Utilisateur:Zejames/Variété (géométrie)

Une variété est un espace mathématique construit par association et déformation d'autres espaces simples. Par exemple, un cercle peut être construit en courbant deux segments pour en faire des arcs qui se recouvrent à leurs extrémités et en les collant ces extrêmités entre elles. L'objectif du travail autour des variétés est de commencer avec un espace relativement simple qui est bien connu, et de contruire une variété, qui peut être extrêmement compliquée, à partir de copies de ce simple espace. En choisissant différents espaces comme matériaux de base, plusieurs types de variété peuvent être construits, comme des variétés topologiques ou des variétés différentielles.

Les applications des variétés à la physique incluent les variétés différentielles qui servent en mécanique classique et les variétés riemanniennes à quatre dimensions utilisées dans le cadre la modélisation de l'Espace temps en Relativité générale.

Introduction

Une variété est un espace qui ressemble, localement, à un espace euclidien d'un nombre de dimensions fixé. Leur nombre peut par exemple prendre les valeurs familières de 1 (une ligne), deux (un plan) ou 3 pour l'espace à trois-dimensions dans lequel nous vivons. Mais il peut prendre des valeurs plus grandes ou même infinies. Certains auteurs considèrent que les variétés peuvent comprendre des parties séparées de dimensions différentes, mais tous les auteurs exigent que toutes les parties d'une variété connectée aient la même dimension. Une variété dont toutes les parties ont n dimensions est appelée une n-variété. A l'opposé, associer une corde à une dimension à une balle à trois dimensions donnent naissance à un objet appelé un complexe CW, pas une variété.

Un cercle est un exemple de 1-variété.

Une 2-variété est aussi appelée une surface. Une sphère est un exemple simple de surface. Quel que soit le point sur une sphère, il existe une région autour de ce point qui est similaire à un disque. Un espace plat est aussi une surface, disposant de la même structure de disque localement. Mais globalement, une sphère et un plan sont très différents. Il est possible de faire le tour d'une sphère tandis qu'on peut aller tout droit indéfiniment sur un plan suffisamment grand.

Avec des dimensions plus importantes, les variétés peuvent être plus difficiles à visualiser, mais ces objets sont importants en physique où, par exemple, l'ensemble des rotations dans un espace à 3 dimensions forme une 3-variété.

Il existe un grand nombre de classes de variétés. Les plus simples sont les variétés topologiques, qui ressemblent localement à des espaces euclidiens. D'autres classes de variétés ont des structures additionnelles. L'une des plus importants rassembles les variétés différentielles, qui ont une structure qui permet l'application de l'analyse.

On se déplace sur la sphère terrestre en utilisant des cartes planes, collectées dans un atlas. De manière similaire, il est possible de décrire une variété différentielle en utilisant une carte mathématique, appelées graphes de coordonnées, collectées dans un atlas mathématique. Il n'est généralement pas possible de décrire une variété à l'aide d'un seul graphe, parce que la structure globale de la variété est différente de la structures simple des graphes. Par exemple, aucune carte "plate" ne peut décrire proprement la Terre entière. Quand une variété est construite à partir des plusieurs graphes simples se chevauchant, les régions où elles se chevauchent portent des informations essentielles pour la compréhension de la structure globale.

Il s'agit ici de décrire localement les déformations, puis d'assembler l'ensemble de ces informations de déformations pour former une décription globale de la variété.

L'idée de la variété riemannienne, une variété différentielles sur laquelle des distances peuvent être définies, mena aux mathématiques de la relativité générale, décrivant un continuum espace-temps disposant d'une courbure.

Exemple introductif : le cercle

Figure 1: Chacun des quatre graphes recouvre une partie du cercle et forment ensemble le cercle entier.

Le cercle est l'exemple le plus simple d'une variété topologique après l'espace euclidien lui-même. Considérons par exemple le cercle de diamètre 1 et de centre à l'origine. Si x et y sont les coordonnées d'un point de ce cercle, alors on a l'équation x² + y² = 1.

