$ sont des fonctions rationnelles de $u,U$ et de leurs dérivées, analytiques de $x,X$.

Ces transformations définissent un groupe et admmettent pour sous-groupe le groupe des homographies.

Dans le cas des Pn, contrairement aux homographies, elles changent l'ensemble ${\theta _{j}^{2}}$, donc elles n'existent par pour les Pn sans paramètre (PI et PIII-D8).

Au niveau de PVI, ce sont les vingt-quatre permutations des paramètres $n_{j}$ qui laissent invariante de forme l'EDO pour la fonction tau à un seul zéro $\tau _{{\rm {VI,C}},j}$. La nature affine de la transformation entre les $\theta _{j}$ et les $n_{j}$ fait donc agir chaque permutation des $n_{j}$ comme une transformation affine des $\theta _{j}$ et birationnelle de $u(x)$. Il est également possible de les obtenir sans théorie des groupes, en exploitant seulement la structure de singularités.

Aux niveaux inférieurs, la non-commutativité de deux opérations (permutation des quatre singularités de PVI, convention de fusionner $x$ et $1$ de PVI pour définir PV) définit deux séquences distinctes $(\theta _{j},u,x)\to (\Theta _{j},U,x)$. Notons $s_{j}$ et $S_{j}$ les signes de $\theta _{j}$ et $\Theta _{j}$: $s_{j}^{2}=1,S_{j}^{2}=1$.

Séquence normale

${\begin{array}{l l l }PVI:&{\begin{pmatrix}s_{\infty }\theta _{\infty }\\s_{0}\theta _{0}\\s_{1}\theta _{1}\\s_{x}\theta _{x}\end{pmatrix}}&=-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}S_{\infty }\Theta _{\infty }\\S_{0}\Theta _{0}\\S_{1}\Theta _{1}\\S_{x}\Theta _{x}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},\\PV:&{\begin{pmatrix}s_{\infty }\theta _{\infty }\\s_{0}\theta _{0}\\s_{1}\theta _{1}\end{pmatrix}}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&-1\\-2&-2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}S_{\infty }\Theta _{\infty }\\S_{0}\Theta _{0}\\S_{1}\Theta _{1}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}},s_{\infty }d=S_{\infty }D,\\PIII:&{\begin{pmatrix}s_{\infty }\theta _{\infty }\\s_{0}\theta _{0}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}S_{\infty }\Theta _{\infty }\\S_{0}\Theta _{0}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},s_{\infty }c=S_{\infty }C,s_{0}d=S_{0}D,\\PIV:&{\begin{pmatrix}s_{\infty }\theta _{\infty }\\s_{0}\theta _{0}\end{pmatrix}}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1&-3\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}S_{\infty }\Theta _{\infty }\\S_{0}\Theta _{0}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},s_{\infty }c=S_{\infty }C,\\PII:&{\begin{pmatrix}s\theta _{\infty }\end{pmatrix}}&=-{\begin{pmatrix}S\Theta _{\infty }\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},s_{\infty }d=S_{\infty }D,\end{array}}$

accompagné de

${\frac {N}{u-U}}=\left\lbrace {\begin{array}{l l l}PVI:&\displaystyle {\frac {x(x-1)U'}{U(U-1)(U-x)}}+{\frac {\Theta _{0}}{U}}+{\frac {\Theta _{1}}{U-1}}+{\frac {\Theta _{x}-1}{U-x}},&N=1-\Theta _{\infty }-\Theta _{0}-\Theta _{1}-\Theta _{x}=(1/2)\sum (\theta _{j}-\Theta _{j}),\\PV:&\displaystyle {\frac {xU'}{U(U-1)^{2}}}+{\frac {\Theta _{0}}{U}}+{\frac {\Theta _{1}-1}{U-1}}+{\frac {Dx}{(U-1)^{2}}},&N=1-\Theta _{\infty }-\Theta _{0}-\Theta _{1}=(1/2)\sum (\theta _{j}-\Theta _{j}),\\PIII:&\displaystyle {\frac {xU'}{U^{2}}}+{\frac {\Theta _{0}-1}{U}}+{\frac {Dx}{2U^{2}}}-{\frac {C}{2}},&N=1-\Theta _{\infty }-\Theta _{0}=(1/2)\sum (\theta _{j}-\Theta _{j}),\\PIV:&\displaystyle {\frac {U'}{U}}+{\frac {4\Theta _{0}}{U}}+CU+2Cx,&N=-2(1-2\Theta _{\infty }-2\Theta _{0})=2\sum (\theta _{j}-\Theta _{j}),\\PII:&U'+DU^{2}+D{\frac {x}{2}},&N={\frac {1}{2}}-\Theta _{\infty }=(1/2)(\theta _{\infty }-\Theta _{\infty }).\end{array}}\right.$

