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Parabole

courbe mathématique
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Une parabole.

La parabole est une courbe plane, symétrique par rapport à un axe, approximativement en forme de U.

Elle peut se définir mathématiquement de plusieurs façons, équivalentes. Le plus souvent, la parabole est définie comme une courbe plane dont chacun des points est situé à égale distance d'un point fixe, le foyer, et d'une droite fixe, la directrice. Mais on peut aussi la définir comme l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est parallèle avec un autre plan tangent à la surface du cône.

Il s'agit d'un type de courbe algébrique dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès l'Antiquité et ont reçu des applications techniques variées en optique, télécommunicationetc.

MathématiquesModifier

Section coniqueModifier

Les paraboles font partie de la famille des coniques, c'est-à-dire des courbes qui s'obtiennent par l'intersection d'un cône de révolution avec un plan ; en l'occurrence, la parabole est obtenue lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône et perpendiculaire à l'autre plan qui contient la même génératrice et l'axe du cône.

 
La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque le plan est parallèle à une des génératrices du cône.

Directrice, foyer et excentricitéModifier

 
Parabole de droite directrice d et de foyer F.

Soient D une droite et F un point n'appartenant pas à D, et soit   le plan contenant la droite D et le point F. On appelle parabole de droite directrice D et de foyer F l'ensemble des points   du plan   à égale distance du foyer F et de la droite D, c'est-à-dire vérifiant :

 

  mesure la distance du point M au point F et   mesure la distance du point M à la droite D. La parabole est une forme de conique dont l'excentricité   vaut 1.

ÉquationsModifier

À partir du foyer et de la directriceModifier

Si la parabole est donnée par son foyer F et sa directrice  , on appelle K le projeté orthogonal de F sur  , on appelle p (paramètre de la parabole) la distance FK et on appelle S le milieu de [FK]. Alors, dans le repère orthonormé    a même direction et sens que  , l'équation de la parabole est

 

À partir de la fonction du second degréModifier

Article détaillé : fonction du second degré.

La courbe représentative d'une fonction polynomiale du second degré d'équation

 

a, b et c sont des constantes réelles a non nul), est une parabole. Dans le cas a = 1, b = c = 0, on obtient une expression simple pour une parabole

 .

Dans le repère  , le sommet S d'une parabole est le point de coordonnées  . Son axe de symétrie est l'axe  .

Dans le repère  , son équation est  Son foyer est le point   et sa directrice est la droite   d'équation  

Dans le repère  , le foyer a donc pour coordonnées[1]   et la directrice pour équation   

À partir de l'équation généraleModifier

Soit l'équation Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, dans un repère orthonormal. Si B2 - AC = 0 alors cette équation est celle d'une parabole ou de deux droites parallèles.

Réciproquement, si (C) est une parabole, alors elle possède, dans tout repère orthonormal, une équation de la forme précédente.

Soit l'équation Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, dans un repère orthonormal. Si AC = 0 avec AE ou DC non nul alors cette équation est celle d'une parabole dont l'axe est parallèle à un des axes du repère.

 
projection du rayon vecteur sur l'axe


Équation polaireModifier

Si l'on prend comme pôle le foyer F de la parabole et comme axe polaire l'axe focal dirigé vers la directrice, par projection sur l'axe, il vient r + r cos (θ) = p.

On en déduit que l'équation polaire de la parabole est   que l'on reconnaît comme un cas particulier de conique d'excentricité e = 1.

ParamétrisationModifier

Dans le repère cartésien  S est le point situé au milieu du segment constitué du foyer F et de sa projection K sur la directrice et où   est un vecteur unitaire orienté de S vers F, on peut envisager plusieurs paramétrisations de la parabole :

  1. Une paramétrisation cartésienne par l'abscisse :  , pour tout  
  2. Une paramétrisation cartésienne par l'ordonnée :  , pour tout  
  3. Des paramétrisations cartésiennes dépendant chacune d'un constante arbitraire a > 0 :  , pour tout  

(Pour a=1/(2p) on retrouve la paramétrisation par l'abscisse.) Ces paramétrisations sont régulières (i.e. le vecteur dérivé ne s'annule pas). Le vecteur (1 , 2at) dirige alors la tangente au point de paramètre t.

Quelques propriétés géométriques de la paraboleModifier

Cordes parallèlesModifier

 
Diamètre de la parabole relatif à la direction D'

Toutes les cordes de la parabole parallèles à une même droite D' ont leur milieu situé sur une même droite D parallèle à l'axe : c'est un diamètre relatif à la direction D'. Les deux tangentes à la parabole aux extrémités d'une telle corde se coupent en D. La tangente à la parabole parallèle à D' a son point de contact sur D.

Tangente et bissectriceModifier

Si A est un point sur une parabole définie par un foyer F et une directrice (d), alors la tangente de la parabole en A est la bissectrice intérieure de l'angle formée par F, A et le projeté orthogonal de A sur (d).

D

 
Illustration de la propriété en optique.

Cette propriété explique le principe des miroirs paraboliques : l'angle que font les droites (AF) et (b) est égal à l'angle que font les droites (AH) et (b), donc les droites (AH) et (AF) sont symétriques par rapport à la tangente, ainsi que par rapport à la normale à la tangente. En optique, cela signifie qu'un rayon issu de F et frappant A subit une réflexion spéculaire de direction (AH), puisque selon le loi de Snell-Descartes, l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion. Donc, tous les rayons issus de F sont réfléchis dans la même direction, perpendiculaire à (d).

Propriété relative à l'orthoptiqueModifier

 
En se déplaçant le long de sa directrice, la parabole est toujours vue sous un angle droit.

Soient M et M' les points d'intersection d'une droite quelconque passant par le foyer de la parabole avec la parabole. Les deux tangentes de la parabole passant par M et M' se coupent sur la directrice en formant un angle droit entre elles. De plus, si on appelle H et H' les projetés respectifs de M et M' sur la directrice et O le point d'intersection des deux tangentes et de la directrice, alors O est le milieu de HH'].

En se déplaçant le long de sa directrice, la parabole est toujours vue sous un angle droit.

En prenant deux tangentes perpendiculaires pour axes, l'équation prend alors la forme remarquable :  

(a ; 0) et (0 ; b) sont les nouvelles coordonnées des points de contact.

Sous-normale constanteModifier

 
Les triangles sont égaux, leurs bases sont constantes.

D'un point M de la courbe, on mène la normale qui coupe l'axe Δ en N, soit H le projeté orthogonal de M sur Δ. La valeur HN s’appelle la sous-normale. On montre qu'elle admet comme valeur constante p, le paramètre de la parabole.

Démonstration

La pente de la tangente étant  , le triangle rectangle MHN donne  .

Or, si l'on dérive par rapport à x l'équation de la parabole y2 - 2px = 0, on obtient précisément yy' = p.

ApplicationsModifier

PhysiqueModifier

 
Trajectoire parabolique.

La parabole est la trajectoire décrite par un objet que l'on lance si on peut négliger la courbure de la Terre, le frottement de l'air (vent, ralentissement de l'objet) et la variation de la gravité avec la hauteur.

Torricelli a démontré en 1640 que l'enveloppe de ces trajectoires est elle-même une parabole : parabole de sûreté.

Ondes hertziennes, acoustiques et lumineusesModifier

Par métonymie, une parabole désigne une antenne parabolique. Il s'agit plus exactement d'une application des propriétés de la surface nommée paraboloïde de révolution.

 
Principe du phare automobile à miroir parabolique.

Les paraboloïdes permettent de concentrer des ondes ou des rayons en un point, le foyer de la parabole. Cette propriété est utilisée par les antennes paraboliques pour concentrer une onde électromagnétique, par le réflecteur parabolique associé à un microphone pour concentrer des ondes acoustiques, ou encore par certains fours solaires pour concentrer la lumière du soleil.

À l'inverse elles peuvent également diffuser sous forme d'un faisceau cylindrique la lumière produite par une lampe au foyer de la parabole. Cette propriété est exploitée par le projecteur et le phare.

Un cylindre parabolique permet, de même, de concentrer la lumière sur une droite, par exemple dans des concentrateurs solaires.

BibliographieModifier

  • Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4).
  • Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie.
  • Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M (ISBN 978-2-916352-12-1).

RéférenceModifier

  1. illustration animée avec geogebra

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

Liens externesModifier