Localement, le cercle ressemble à une ligne, qui est à une dimension. En d'autres termes, on n'a besoin que d'une seule coordonnée pour décrire le cercle localement. Considérons par exemple la partie supérieure du cercle, pour laquelle la coordonnée y est positive (partie jaune sur la Figure 1). N'importe quel point de cette partie peut être décrit par la coordonnée x. Il y a donc une bijection continue χ_top, qui relie la partie jaune du cercle à l'intervalle ouvert (−1, 1) en projetant simplement sur la première coordonnée :

$\chi _{\mathrm {haut} }(x,y)=x.\,$

Une telle fonction est appelée un graphe. De manière similaire, il existe des graphes pour la partie inférieure (rouge), à gauche (bleue) et à droite (verte) du cercle. Ils recouvrent ensemble la totalité du cercle et on dit que les quatres graphes forment un atlas de ce cercle.

On note que les graphes supérieur et latéral droit se recouvrent. Leur intersection est située dans la quartier du cercle où les coordonnées x et y sont positifs. Les deux graphes χ_haut et χ_droit associent cette partie de manière bijective à l'intervalle [0;1]. Ainsi, il est possible de créer une fonction T de l'intervalle [0;1] vers lui-même :

$T(a)=\chi _{\mathrm {droit} }\left(\chi _{\mathrm {haut} }^{-1}(a)\right)=\chi _{\mathrm {droit} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)={\sqrt {1-a^{2}}}.$

Une telle fonction est appelée une carte de transition.

Figure 2: Un graphe d'une variété cercle basé sur une pente, couvrant tous les points du cercle sauf un.

Les graphes supérieur, inférieur, de gauche et de droite montrent que le cercle est une variété, mais ne constituent pas le seul atlas. Les graphes n'ont pas besoin d'être des projects géométrique, et le nombre de graphes est une histoire de choix. Considérons les graphes

$\chi _{\mathrm {moins} }(x,y)=s={y \over {1+x}}$

et

$\chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={y \over {1-x}}.$

Ici s est la pente de la ligne à travers le point de coordonnées (x,y et le pivot fixé de coordonnées (-1, 0) ; t est l'image miroir, dont le point pivot est (+1, 0). L'association inverse de s vers (x,y) est donnée par

$x={{1-s^{2}} \over {1+s^{2}}},\qquad y={{2s} \over {1+s^{2}}};$

On peut facilement confirmer que x²+y² = 1 quelles que soient les valeurs de s. Ces deux graphes fournissent un second atlas du cercle, avec

$t={1 \over s}.$

Noter que chaque graphe omet un point unique, soit (−1,0) pour s ou (+1,0) pour t, donc aucun des graphes seuls ne peut décrire complètement le cercle. A l'aide d'outils topologiques on peut montrer qu'un graphe seul ne peut jamais couvrir l'ensemble du cercle. On voit donc à travers ce simple exemple la flexibilité des variétés disposant de plusieurs graphs.

Figure 3: Quatre variétés des courbes algébriques : ■ cercles, ■ paraboles, ■ hyperboles, ■ cubique.

Les variétés n'ont pas besoins d'être connectées dans l'espace (en une pièce) ; ainsi une paire de deux cercles séparés est aussi une variété topologique. Elles n'ont pas besoin d'être fermées ; ainsi un segment sans ses extremités est une variété. Et elles n'ont pas besoin d'être finies ; ainsi une parabole est une variété topologique. En assemblant l'ensemble de ces informations, deux autres exemples de variétés topologiques sont l'hyperbole et le lieu des points sur la courbe cubique y² - x³ + x = 0.

Cependant on exclue les cas où par exemple les cercles se touchent en forme de '8' ; on ne peut pas créer un graphe satisfaisant pour le point commun, dans lequel on relie la variété à l'espace euclidien à une dimension (le segment [0;1] dans l'exemple du cercle).

Du point de vue de l'analyse, la fonction de transition du cercle T est simplement une fonction entre des intervalles ouverts, donc on sait ce qu'on entend lorsqu'on dit que T est dérivable. En fait, T est différentiable sur (0, 1) et il en est de même pour les autres graphes de transition. Par conséquent, cet atlas fait de ce cercle une variété différentielle.

Graphes, atlas et cartes de transition

Graphes

Une carte de coordonnées, un graphe de coordonnées ou simplement un graphe d'une variété est une fonction inversible entre un sous-ensemble d'une variété et un espace simple tels que cette fonction et son inverse préservent la structure désirée. Pour une variété topologique, l'espace simple est un espace euclidien Rⁿ et on s'intéresse à la structure topologique, qui est préservée par des homéomorphismes, fonctions inversibles qui sont continues dans deux directions.

