Fonction propre

En mathématiques

Théorie spectrale

En théorie spectrale, une fonction propre f d'un opérateur linéaire ${\mathcal {A}}$ sur un espace fonctionnel est un vecteur propre de l'opérateur linéaire. En d’autres termes, une fonction propre d'un opérateur linéaire, ${\mathcal {A}}$, défini sur un certain espace de fonction, est toute fonction f non identiquement nulle sur cet espace qui, lorsqu’elle se voit appliquer cet opérateur en ressort exactement pareille à elle-même, à un facteur d'échelle multiplicatif près. Cette fonction satisfait donc :

${\mathcal {A}}f=\lambda f$

pour un scalaire λ, la valeur propre associée à f. L'existence de vecteurs propres est typiquement de grand secours pour analyser ${\mathcal {A}}$.

Par exemple, pour tout réel $\ \alpha$, $f_{\alpha }:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto e^{\alpha x}$ est une fonction propre pour l'opérateur différentiel

${\mathcal {A}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}},$

avec comme valeur propre correspondante $\ \lambda =\alpha ^{2}-\alpha$.

Topologie

En topologie, une fonction propre est une fonction par laquelle l'image réciproque d'un ensemble compact est compacte (voir Application propre).

En mécanique quantique

En mécanique quantique les fonctions propres jouent un rôle important. En effet, l'équation de Schrödinger

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\mathcal {H}}\psi$

a des solutions de la forme

$\psi \left(t\right)=\sum _{k}e^{-iE_{k}t/\hbar }\phi _{k},$

où les $\ \phi _{k}$ sont des fonctions propres de l'opérateur ${\mathcal {H}}$ avec les valeurs propres $\ E_{k}$. À cause de la nature de l'opérateur hamiltonien ${\mathcal {H}}$, ces fonctions propres sont orthogonales. Cela n'est pas nécessairement le cas pour les fonctions propres d'autres opérateurs (comme l'exemple ${\mathcal {A}}$ mentionné ci-dessus).