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Équation de conservation

Équation de conservation d'une grandeur physique extensive

Dans diverses disciplines de la physique, lorsqu'une quantité est conservée (typiquement la masse, la charge, la quantité de mouvement, l'énergie, etc.) dans son déplacement, on peut établir une équation reliant la variation de cette quantité dans le temps à sa variation dans l'espace, appelée équation de conservation de la grandeur.

Établissement de la loiModifier

On peut définir une loi de conservation pour une variable conservative (extensive)   (de densité  ) entraînée à la vitesse   en utilisant le théorème de transport de Reynolds sur un domaine de contrôle   d'enveloppe   sur laquelle on définit la normale sortante  

 

Cette équation de bilan dit que la variation dans le volume de référence (premier terme dans l'équation) est égal à ce qui sort ou ce qui rentre (deuxième terme) plus ce qui est créé ou disparaît dans le volume au travers du terme S pris positif dans le cas de la production.

En appliquant le théorème de flux-divergence le terme surfacique est transformé en un terme volumique :

 

et par application de la règle de Leibniz

 

Cette expression est valide quel que soit le volume de référence. Elle implique donc que l'intégrande soit nul :

 

Cette dernière expression constitue l'équation de conservation de  .

En coordonnées lagrangiennesModifier

On peut être amené a écrire l'équation de conservation dans un repère noté   entraîné à la vitesse  , donc défini par

 

L'accélération de ce système est donné par la dérivée particulaire

 

En tenant compte de l'expression de la conservation en coordonnées fixes (dites eulériennes) il vient

 

On réécrit cette équation sous une forme analogue à celle utilisée pour un système fixe

 

Articles connexesModifier