Dans le cas de variétés différentielles, un ensemble de graphes appelé atlas permet d'utiliser les résultats de l'analyse sur les variétés. Les coordonnées polaires, par exemple, forment un graphe pour le plan R² moins la demi-droite pour laquelle l'abscisse est négative et l'origine. Un autre exemple de graphe est la fonction χ_top mentionnée dans l'exemple ci-dessus, destinée à former le cercle.

Atlas

La description de la plupart des variétés nécessitent plus qu'un seul graphe (un seule graphe est suffisant seulement pour les variétés les plus simples). Une collection de tels graphes qui couvrent l'ensemble de la variété est appelée un atlas. Un atlas n'est pas unique et les variétés peuvent toutes être couvertes de multiples façons en utilisant différentes combinaisons de graphes.

L'atlas contenant tous les graphes possibles cohérent avec un atlas donné est appelé l'atlas maximal. Au contraire d'un atlas ordinaire, l'atlas maximal d'un atlas donné est unique. Bien que ceci soit utile dans le cadre de définitions, c'est un objet très abstrait et il n'est pas utilisé directement (c'est-à-dire dans les calculs).

Cartes de transition

Les graphes dans un atlas peuvent se chevaucher et un point d'une variété peut être représentés par plusieurs graphes. Si deux graphes se chevauchent, elles représentent pour partie la même région d'une variété, comme la carte de l'Europe et celle de l'Asie peuvent contenir Moscou. Etant donné deux graphes se chevauchant, une carte de transition peut être définie depuis une boule ouverte dans Rⁿ vers la variété, puis depuis cette variété vers une autre (ou la même) boule ouverte dans Rⁿ. La carte résultante, comme la carte T dans l'exemple du cercle précédent, est appelée un changement de coordonnées, une transformation de coordonnées, une fonction de transition ou une carte de transition.

Structure additionnelle

Un atlas peut aussi être utiliser pour définir une structure additionnelle d'une variété. La structure est d'abord définie sur chaque graphe séparément. Si toutes les cartes de transition sont compatibles avec cette structure, la structure est transférée à la variété.

C'est la manière dont les variétés différentielles sont définies. Si les fonctions de transition d'un atlas pour une variété topologique conservent la structure différentielle naturelle de Rⁿ (c'est à dire : si il existe des difféomorphismes), la strcuture différentielles se transmet à la variété, qu'on qualifie alors de différentielle elle-même.

En général la structure d'un variété dépend de l'atlas, mais parfois différent atlas peuvent donner lieu à la même structure. De tels atlas sont alors appelés compatibles.

Construction

Une variété simple peut être construite de différentes manières, chacune mettant en valeur différent aspect de la variété, menant par conséquent à un point de vue légèrement différent.

Graphes

Le graphe associe la partie de la sphère où la coordonnée z est positive à un disque.

La manière la plus simple peut être de construire une variété est celle utilisée dans l'exemple précédent concernant le cercle. Tout d'abord un sous-ensemble de R² est identifié, et enemble un atlas couvrant l'ensemble de ce sous-ensemble est construit. Le concept de variété est apparu historiquement à partir de construction de ce type. Ci-dessous un autre exemple, appliquant cette méthode à la construction d'une sphère :

Sphère à partir de graphes

La surface d'une sphère peut être traitée presque de la même manière que le cercle. Elle peut être vue comme un sous-ensemble de R³:

$S=\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}|x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}.$

Cette sphère est à deux dimensions, chaque graphe associera une partie de la sphère à un sous-ensemble ouvert de R². Considérons l'hémisphère nord, pour laquelle la coordonnées z est positive (coloriée en rouge sur l'image à droite). La fonction χ définie par

$\chi (x,y,z)=(x,y).$

associe l'hémisphère nord au disque unité ouvert en le projetant sur le plan (x, y). Un graphe similaire existe pour l'hémisphère sud. En y ajoutant deux graphes projetant sur le plan (x, z) et deux graphes projetant sur le plan (y, z), on obtient un atlas de 6 graphes couvrant la sphère entière.

