Variété lisse

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En topologie différentielle, une variété lisse est un ensemble muni d'une structure qui lui permet d'être localement difféomorphe à un espace localement convexe. Les variétés localement de dimension finie (localement difféomorphes à un espace ) en sont un cas particulier. Les variétés localement de dimension infinie se rencontrent en analyse globale (au sens de l'analyse fonctionnelle non linéaire). Les types de variétés lisses les plus importants sont (outre celles qui sont localement de dimension finie) les variétés hilbertiennes, les variétés banachiques (ou variétés de Banach), les variétés de Fréchet et les variétés modelées sur un espace limite inductive stricte d'espaces de Fréchet (localement difféomorphes à un espace de Hilbert, à un espace de Banach, à un espace de Fréchet et un espace limite inductive stricte d'espaces de Fréchet, respectivement). Parmi les variétés de Fréchet, on distingue les diffiétés (en), de dimension au plus dénombrable. Dans tout ce qui suit, les espaces localement convexes sont séparés et définis sur le corps des réels.

Variétés lisses généralesModifier

CartesModifier

Soit X un ensemble. On appelle carte de X un triplet  U est une partie de X, E est un espace localement convexe, et   est une bijection de U sur un ouvert de E. L'ensemble U est appelé le domaine de c et la dimension de E (finie ou infinie) est appelée la dimension de la carte c. Si a est un point de X tel que  , on dit que la carte c est centrée sur a. Les parties de X qui sont réunions de domaines de cartes de X forment l'ensemble des ouverts pour une topologie de X. On suppose que X est toujours muni de cette topologie, et   est alors un homéomorphisme de U sur  .

Applications lissesModifier

Soit E, F deux espaces localement convexes et   une application d'un voisinage de 0 de E dans F. On dit que   est tangente à 0 si pour tout voisinage W de 0 dans F, il existe un voisinage V de 0 dans E tel que  o est une fonction réelle de la variable réelle définie au voisinage de 0 telle que   pour  .

Soit U un ouvert de E et  . On dit que f est différentiable au point   s'il existe une application linéaire continue   (où   désigne l'espace des applications linéaires continues de E dans F) telle que l'application

 

est tangente à 0. Cette application L est alors appelée la différentielle (ou dérivée) de f au point   et est notée  . Dans le cas où E et F sont des espaces de Banach, on peut écrire la condition ci-dessus au moyen de normes, et on obtient la différentielle de Fréchet classique.

Si l'application   est définie et continue de U dans l'espace localement convexe   (c'est-à-dire   muni de la topologie de la convergence uniforme sur toute partie bornée), alors f est dite de classe  . On définit par récurrence une application de classe   (où n est un entier strictement positif) et une application de classe  .

On dira dans ce qui suit qu'une application de classe   est lisse. Une application continue est dite de classe  .

Variétés lissesModifier

On dit que deux cartes   et   de X sont compatibles lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

  •   (resp.  ) est ouvert dans E (resp.  ).
  • l'application   (resp.  ) de   sur   (resp. de   sur  ) est lisse.

Un atlas   de X est un ensemble de cartes deux à deux compatibles. Deux atlas   et   de X dont dits équivalents si   est un atlas. Cette condition définit une relation d'équivalence sur les atlas.

Soit   un ensemble d'espaces localement convexes. On dit qu'un atlas   de X est de type   si l'on a   pour toute carte   de  . On dira qu'un atlas est de type Fréchet (resp. de type banachique, resp. de type hilbertien, resp. de type hilbertien séparable, resp. de type dimension finie, etc.) si tout E est un espace de Fréchet (resp. de Banach, resp. de Hilbert, resp. de Hilbert séparable, resp. de dimension finie, etc.) pour toute carte   de  .

Une variété lisse est un ensemble X muni d'une classe d'équivalence d'atlas. Si ces atlas sont de type  , où les éléments de   sont des espaces de Fréchet (resp. de Banach, resp. de Hilbert, resp. de Hilbert séparable, resp. de dimension finie, etc.), on dit que cette variété lisse est une variété de Fréchet (resp. une variété banachique, resp. une variété hilbertienne, resp. une variété de type hilbertien séparable, resp. une variété de dimension localement finie, etc.) ou qu'elle est modelée sur des espaces de Fréchet (resp. de Banach, resp. de Hilbert, resp. de Hilbert séparable, resp. de dimension finie).

