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Théorème de Poynting

théorème de conservation de l'énergie dans un champ électromagnétique

Le théorème de Poynting, énoncé par John Henry Poynting, concerne la conservation de l'énergie dans un champ électromagnétique. Il établit une relation entre énergie électromagnétique, effet Joule et le flux du vecteur de Poynting.

En termes informels, on peut dire que le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée est égal à la somme de la variation d'énergie électromagnétique et de l'effet Joule dans le volume intérieur à la surface.

Variation de l'énergie électromagnétiqueModifier

Article détaillé : Énergie électromagnétique.

Le théorème énonce que pour tout volume :

 

soit, sous forme locale, pour un volume  

 

soit dans le cas général

 

avec:

  •  , vecteur de Poynting
  •  , champ électrique
  •  , induction électrique (ou déplacement électrique)
  •  , champ magnétique
  •  , excitation magnétique
  •  , densité de courant
  •  , permittivité du vide
  •  , perméabilité du vide

Démonstration à partir des équations de MaxwellModifier

On part de la forme différentielle, dans le cas où les relations   et   sont vérifiées. Alors

 

en utilisant la formule d'analyse vectorielle  . Sachant que par ailleurs on a :   (équation de Maxwell-Ampère), et   (équation de Maxwell-Faraday), cette quantité peut se réécrire sous la forme :

 

Soit après simplification :

 

Ou encore, en notant   la densité volumique d'énergie électromagnétique :

 

Voir aussiModifier