Cette méthode peut aisément être généralisée pour des sphères de dimension supérieure.

Patchwork

Une variété peut être construire en assemblant des pièces de manière cohérente, en les rassemblant grâce à des graphes se recouvrant. Cette construction est possible pour toute variété et est souvent utilisée comme une caractérisation de la variété, tout spécialement pour les variétés différentielles et riemnannienne. Elle s'intéressse à un atlas, du fait que cette méthode fourni naturellement des graphes, et, du fait qu'aucun espace extérieur n'est impliqué, mène à une vue intrinsèque de la variété.

La variété est construite en spécifiant un atlas, qui lui-même est défini par des cartes de transition. Un point de la variété est par conséquence une classe d'équivalence de points qui sont associés par les cartes de transition. Les graphes associent des classes d'équivalence à des points pour un patch. On a généralement des exigences fortes sur la consistence des cartes de transitions. Pour des variétés topologiques, elles doivent être un homéomorphisme.

Ceci peut être illustré par la carte de transition t = ¹⁄_s pour la deuxième partie de l'exemple du cercle. Commencer avec deux copies de la ligne. Utiliser la coordonnée s pour la première copie, et t pour la seconde copie. Maintenant, assembler chacune des deux copies en collant le point t de la deuxième copie sur le point ¹⁄_s de la première (le point t = 0 n'est identifié avec aucun point de la première copie). Ceci donne un cercle.

Vue intrinsèque et extrinsèque

La première construction et celle présentée dans cette partie sont similaires, mais représentent un point de vue plutôt différent. Dans la première, la variété est vue comme incorporé dans un espace euclidien. C'est la vue extrinsèque. Lorsqu'une variété est vue de cette manière, il est aisé d'utiliser l'intuition des espaces euclidiens pour définir des structures additionnelles. Par exemple, dans un espace euclidien il est toujours clair si un vector en un point donné est tangent à une surface passant par ce point.

La construction patchwork n'utilise pas une incorporation, mais voit simplement la variété comme un espace topologique par lui-même. Ce point de vue abstrait est appelé vue intrinsèque. Elle peut rendre plus difficile d'imaginer à quoi un vecteur tangeant peut ressembler.

Construction d'une n-sphere à l'aide de patchwork

La n-sphère Sⁿ est une généralisation de l'idée de cercle (1-sphère) et de sphere (2-sphere) à des dimensions supérieures. Une n-sphere Sⁿ peut être construite en assemblat deux copies de Rⁿ. La carte de transition est alors définie par

$\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\}\to \mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\}:x\mapsto x/\|x\|^{2}.$

Cette fonction est son propre inverse et peut être utilisée dans les deux directions. Comme la carte de transition est une fonction régulière, cet atlas définit une variété régulière.

Dans le cas où n = 1, on revient à l'exemple du cercle donné précédemment.

Identifier des points d'une variété

Il est possible de définir des points différents d'une variété comme étant confondus. Ceci peut être visualisés comme l'action d'assembler ces points en un seul, formant ainsi un espace quotient. Néanmoins il n'y a aucune raison a priori pour qu'un tel espace quotient soit une variété. Par les espaces quotients qui ne sont pas nécessairement des variétés, les orbifolds et les complexes CW sont considérés comme se comportant relativement bien ((en) well-behaved).

Une méthode pour identifier des points (les assembler) est l'utilisation d'une action de groupe sur la variété. Deux points sont identifiés si l'un est déplacé sur l'autre par un élément du groupe. Si M est la variété est G le groupe, l'espace quotient résultant est noté M / G (ou G \ M).

Les variétés qui peuvent être construite en identifiant des points incluent les tores et les espaces projectifs réels (à partir d'un plan et d'une sphère respectivement).

Produit cartésien

Le produit cartésien de variétés est aussi une variété. Toutes les variétés ne peuvent pas être écriture à l'aide d'un produit.

La dimension de la variété produit est la somme des dimensions de ses facteurs. Sa topologie est la topologie produit et un produit cartésien de graphes est un graphe pour la variété produit. Ainsi, un atlas de la variété produit peut être construit à l'aide des atlas de ses facteurs. Si ces atlas définissent une structure différentielle sur les facteurs, l'atlas correspondant définie une structure différentielle sur la variété produit. Ceci est vrai pour toute autre structure définie à l'aide des facteurs. Si l'un des facteurs à un bord, la variété produit en a un aussi. Les produits cartésiens peuvent être utiliser pour construire des tores et des cylindres finis, par exemple, en tant que S¹ × S¹ et S¹ × [0, 1], respectivement.