Une variété lisse X est localement connexe. Si X admet un atlas de type   dont tous les éléments sont des espaces de Baire, alors X est un espace de Baire.

Variétés normales-lissesModifier

Les cas utiles sont ceux où l'espace topologique X est séparé, et même normal, autrement dit pour tous fermés A et B sans point commun, il existe une fonction continue   valant 1 sur A et 0 sur B. La variété X est dite normale-lisse si cette propriété est vérifiée avec une fonction f lisse.

Paracompacité lisseModifier

Le contexte des variétés normales-lisses est encore trop général pour être fructueux en pratique. Des notions essentielles sont la paracompacité, voire la métrisabilité. Rappelons qu'un espace métrisable est normal. Le résultat qui suit explique entre autres l'importance des variétés de Fréchet[1] :

Théorème — Une variété lisse est métrisable si, et seulement si elle est une variété de Fréchet paracompacte.

Si un espace topologique X est paracompact, alors[2], étant donné un recouvrement ouvert   de X, il existe une famille de fonctions continues  ,  , telle que

  •  
  • le support de   est contenu dans  ,
  • pour tout  ,
 .

Dans le contexte des variétés, une telle propriété n'est utile que si les fonctions   sont lisses, et dans ce cas X est dit paracompact-lisse. On a le résultat suivant[3],[4] :

Théorème — Une variété lisse admettant un atlas de type  , où E est un espace de Banach, est paracompacte-lisse si, et seulement si E est normal-lisse.

  • Un espace hilbertien séparable est normal-lisse.
  • Un espace localement convexe est paracompact-lisse si, et seulement s'il est paracompact et normal-lisse.
  • Un espace localement convexe qui est un espace de Lindelöf séparé normal-lisse est paracompact-lisse.
  • Un espace de Fréchet nucléaire ou un espace limite inductive stricte d'espaces de Fréchet nucléaires est paracompact-lisse.
  • Un espace (DFS) (ou un espace de Silva) nucléaire est paracompact-lisse.
  • Une variété lisse métrisable et normale-lisse est paracompacte-lisse.

Par exemple, l'espace   des fonctions lisses à support compact, ou l'espace de Schwartz  , ces espaces étant munis de leur topologie habituelle, sont paracompacts-lisses.

Espace tangent et fibré tangentModifier

Soit X une variété lisse et a un point de X. Considérons les couples    est une carte de X centrée sur a et où  . Deux tels couples sont dits équivalents si la dérivée   de l'application   (définie sur un voisinage de a) transforme h en h'. Une classe d'équivalence pour cette relation est appelée un vecteur tangent en a. Les vecteurs tangents en a à X forment un ensemble  . Si   est une carte de X en a, l'application

 

  est le vecteur tangent représenté par le couple  , est une bijection, par laquelle on transporte la structure d'espace localement convexe de E sur  . Dès lors,   et E sont isomorphes.

L'ensemble des couples  , où   et  , est appelé le fibré tangent de la variété lisse X. On peut munir canoniquement cet ensemble, noté  , d'une structure de variété lisse. On appelle projection canonique l'application

 

et cette application est lisse.

Application linéaire tangenteModifier

Soit X, Y deux variétés lisses,   une application et a un point de X. Soit   une carte de X centrée sur a et   une carte centrée sur  . L'application f est dite dérivable au point a si l'application   est dérivable. L'application

 

ne dépend pas des cartes choisies et est appelée l'application linéaire tangente (ou la dérivée, ou la différentielle) de f au point a.

De même, on dit que l'application   est lisse si elle est continue et pour toute carte   de X, pour toute carte   de Y telle que  , l'application   est lisse.

Soit   une application lisse. On appelle rang de f au point x, et on note  , le rang (fini ou infini) de l'application linéaire tangente  .

Catégorie des variétés lisses - Sous-variétésModifier

La catégorie des variétés lisses a pour objets les variétés lisses et pour morphismes les applications lisses. Un isomorphisme de variétés est une bijection lisse dont la bijection réciproque est lisse.

Soit X une variété lisse et Y un sous-ensemble de X. Supposons qu’en tout point   il existe une carte   de X centrée sur y telle que    est un ouvert de l'espace localement convexe   et  . Alors :

  • Y est localement fermé dans X, i.e. tout   a un voisinage ouvert V dans X tel que   est fermé dans V . De plus,   induit une bijection continue  .
  • La collection de triplets   obtenue ainsi constitue un atlas de Y.