La deuxième partie $U=f(u)$ de la transformation se déduit de la première par l'échange des minuscules $(u,\theta _{\infty },\theta _{0},\theta _{1},\theta _{x},c,d)$ et des majuscules $(U,\Theta _{\infty },\Theta _{0},\Theta _{1},\Theta _{x},C,D)$, par exemple pour PII

${\begin{aligned}PII:{\frac {N}{u-U}}=U'+DU^{2}+D{\frac {x}{2}}=u'+du^{2}+d{\frac {x}{2}},N={\frac {1}{2}}-\Theta _{\infty }=\theta _{\infty }-{\frac {1}{2}}=(1/2)(\theta _{\infty }-\Theta _{\infty }).\end{aligned}}$

Avec une telle convention, chaque transformation où $s_{j}=S_{j}$ est une involution.

Le choix $s_{j}=1$ rend toutes les translations positives et, pour le choix $s_{j}=S_{j}$, la partie linéaire a pour déterminant $-1$. La somme des translations reste égale à deux, sauf pour PIV et PII par suite d'un changement d'échelle, cf. la Table de notation des exposants de monodromie.

Ces transformations sont respectivement dues, pour PVI à Okamoto, pour PV à Okamoto, pour PIII à Gromak [Eqs. (14)-(15)], pour PIV à Murata, pour PII à Lukashevich.

Pour PVI, le carré de la transformation élémentaire ci-dessus est l'involution qui laisse deux exposants invariants et décale les deux autres de $\pm 1$, par exemple

$PVI:(\Theta _{\infty },\Theta _{0},\Theta _{1},\Theta _{x})=(\theta _{\infty },\theta _{0},1-\theta _{1},1-\theta _{x}).$

Connue de Schlesinger dans l'espace $\theta _{j}$, elle a été établie dans l'espace $u$ par Garnier

${\begin{aligned}&\left\lbrace {\begin{array}{ll}\displaystyle {{\frac {uU}{x}}={\frac {R_{n}^{+}R_{n}^{-}}{R_{d}^{+}R_{d}^{-}}},x=X,}\\\displaystyle {R_{n}^{\pm }={\frac {x(x-1)U'}{U(U-1)(U-x)}}+{\frac {\pm \Theta _{0}}{U}}+{\frac {\Theta _{1}}{U-1}}+{\frac {\Theta _{x}-1}{U-x}},}\\\displaystyle {R_{d}^{\pm }={\frac {x(x-1)U'}{U(U-1)(U-x)}}+{\frac {\pm \Theta _{\infty }-\Theta _{1}-\Theta _{x}+1}{U}}+{\frac {\Theta _{1}}{U-1}}+{\frac {\Theta _{x}-1}{U-x}},}\\\displaystyle {{\begin{pmatrix}\theta _{\infty }\\\theta _{0}\\\theta _{1}\\\theta _{x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Theta _{\infty }\\\Theta _{0}\\-\Theta _{1}\\-\Theta _{x}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}}.}\end{array}}\right.\end{aligned}}$

Séquence biaisée

Avant d'effectuer la confluence, on effectue sur la transformation birationnelle normale de PVI la permutation$(\infty ,0,1,x)\to (x,1,0,\infty )$ (numéro 22 dans la Table des homographies) et le changemment du signe de $\theta _{\infty }$ et de $\theta _{x}$, avec pour résultat