Un cyclindre fini est une variété avec bord.

Variété avec bord

Une variété avec bord est une variété disposant d'une limite. Par exemple, une variété à coins arrondis est une 2-variétés avec un bord à 1 dimension. La limite d'une n-variété sera une (n-1) variété. Un cercle solide, c'est-à-dire un cercle dont l'intérieur est rempli, est appelé un disque et est une 2-variété avec bord, son bord étant un cercle. Une sphère solide est appelée boule. C'est une 3-variété dont la limite est une 2-variété, la sphère.

Assemblage par les bords

Deux variétés avec bords peuvent être assemblées le long d'un bord. Si ceci est fait correctement, le résultat est aussi une variété. De la même manière, deux bords d'une même variété peuvent être assemblés.

Formellement, l'assemblage est défini par une bijection entre les deux bords. Deux points sont identifiés lorsque le résultat de l'un par la bijection est l'autre, et inversement par la fonction inverse. Pour une variété topologique, cette bijection doit être un homéomorphisme, sinon le résultat ne sera pas une variété topologique. De la même manière pour une variété différentielle elle doit être un difféomorphisme. Pour les autres variétés les autres structures sont préservées.

Un cylindre fini peut être construit comme une variété en commençant à partir d'une bande R × [0, 1] et en assemblant une paire de bords opposé à l'aide d'un difféomorphisme adéquat. Un plan projectif peut être obtenu en assemblant une sphère percée d'un trou avec un anneau de Möbius de long de leur bords respectifs.

Orientabilité

Considérons une variété topologique que des graphes associent à Rⁿ. Etant donnée une base ordonnée pour Rⁿ, un graphe permet à une partie de la variété d'acquérir une orientation. Les graphes se recouvrant ne doivent pas forcément s'accorder sur leur orientation, ce qui donne aux variétés une liberté importante. Pour certaines variétés, comme la sphère, les graphes peuvent être choisis pour les régions se recouvrant s'accordent sur leur orientation. Ce sont des variétés orientables. Pour d'autres, il se peut que cela soit impossible.

Pour expliciter cette notion, on peut citer quelques exemples : (1) l'anneau de Möbius, qui est une variété avec bords, (2) la bouteille de Klein et (3) le plan projectif réel qui apparaît naturellement en géométrie.

anneau de Möbius

Anneau de Möbius

Commencer par un cylindre circulaire infini posé verticalement, une variété sans bord. Le couper horizontalement en deux endroits pour produire deux cylindres et une bande cylindrique entre eux. Ceci est une variété orientable avec bords, une fois que l'opération "chirurgicale" est effectée. Ouvrir la bande cylindrique en coupant verticalement d'un côté, afin qu'on puisse la déplier et former ainsi un rectangle, mais garder une prise sur les extrémités. Opérer une torsion à 180° sur l'une d'entre elle, plaçant la face intérieure vers l'extérieur, puis rejoindre les deux extrêmités. Il en résulte une bande avec une demi torsion permanente : l'anneau de Möbius. Ses bords ne sont plus une pair de cercle, mais (topologiquement) un cercle unique. Et ce qui était auparavant à "l'intérieur" a été fusionné avec "l'extérieur" : on a maintenant une face unique.

Bouteille de Klein

bouteille de Klein immergée dans un espace à trois dimension

La bouteille de Klein peut être construire à partir de deux anneaux de Möbius. Ces derniers dispose chacun a une seule boucle comme bord, tandis que la bouteille de Klein est une variété fermée sans bord. À noter qu'en espace à trois dimensions, la bouteille de Klein se traverse elle-même. Pour construire un tel objet qui n'ait pas cette propriété, un espace de 4 dimensions ou plus est requis.

