Équation de Mason-Weaver

L'équation de Mason-Weaver est une équation décrivant la sédimentation et la diffusion de solutés sous l'action d'une force uniforme, typiquement un champ de pesanteur[1].

Expression mathématiqueModifier

En supposant que la pesanteur est un champ orienté dans la direction z, l'équation de Mason-Weaver peut s'écrire

 

t est le temps, c est la concentration linéaire du soluté (moles par unité de longueur dans la direction z) et les paramètres D, s et g représentent respectivement le coefficient de diffusion du soluté, le coefficient de sédimentation et l'accélération de la pesanteur (supposée constante).

L'équation de Mason-Weaver est complétée par des conditions aux limites. Si la cellule est supposée rectangulaire et aligné sur un système de coordonnées cartésiennes ; on a

 

au sommet et au fond de la cellule notée respectivement za et zb. Ces conditions aux limites correspondent au fait que physiquement il est impossible à un soluté de passer à travers les parois de la cellule et que le flux doit donc y être nul. De même le flux sur les parois latérales doit être nul. En conséquence la quantité totale de solutés contenus dans la cellule

 

est conservée, i.e.  .

Obtention de l'équation de Mason-WeaverModifier

Vitesse de sédimentationModifier

La force s'exerçant sur une particule dans un fluide incompressible est donnée par l'équation de Basset–Boussinesq–Oseen[2] :

 

avec

  diamètre de la particule,
  masse de fluide déplacé,
  masses volumiques du fluide et de la particule, respectivement,
  viscosité dynamique du fluide,
  champ d'accélération auquel est soumis le milieu.

Ici le temps caractéristique que met la particule pour atteindre sa vitesse limite donnée par l'équilibre des forces qui s'exercent sur elle est très faible (typiquement 10 ns pour des solutés moléculaires). On supposera donc cet équilibre vrai à chaque instant. On en déduit la vitesse limite en faisant   :

 

On définit le coefficient de sédimentation par :

 

Le flux est donné par :

 

Le premier terme décrit le flux dû à la diffusion de la matière sous l'effet d'un gradient de concentration, tandis que le second terme décrit le flux convectif dû à la vitesse moyenne   des particules.

Équation de conservationModifier

On peut définir une loi de conservation pour une variable extensive   entraînée à la vitesse   et comportant un terme de production volumique   par :

 

Dans notre cas  ,   et  .

En remplaçant le flux par son expression on obtient l'équation de Mason-Weaver :

 

Soit, en une dimension d'espace z alignée avec g supposé constant:

 

L'équation de Mason-Weaver sans dimensionModifier

Les paramètres D, s et g déterminent une longueur caractéristique  

 

et un temps caractéristique  

 

En définissant les grandeurs sans dimension   et  , l'équation de Mason-Weaver devient :

 

soumise aux conditions aux limites

 

au sommet et au fond de la cellule, respectivement   et  .

Solution de l'équation de Mason-WeaverModifier

Cette équation aux dérivées partielles peut être résolue par une méthode de séparation des variables. En posant  , on obtient deux équations différentielles ordinaires couplées par une constante  

 
 

où les valeurs possibles de   sont définies par les conditions aux limites

 

aux frontières supérieure et inférieure   et   respectivement. Puisque l'équation en T admet les solutions    est une constante la résolution de l'équation de Mason-Weaver se réduit à trouver la fonction  .

Les équations différentielles ordinaires pour P et ses conditions satisfont les critères de la théorie de Sturm-Liouville ce qui amène à plusieurs conclusions. Tout d'abord il existe un ensemble orthonormé de fonctions propres   qui est solution des équations différentielles et satisfait les conditions aux limites. De plus les valeurs propres correspondantes   sont réelles, limitées inférieurement par la valeur propre   et croissent asymptotiquement comme   où l'entier naturel k est le rang de la fonction propre. Dans le cas présent la plus petite valeur propre est zéro, correspondant à l'équilibre. Enfin, les fonctions propres forment un ensemble complet ; toute solution pour   peut être exprimée comme une combinaison linéaire des fonctions propres

 

  sont des coefficients constants déterminés à partir de la distribution initiale  

 

À l'équilibre par définition   et la distribution de concentration à l'équilibre est :

 

ce qui est en accord avec la distribution de Boltzmann.

Les fonctions   sont solutions des équations différentielles et satisfont aux conditions aux limites pour toutes les valeurs de   (ce que l'on peut vérifier par substitution) et la constante B peut-être déterminée à partir de la quantité totale de soluté.

 

Pour trouver les valeurs propres hors équilibre  , nous procédons comme suit. L'équation en P a la forme d'un oscillateur harmonique simple de solutions  

 

Suivant la valeur de  ,   est soit purement réel ( ) ou imaginaire pur ( ). Seule une solution imaginaire pure peut satisfaire les conditions aux limites, c'est-à-dire la solution à l'équilibre. En conséquence les fonctions propres hors équilibre s'écrivent

 

A et B sont des constantes et   est un réel strictement positif.

En introduisant l'amplitude de l'oscillateur   et la phase   comme nouvelles variables,

 
 
 
 

l'équation du second degré en P est factorisée en deux équations du premier degré

 
 

De façon remarquable les conditions aux limites obtenues sont indépendantes de   ainsi que des points extrêmes   et  

 

En conséquence on obtient l'équation

 

donnant une solution exacte pour les fréquences  

 

Les fréquences propres   sont positives puisque   et consistent en un jeu d'harmoniques e la fréquence fondamentale  . Finalement les valeurs propres   peut être tirées de  

 

Prises ensemble les composantes de la solution hors équilibre correspondent à une décomposition en séries de Fourier de la distribution de concentration initiale   pondérée par les  . Chaque composante de Fourier décroît comme indépendamment comme    est donné plus haut en termes de fréquence de série de Fourier  .

Notes et référencesModifier

RéférencesModifier

  1. (en) Max Mason et Warren Weaver, « The Settling of Small Particles in a Fluid », Physical Review, vol. 23,‎ , p. 412–426
  2. (en) Martin R. Maxey et James J. Riley, « Equation of motion of a small rigid sphere in a non-uniform flow », Physics of Fluids A, vol. 26,‎ , p. 883-889

NotesModifier

Articles connexesModifier