L’ensemble Y , muni de l’atlas ci-dessus, est appelé une sous-variété de X.

Par exemple, un ouvert de X est de manière évidente une sous-variété de X.

Soit E un espace localement convexe et F est un sous-espace de E. On dit que F est scindé dans E s'il admet un supplémentaire topologique. Pour que qu'un sous-espace F de E soit scindé, il est nécessaire que F soit fermé dans E. Si E est un espace de Banach et F est un sous-espace de dimension finie ou de codimension finie, F est scindé. Si E est un espace de Hilbert et F est un sous-espace fermé de E, il est scindé.

Théorème — Soit X une variété lisse, Y un sous-ensemble de X et f une application de Y dans X. Alors Y est une sous-variété de X si, et seulement si :

Pour tout  , il existe un voisinage ouvert U de y dans Y et une carte   de la variété X en   tels que   et   induise un homéomorphisme de U sur l'intersection de   avec un sous-espace scindé de E.

Un isomorphisme   d'une variété lisse X sur une sous-variété Y d'une variété lisse Z est appelé un plongement de X dans Z.

Produit de variétés lissesModifier

Soit X et Y deux ensembles,   une carte de X,   une carte de Y. Alors   est une carte de  , notée  .

Étant donné deux variétés lisses X et Y, il existe sur l'ensemble   une structure de variété lisse et une seule telle que   soit une carte de   pour toute carte c de X et toute carte c' de Y. L'ensemble  , munie de cette structure, est appelé la variété lisse produit de X et de Y.

Soit  . L'espace tangent   s'identifie au produit  .

Dérivées partiellesModifier

Soit X, Y, Z trois variétés lisses,   et   une application lisse. Alors les applications partielles   et   sont lisses. Notons   (resp.  ) l'application linéaire tangente à la première de ces applications partielles au point a (resp. à la seconde de ces applications partielles au point b). On a avec l'identification précédente

 

pour tout   et tout  . On appelle   (resp.  ) la dérivée partielle de f par rapport à la première (resp. la seconde) variable au point  .

Variétés banachiquesModifier

Théorème des fonctions implicitesModifier

On se place dans la situation du paragraphe précédent dont on conserve les notations en supposant que Y et Z sont des variétés banachiques. On a le résultat suivant[5] :

Théorème — Supposons que   soit bijectif. Il existe alors un voisinage ouvert U de a dans X et un voisinage ouvert V de b dans Y pour lesquels la condition suivante est vérifiée :

pour tout  , il existe un point   et un seul tel que  , et l'application g est lisse de U dans V. Pour tout   on a  

Cet énoncé est faux en général si les variétés Y et Z ne sont pas supposées banachiques.

Dans ce qui suit, toutes les variétés sont lisses et banachiques ; les résultats sont des conséquences du théorème des fonctions implicites[6],[7].

ImmersionsModifier

Théorème et définition —  Soit X, Y deux variétés,   une application lisse,   et  .

  1. Les conditions suivantes sont équivalentes :
    (a) Il existe un voisinage ouvert U de a tel que la restriction   induit un isomorphisme de U sur une sous-variété de Y.
    (b) L'application linéaire continue   est injective et son image est scindée.
  2. Une application f vérifiant l'une de ces conditions est appelée une immersion en a.
  3. L'ensemble des points de Xf est une immersion est ouvert dans X. Lorsque cet ouvert est X tout entier, on dit que f est une immersion, et   est appelée une sous-variété immergée de Y.

SubmersionsModifier

Théorème et définition —  Soit X, Y deux variétés,   une application lisse,   et  .

  1. Les conditions suivantes sont équivalentes :
    (a) Il existe un voisinage ouvert U de a, un voisinage ouvert V de b contenant   et une application lisse g de U sur une variété Z tels que l'application   soit un isomorphisme.
    (b) L'application linéaire continue   est surjective et son noyau est scindé.
  2. Une application f vérifiant l'une de ces conditions est appelée une submersion en a.
  3. L'ensemble des points de Xf est une submersion est ouvert dans X. Lorsque cet ouvert est X tout entier, on dit que f est une submersion.

Subimmersion - Théorème du rang constantModifier

Théorème et définition —  Soit X, Y deux variétés,   une application lisse,   et  .

