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Vecteur de Poynting

Vecteur de densité surfacique de la puissance transportée par le champ électrique et le champ magnétique
Vecteur de Poynting
Description de cette image, également commentée ci-après
Produit vectoriel du champ électrique V par le champ magnétique B.
Unités SI watt par mètre carré (W m−2)
Dimension M·T-3
Nature Grandeur vectorielle intensive
Symbole usuel , , ou
Lien à d'autres grandeurs

=

En physique, le vecteur de Poynting est la densité de flux lié à la propagation de l'onde électromagnétique. Sa direction est la direction de propagation. On le note , , ou .

Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface (fermée ou non) est égal à la puissance véhiculée par l'onde à travers cette surface. Le module de ce vecteur est donc une puissance par unité de surface, c'est-à-dire une densité de flux d'énergie, et s'exprime en watts par mètre carré[1].

Expression générale du vecteur de PoyntingModifier

Soient   et   le champ électrique et le champ magnétique. La conservation de l'énergie électromagnétique à travers une surface s'exprime, dans sa forme locale (souvent appelée théorème de Poynting), comme une équation de conservation :

 

avec   le temps,   la densité volumique d'énergie du champ électromagnétique,   le flux d'énergie surfacique sortant, et   le terme source : la densité volumique d'énergie gagnée   ou perdue.

À partir des équations de Maxwell dans le vide, on tire l'expression du vecteur de Poynting dans le vide :

 

μ0 est la perméabilité du vide.

Dans un matériau linéaire, de perméabilité magnétique μ et dans lequel on peut négliger la dispersion et les pertes, il convient de prendre en compte l'excitation magnétique   définie par la relation  . On obtient alors une expression plus générale du vecteur de Poynting[2] :

 .

Dans un milieu linéaire dispersif avec pertes, on conserve l'expression du vecteur de Poynting  , mais le théorème de Poynting ne s'exprime plus avec   et comporte des termes supplémentaires de dissipation[3].

Moyenne temporelle en notation complexeModifier

 
Un circuit de courant continu constitué d'une batterie (V) et d'une résistance (R) indiquant la direction du vecteur de Poynting (S, bleu) dans l'espace qui l'entoure, ainsi que les champs desquels il est dérivé : le champ électrique (E, rouge) et le champ magnétique (H, vert). Dans la région autour de la batterie le vecteur Poynting est dirigé vers l'extérieur, ce qui indique la puissance sortant de la batterie dans les champs; dans la région autour de la résistance le vecteur est dirigé vers l'intérieur, ce qui indique la puissance de champ circulant dans la résistance. À travers n'importe quel plan P, entre la batterie et la résistance, le flux de Poynting est dans le sens de la résistance.

Dans le cas d'une onde électromagnétique plane progressive harmonique, on a

 

et

 

On peut donc associer des grandeurs complexes aux champs   et   en posant (avec   le nombre complexe tel que  ) :

 

et

 .

La moyenne temporelle du vecteur de Poynting vaut alors :

 

  désigne le conjugué de  


Lien avec l'approche énergétique de la propagation d'un faisceauModifier

La moyenne temporelle du flux de Poynting est reliée à la luminance   d'un faisceau se propageant dans la direction  . Cette luminance est donnée par :

 

  est la fonction de Dirac.

On vérifie que le premier moment de   qui représente la densité de flux   retrouve le flux de Poynting :

 

Puissance électromagnétique traversant une surfaceModifier

Une conséquence du théorème de Poynting est que la puissance électromagnétique traversant une surface S est donnée par le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface.

 

Équation de l'énergie d'un champ électromagnétiqueModifier

Article détaillé : Théorème de Poynting.

Soit   l'énergie du champ électromagnétique :

  avec W densité volumique d'énergie (quantité d'énergie par unité de volume)

On définit la quantité d'énergie quittant un volume   pendant un temps   :

 

Soit  , vecteur flux d'énergie du champ. D'après le théorème de Green-Ostrogradsky (Théorème de flux-divergence), on peut dire que le flux sortant du volume V est :

  avec   un vecteur unitaire normal à la surface   du volume V, orienté de l'intérieur vers l'extérieur.

On peut expliciter la perte d'énergie du volume de la manière suivante :

  • pertes dues aux « frottements » des charges mobiles (voir loi Ohm locale, effet Joule) ;
  • pertes dues au rayonnement électromagnétique sortant du volume.

On peut donc dire que :

 + travail fourni par le champ à la matière

Calculons ce travail :

 .

Pour une particule :

  (on observe facilement que la force magnétique ne travaille pas).

Passons à la puissance fournie par le champ. La puissance reçue par une particule est :

 

La densité particulaire est notée  , en conséquence :

  or  

donc  

Cette perte de puissance est égale à la perte d'énergie du champ par unité de temps et de volume donc on écrit finalement :

 

Donc finalement on a :

  équation de l'énergie du champ électromagnétique

Notes et référencesModifier

  1. Michel Dubesset, Le Manuel du Système international d'unités : lexique et conversions, Éd. Technip, 2000 [lire en ligne].
  2. (en) John David Jackson, Classical electrodynamics 3rd edition, John Wiley & Sons, , page 259
  3. Classical electrodynamics 3rd edition, J.D. Jackson, page 264

Article connexeModifier