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Équation de Poisson

Équation aux dérivées partielles du second ordre particulière
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En analyse vectorielle, l'équation de Poisson (ainsi nommée en l'honneur du mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson) est l'équation aux dérivées partielles du second ordre suivante :

est l'opérateur laplacien et est une distribution généralement donnée.

Sur un domaine borné de et de frontière régulière, le problème de trouver à partir de et satisfaisant certaines conditions aux limites appropriées est un problème bien posé : la solution existe et est unique.

Ce problème est important en pratique :

Sommaire

Conditions aux limitesModifier

L'équation de Poisson étant insensible à l’ajout sur   d’une fonction satisfaisant l’équation de Laplace (ou une simple fonction linéaire par exemple), une condition aux limites est nécessaire pour espérer l'unicité de la solution : par exemple les conditions de Dirichlet, celles de Neumann, ou des conditions mixtes sur des portions de frontière.

Équation de Poisson à deux dimensionsModifier

En coordonnées cartésiennes dans  , considérons un ouvert  , une fonction   continue sur   et une fonction   continue sur la frontière  . Le problème consiste à trouver une fonction de deux variables réelles   définie sur   qui vérifie les deux relations :

  sur   et   sur  

Cette formulation est un modèle mathématique du problème statique d’une membrane élastique tendue et chargée (une peau de tambour) :

  •   est la densité de charge (exprimée par exemple en Pa, ceci à un multiple près caractérisant les propriétés d’élasticité de la membrane) ;
  •   est la cote (élévation verticale) le long de la frontière de fixation de la membrane ;
  • la solution   indique la cote de la membrane dans  .

Formulation faible et solutionModifier

Soit   un domaine ouvert et borné de   dont la frontière   est suffisamment régulière pour satisfaire le théorème de la divergence. Soit   le vecteur normal à   et dirigé vers l’extérieur.

Soient   une fonction de  , puis   et   des fonctions continues définies sur  .

On cherche une solution   pour chacun des problèmes suivants :

  sur  
satisfaisant l’une des conditions sur   :
  1.  
  2.   et   (pour fixer la constante additive d’indétermination)
  3.  

Pour toute fonction   régulière, la relation

 

et le théorème de la divergence impliquent

 

Si   est solution du problème précédent muni de la condition aux limites retenue, alors

  1.  
  2.  
  3.  

En notant   le membre de gauche et   celui de droite, la formulation faible consiste à :

  • définir un espace vectoriel   approprié dans lequel   et   sont définies,
  • rechercher   tel que   pour tout  .

Si elle existe, la solution naturelle de ces formulations se trouve dans l’espace de Sobolev   muni de sa norme  

En effet, pour chaque problème,   est une forme bilinéaire symétrique définie sur  , et   est une forme linéaire sur  .

Proposition — Soit   un domaine ouvert et borné de   et de frontière   régulière (ou régulière par morceaux),   dans  , puis   et   des fonctions continues définies sur  .

Alors les trois problèmes précédents possèdent une unique solution   dans   qui est caractérisée par la formulation faible correspondante mise en œuvre dans les espaces suivants :

  1.   qui est l’adhérence dans   des fonctions indéfiniment dérivables et à support compact dans  
  2.  
  3.  

RésolutionModifier

Il y a diverses méthodes pour la résolution numérique. La méthode de relaxation, un algorithme itératif, est un exemple. Les méthodes basées sur les transformées de Fourier sont presque toujours utilisées en gravitation universelle.

Considérations historiques et essais de résolutionModifier

L'équation de Poisson est une correction célèbre de l’équation différentielle de Laplace au second degré pour le potentiel :

 

On appelle aussi cette équation : l'équation de la théorie du potentiel publiée en 1813. Si une fonction d’un point donné ρ = 0, nous obtenons l’équation de Laplace :

 

En 1812, Poisson découvrit que cette équation n’est valide que hors d’un solide. Une preuve rigoureuse pour les masses avec une densité variable fut d’abord donnée par Carl Friedrich Gauss en 1839. Les deux équations ont leurs équivalents en analyse vectorielle. L’étude des champs scalaires φ d’une divergence[Quoi ?] donne :

 

Par exemple, une équation de Poisson pour un potentiel électrique en surface Ψ, qui montre sa dépendance de la densité d’une charge électrique ρe dans une place particulière :

 

La distribution d’une charge dans un fluide est inconnue et nous devons utiliser l’équation de Poisson-Boltzmann :

 

ce qui, dans la plupart des cas, ne peut être résolu analytiquement, mais seulement pour des situations particulières. Dans les coordonnées polaires, l’équation de Poisson-Boltzmann est :

 

laquelle ne peut pas non plus être résolue analytiquement. Même si le champ φ n’est pas scalaire, l’équation de Poisson est valide, comme elle peut l’être par exemple dans un espace de Minkowski à quatre dimensions :

 

Si ρ(x, y, z) est une fonction continue et si pour r→∞ (ou si un point 'se déplace' à l’infini) une fonction φ va à 0 suffisamment rapidement, une solution à l’équation de Poisson est le potentiel newtonien d’une fonction ρ(x, y, z) :

 

r est une distance entre l’élément avec le volume dv et le point M. L’intégration parcourt la totalité de l’espace. L’intégrale de Poisson en résolvant la fonction de Green pour le Problème de Dirichlet de l’équation de Laplace, si le cercle est le domaine étudié :

 

où :

 

φ(χ) est une fonction prescrite sur une ligne circulaire, qui définit les conditions aux limites de la fonction requise φ de l’équation de Laplace. De la même manière nous définissons la fonction de Green pour le problème de Dirichlet pour l’équation de Laplace  2 φ = 0 dans l’espace, pour un domaine constitué d’une sphère de rayon R. Cette fois la fonction de Green est:

 

où :   est une distance d’un point (ξ, η, ζ) depuis le centre d’une sphère, r une distance entre des points (x, y, z), (ξ, η, ζ), r1 est une distance entre le point (x, y, z) et le point (Rξ/ρ, Rη/ρ, Rζ/ρ), symétrique au point (ξ, η, ζ). L’intégrale de Poisson est maintenant de la forme:

 

Articles connexesModifier

RéférencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Siméon Denis Poisson » (voir la liste des auteurs).
  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. (ISBN 0-8218-0772-2)
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. (ISBN 1-58488-299-9)

Liens externesModifier