  1. Les conditions suivantes sont équivalentes :
    (a) Il existe un voisinage ouvert U de a, une variété Z, une submersion s de U sur Z et une immersion i de Z dans Y tels que  .
    (b) Il existe une carte   de X centrée sur a, une carte   de Y centrée sur b et une application   telles que et le noyau et l'image de   sont scindés.
  2. Une application f vérifiant l'une de ces conditions est appelée une subimmersion en a.
  3. L'ensemble des points de Xf est une subimmersion est ouvert dans X. Lorsque cet ouvert est X tout entier, on dit que f est une subimmersion.
  4. Si f est une subimmersion en a, alors   est constant dans un voisinage de a.
  5. Si f est une subimmersion, alors pour tout  ,   est une sous-variété Z de X et  .

ÉtalementModifier

Théorème et définition —  Soit X, Y deux variétés,   une application lisse,   et  .

  1. Les conditions suivantes sont équivalentes :
    (a)   est bijectif.
    (b) Il existe un voisinage ouvert U de a et un voisinage ouvert V de b tels que f induise un isomorphisme de U sur V.
    (c) f est une immersion et une submersion en a.
  2. Une application f vérifiant l'une de ces conditions est dite étale en a.
  3. Si f est étale en tout point, elle est appelée un étalement, et la variété X est dite étalée dans Y.

Une sous-variété de X est étalée dans X, mais la réciproque est inexacte.

Variétés d'applicationsModifier

Variétés banachiques d'applicationsModifier

Soit X une variété lisse compacte, Y une variété lisse banachique et   (où r est un entier positif ou nul) l'ensemble des applications de classe   de X dans Y. On munit cet ensemble de la topologie de la convergence uniforme d'une fonction et de ses dérivées jusqu'à l'ordre r. Alors   est une variété lisse banachique, qui est séparée si Y est séparée, et on a les résultats suivants[8],[9] :

Soit   et  . Cette application est lisse. Soit  . L'image par   de   est un élément   de   et l'application   est un relèvement lisse de f dans  , autrement dit    est la projection canonique. On a (avec une identification canonique)

 

La norme du vecteur tangent u ci-dessus est donnée par

 

  est la norme de la dérivée   dans l'espace de Banach  .

Si X et Y sont des variétés lisses compactes et Z est une variété lisse, alors la composition   induit une application de classe  

 

Variétés de Fréchet d'applicationsModifier

Soit F un espace vectoriel de dimension finie et X une variété lisse compacte. Alors l'espace   des fonctions lisses de X dans F est canoniquement muni d'une structure d'espace de Fréchet nucléaire dont la topologie est celle de la convergence uniforme d'une fonction et de ses dérivées jusqu'à un ordre quelconque fini. Si X est une variété lisse localement compacte dénombrable à l'infini, l'espace   des fonctions lisses de X dans F à support compact est limite inductive stricte de la suite d'espaces    est une suite de compacts de X de réunion égale à X et   est l'espace de Fréchet nucléaire des fonctions lisses de X dans F dont le support est inclus dans K. Dans ce qui suit, on suppose que X est compacte, pour éviter de passer à la limite inductive et pour ainsi simplifier les énoncés et les différentes conditions.

Soit X et Y des variétés lisses de dimension localement finie et supposons X compacte. Soit   l'ensemble des applications de classe   de X dans Y. On munit cet ensemble de la topologie de la convergence uniforme d'une fonction et de ses dérivées jusqu'à un ordre quelconque fini. Alors   est une variété de Fréchet et on a comme plus haut[10]

 

Si de plus X et Y sont séparables,   est paracompacte-lisse et métrisable.

Si X et Y sont des variétés lisses compactes et Z est une variété de dimension localement finie, alors la composition induit une application lisse

 

De plus on a en identifiant toute fonction   avec la fonction   :

 

NotesModifier

  1. Kriegl et Michor 1997, Lemma 27.8.
  2. N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Topologie générale, chapitres 5 à 10, Hermann, , p. IX.49.
  3. Lang 1998, Chap. II, Thm. 3.7, Cor. 3.8.
  4. Kriegl et Michor 1997, Thm. 16.2, 16.10, Cor. 27.4.
  5. Lang 1998, § I.5.
  6. Bourbaki 1983, § 5.
  7. Lang 1998, § II.2.
  8. Bourbaki 1983, § 15.3.
  9. Eells 1966, § 6.
  10. Kriegl et Michor 1997, chap. 42.

RéférencesModifier

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier