Variété symplectique

variété différentielle munie d'une forme différentielle de degré 2 fermée et non dégénérée

En mathématiques, une variété symplectique est une variété différentielle munie d'une forme différentielle de degré 2 fermée et non dégénérée, appelée forme symplectique. L'étude des variétés symplectiques relève de la géométrie symplectique. Les variétés symplectiques apparaissent dans les reformulations analytiques abstraites de la mécanique classique utilisant la notion de fibré cotangent d'une variété, notamment dans la reformulation hamiltonnienne, où les configurations d'un système forment une variété dont le fibré cotangent décrit l'espace des phases du système.

Toute fonction à valeurs réelles sur une variété symplectique définit un champ de vecteurs hamiltonien, dont les courbes intégrales sont solutions des équations de Hamilton-Jacobi. Le champ de vecteurs hamiltonien décrit un difféomorphisme hamiltonien sur la variété symplectique. Par le théorème de Liouville, ce flot hamiltonien préserve la forme volume.


HistoriqueModifier

La notion de variété symplectique, et donc de géométrie symplectique, reviendrait à Jean-Marie Souriau en 1953[1],[2],[3]. Suivant Souriau[4], la forme symplectique s'appellerait historiquement la forme de Lagrange[5], ou encore les crochets de Lagrange. Plus précisément[6], le crochet de Poisson de deux fonctions définies sur l'espace des phases peut s'écrire comme    est le tenseur contravariant de Poisson. Son tenseur inverse est le tenseur covariant de Lagrange, ce qui correspond aux composantes du crochet de Lagrange (i.e. aux composantes de la forme symplectique).

DéfinitionModifier

Soit  , une variété différentielle de dimension finie. Une forme symplectique sur   est une 2-forme différentielle   qui est fermée (i.e.  ) et non dégénérée (i.e. si   est non nul, alors   est non nul). Une variété symplectique   est une variété différentielle   munie d'une forme symplectique  .

Proposition : Toute variété symplectique est de dimension réelle paire.

Fibre par fibre, la forme symplectique   d'une variété symplectique   induit une application linéaire bémol :

 

La propriété de non dégénérescence des formes symplectiques est équivalente à ce que cette dernière application linéaire soit injective. En dimension finie, puisque les fibres du tangent   ont la même dimension que celles du cotangent  , l'application bémol est non seulement injective mais surjective, ce qui en fait un isomorphisme musical (en) symplectique dont l'inverse est l'isomorphisme musical dièse symplectique

 

Remarque : il est aussi possible de définir la notion de variété symplectique de dimension infinie (e.g. les espaces de connexions sur une surface lisse fermée orientée[7]). Il faut toutefois distinguer les formes symplectiques faibles (i.e. celles où   est injective) de celles fortes (i.e. celles où   est un isomorphisme)[8].

Le théorème de DarbouxModifier

Tout comme il y a un espace vectoriel symplectique standard  , il y a une variété symplectique standard, aussi dénoté  . Soit   la base canonique de  . Il lui correspond une base duale canonique   définie par les relations

 

Cette base duale canonique induit un système de coordonnées (globales) tout aussi canonique   définie en chaque   par :

 
 

La forme symplectique canonique   sur   s'écrit alors explicitement et globalement comme :

 

Le théorème de Darboux montre que tout point   d'une variété symplectique   admet un voisinage ouvert   muni d'un système de coordonnées locales   tel que

 

Deux preuves différentes du théorème de Darboux se retrouvent en [9] et en [10].

Le théorème de Darboux implique que, contrairement à la géométrie riemannienne où la courbure d'une métrique riemannienne   est un invariant local, il n'y a pas d'invariant local en géométrie symplectique.

Fibrés cotangentsModifier

Un autre exemple typique de variété symplectique est le fibré cotangent d'une variété différentiable. Soit   une variété différentiable. Soit   son fibré cotangent. Il existe une 1-forme différentielle  , dite 1-forme canonique de Liouville, sur   définie en tout point   et sur tout vecteur   par :

 

La différentielle extérieure   est une forme symplectique, dite forme symplectique canonique, sur  . En particulier, un système de coordonnées locales   sur un ouvert   de   induit un système de coordonnées locales   sur   défini en tout point   par :

 
 

Il est alors possible de démontrer que

 

Ainsi, localement, la forme symplectique canonique sur un fibré cotangent s'écrit de manière naturelle en coordonnées de Darboux.

Remarques : En physique, la variété   joue le rôle d'espace de configuration et son cotangent   celui d'espace des phases.