Plan projectif réel

Commencer avec une sphère centrée à l'origine. Toute droite passant par l'origine perce la sphère en deux points opposés, appelés antipodes. Bien que cela ne soit pas possible physiquement, il est possible de fusionner mathématiquement chaque pair d'antipode en un seul point. La surface fermée ainsi produite est le plan projectif réel, une autre surface non orientable. Il existe plusieurs descriptions et constructions équivalentes, mais on peut résumer l'ensemble par : tous les point d'interception d'une droite avec la sphère sont projetés à un même point sur ce "plan".

Variété topologique

Article détaillé : variété topologique

Le type le plus simple de variété est la variété topologique, qui ressemble localement à un espace euclidien "ordinaire" Rⁿ. Formellement, une variété topologique est un espace topologique localement homéomorphe à un espace euclidien. Ceci signifie que chaque point dispose d'un voisinage pour lequel il existe un homéomorphisme (une fonction continue bijective dont l'inverse est aussi continue) associant ce voisinage à Rⁿ. Ces homéomorphismes sont les graphes de la variété.

Généralement des présupposés complémentaires sont effectués sur les espaces topologiques afin d'exclure les cas particuliers posant problème. Il est souvent requis que l'espace soit un espace de Hausdorff et disposant d'une base dénombrable.

La dimension de la variété en un certain point est la dimension de l'espace euclidien associé par le graphe en ce point. Tous les points d'une variété connexe ont la même dimension. Certains auteurs requierent que tous les graphes d'une variété topologique associent la variété au même espace euclidien. Dans ce cas chaque variété topologique a un invariant topologique, sa dimension. D'autres autorisent l'union de variétés topologiques disjointes avec des dimensions différentes.

Variété différentielle

Article détaillé : variété différentielle

Il est aisé de définir des variétés topologiques, mais il est très difficile de travailler avec elles. Pour la plupart des applications des types particuliers de variétés topologiques sont utilisés : une variété différentielle. Si les graphes locaux d'une variété sont compatibles d'une certaine manière, on peut parler de direction, d'espace tangeant et de fonctions différentielles sur cette variété. En particulier, on peut alors appliquer des règles d'analyse.

Autres types de variétés et généralisation

Pour mettre en oeuvre la géométrie sur des variétés, il est souvent requis d'ajouter des structures additionnelles à ces espaces, tels que ceux vu plus haut pour les variétés différentielles.

Il y a des nombreuses autres possibilités, dépendant du type de géométrie qu'on cherche à introduire :

• Variété riemannienne : une variété riemannienne est une variété munie d'un tenseur métrique. Ceci autorise la mesure de distance sur ces variétés. Un variété pseudo-riemanienne dispose d'une distance qui n'est pas définie positive. Ces variétés sont à la base de la relativité générale.

• Variété symplectique : une variété symplectique est une variété utilisée pour représentée les espaces de phase en mécanique classique. Elle est munie d'une forme différentielle qui définit l'opérateur parenthèse de Poisson.

• Groupe de Lie : un groupe de Lie est une variété disposant d'une structure de groupe compatible avec la structure d'une variété.

• Variété complexe : une variété complexe est une variété contruite sur Cⁿ à l'aide de fonctions de transition holomorphes sur des recouvrements de graphs. Ces variétés sont les objets de base pour l'étude de la géométrie complexe. Une variété à une dimension complexe est appelée surface riemanienne. (Noter que une variété complexe à n dimensions a 2 'n dimensions en tant que variété différentielle)

• Variété de Banachet et Variété de Fréchet : pour permettre l'extension des dimensions infinies, on peut considérer des variétés de Banach qui soient localement homeomorphes à des espaces de Banach. De même, les variétés de Fréchet sont localement homéomorphes à des espaces de Fréchet.

• Orbifold : Un orbifold est la généralisation des variétés pour certains types de singularité dans la topologie.

• Variété algébrique et arrangement : une variété algébrique est assemblée à partir de variétés algébriques affines, qui sont des ensembles de zeors de polynômes construits sur des champs algébriques fermés. Un arrangement est de même construit à partir de variétés affines, qui sont une généralisations des variétés algébriques. Les deux sont reliés aux variétés, mais sont construites à l'aide de faisceau au lieu d'atlas.

• complexe CW : un complexe CW est un espace topologique formé d'objets de différentes dimensions. Pour cette raisons, ce n'est généralement pas une variété. Cependant, il est d'un intérêt central en topologie algébrique.

Voir aussi

• Surface (2-variété)

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