Forme volumeModifier

Plus haut il a été démontré que tout variété symplectique   est de dimension paire  . En considérant   fois le produit extérieur de la 2-forme symplectique  , la variété   est alors munie d'une  -forme différentielle  . Il est alors possible de démontrer, soit en utilisant la définition de   soit en utilisant le théorème de Darboux, que cette dernière  -forme différentielle   est une forme volume sur  . Ce faisant, toute variété symplectique est canoniquement orientée et reçoit une mesure canonique   appelée mesure de Liouville.

Remarque : la mesure de Liouville est utilisée :

Champ vectoriel hamiltonien et flot hamiltonienModifier

Soit   une variété symplectique. Soit   une fonction lisse (qu'on nommera hamiltonien[11]). À   est associé un champ vectoriel hamiltonien   défini implicitement par :

 

ou encore, en termes de musicalité dièse symplectique, par :

 

Si   est un champ vectoriel complet, il lui est associé un groupe à 1-paramètre de difféomorphismes  , i.e. un homomorphisme de groupes  , nommé flot hamiltonien de  .

Remarques :

  • il est aussi possible de définir le champ vectoriel hamiltonien et le flot hamiltonien d'un hamiltonien   non autonome (i.e. qui dépend du temps) ;
  • par le théorème de Liouville, la forme volume est préservée par le flot hamiltonien. Mais ce n'est pas tout ! Le flot hamiltonien préserve non seulement la forme volume symplectique   mais aussi la forme symplectique  . Le flot hamiltonien agit donc sur   par symplectomorphismes.
  • La définition ci-haut du champ vectoriel hamiltonien nous permet de définir le crochet de Poisson de deux observables classiques   comme[12] :
 

On obtient alors une relation entre le crochet de Poisson de deux observables classiques et la forme symplectique :

 

Cette équation est équivalente, à signe près, avec le fait que le crochet de Lagrange est le tenseur inverse du crochet de Poisson. En utilisant la fermeture de la forme symplectique, un calcul direct montre que le crochet de Poisson satisfait l'identité de Jacobi :

 

En utilisant l'identité de Jacobi du crochet de Poisson, on obtient une relation entre le crochet de Lie de champs vectoriels hamiltoniens et la forme symplectique :

 

Autrement dit, le crochet de Poisson de l'algèbre de Poisson des fonctions lisses sur une variété symplectique concorde avec le crochet de Lie de champs vectoriels.

  • En coordonnées locales de Darboux  , on a explicitement[13] :
 
 
 
 
 
 

Sous-variétés lagrangiennes et autresModifier

Une sous-variété différentielle   d'une variété symplectique   est dit être une :

Une sous-variété lagrangienne   d'une variété symplectique   est toujours de dimension la moitié celle de  .

Cas particuliers et généralisationsModifier

RéférencesModifier

  1. 2000, Patrick Iglesias-Zemmour, Symétries et moments Collection Enseignement des Sciences. Hermann. p.15
  2. 1953, J.-M. Souriau, Géométrie symplectique différentielle, applications, Coll. Int. CNRS, p.53, CNRS, Strasbourg.
  3. Ceci étant dit, une forme symplectique est la composante imaginaire d'une forme Kähler. La notion de variété Kähler daterait, elle, d'une note de Kähler en 1933, voir la préface du livre Variétés kählériennes d'André Weil, 1958.
  4. J.-M. Souriau, 1966, Quantification géométrique, Commun. math. Phys., 1, p.374-398. À la p.381.
  5. J.-L. Lagrange, 1811, Mécanique Analytique.
  6. J.-M. Souriau, 1966, Quantification géométrique, Commun. math. Phys., 1, p.374-398. À la p.380.
  7. M. F. Atiyah et R. Bott, The Yang-Mills Equations over Riemann Surfaces, 1982
  8. A. Kriegl et P. W. Michor, The convenient setting of global analysis, 1997
  9. V.I. Arnol'd, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 1989
  10. D. McDuff et D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, 2017
  11. ou encore huyghensien pour les intimes. Voir : P. Iglesias, Symétries et Moments, p. 158-159
  12. N. M. J. Woodhouse, 1991, Geometric Quantization. Clarendon Press, Second Edition. p.11
  13. N. M. J. Woodhouse, 1991, Geometric Quantization. Clarendon Press, Second Edition. Pages 9 et 11.

Voir aussiModifier

Liens externesModifier

  • (en) McDuff et D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology (1998), Oxford Mathematical Monographs, (ISBN 0-19-850451-9).
  • (en) Abraham et Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics (1978), Benjamin-Cummings, London, (ISBN 0-8053-0102-X)
  • (en) Alan Weinstein, « Symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds », Adv. Math. 6 (1971), 329–346