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En magnétostatique, le théorème d'Ampère permet de déterminer la valeur du champ magnétique grâce à la donnée des courants électriques. Ce théorème est une forme intégrale de l'équation de Maxwell-Ampère. Il a été découvert par André-Marie Ampère, et constitue l'équivalent magnétostatique du théorème de Gauss. Pour être appliqué analytiquement de manière simple, le théorème d'Ampère nécessite que le problème envisagé soit de symétrie élevée.

Théorème d'Ampère en statique

Ces relations s’appliquent uniquement dans le cas où le champ électrique est constant dans le temps (les courants sont stables et indépendants du temps), sinon le champ magnétique varierait dans le temps.

Dans le vide

Énoncé littéral

La circulation du champ magnétique ${\vec {B}}$ le long d’une courbe $C$ quelconque, orientée et fermée, que l’on appelle contour d’Ampère, est égale au produit de $\mu _{0}$ par la somme algébrique des courants qui traversent la surface délimitée par $C$.

Avec $\mu _{0}$ la perméabilité du vide ($\mu _{0}=4\pi .10^{-7}\mathrm {H/m}$).

Forme intégrale

$\oint _{C}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=\mu _{0}\cdot \sum I_{\rm {traversant}}$

où :

• $\oint _{C}$ représente l'intégrale curviligne sur le contour fermé $C$,
• ${\vec {B}}$ est le champ d'induction magnétique,
• $d{\vec {l}}$ est l'élément infinitésimal de déplacement le long du contour $C$,
• $\sum I_{traversant}$ est la somme algébrique des intensités des courants enlacés (entourés) par le contour $C$.

Remarque : On peut distinguer plusieurs cas concernant l'intensité enlacée par le circuit.

• si le circuit enlace un courant volumique ${\vec {j}}$, alors l'intensité enlacée aura la forme suivante :

${I_{\rm {traversant}}}=\iint _{S}{\vec {j}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}$

,

${\vec {j}}$ en (A.m^-2)

• si le circuit enlace un courant surfacique ${\vec {k}}$, alors l'intensité enlacée aura la forme suivante :

${I_{\rm {traversant}}}=\int _{l}{\vec {k}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}$

,

${\vec {k}}$ en (A.m^-1)

• si le circuit enlace plusieurs circuits filiformes alors on peut dire que l'intensité enlacée s'écrira :

$I_{\rm {traversant}}=\sum I_{i}$

avec $I_{i}$ l'intensité d'un fil du circuit filiforme.

Attention, il s'agit d'une somme algébrique : il faut orienter le contour d'Ampère, et donc donner une normale à la surface, d'où une convention de signe concernant les courants enlacés, comptés positivement ou négativement selon leur sens.

Pour le contour d'Ampère représenté sur cette image :

$I_{\rm {traversant}}=\sum I_{i}=-I_{1}+I_{2}+I_{3}$

Forme différentielle

Par le théorème de Stokes, on obtient l'expression de la loi d'Ampère sous forme locale qui établit une relation entre le champ ${\vec {B}}$ en un point de l'espace et la densité de courant ${\vec {J}}$ en ce même point :

${\begin{cases}{\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\left({\vec {B}}\right)={\overrightarrow {J}}\\{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {B}}={\overrightarrow {J}}\end{cases}}$

Dans la matière

Dans la matière, notamment aimantée, on se retrouve en présence de plusieurs types de courants (les courants libres qui sont les courants usuels que nous connaissons, et les courants liés qui eux vont dépendre des champs présents dans la matière). En conséquence, le théorème d’ampère conventionnel n’est plus valable. En revanche, le théorème d’Ampère pour l’excitation magnétique ${\vec {H}}$ existe et va pouvoir être utilisé pour calculer ${\vec {H}}$ si l’on connaît la distribution en courant.

Notions sur les densités de courant dans la matière en statique

Dans la matière on ne connaît jamais les sources (${\vec {J}}$) de courants intégralement. On va donc séparer les sources connues de celles inconnues :

• On ne connaît pas en général les charges et les courants liés au milieu (on note ${\overrightarrow {J_{lie}}}$ leurs densités volumiques respectives)
• On connaît en général les charges et les courants libres du milieu (on note ${\overrightarrow {J_{libre}}}$ leurs densités volumiques respectives)

On a ainsi :

${\overrightarrow {J_{tot}}}={\overrightarrow {J_{libre}}}+{\overrightarrow {J_{lie}}}$

Il faut prendre en compte le champ macroscopique aimantation, noté ${\vec {M}}$ est définie comme la densité volumique de moment dipolaire magnétique totale. Ce champ va induire un courant lié qui va être à l'origine de l'aimantation qui s'exprime :

${\overrightarrow {J_{m}}}={\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\left({\vec {M}}\right),$

où ${\vec {M}}$ est le vecteur aimantation.

On pose ainsi :

${\overrightarrow {J_{lie}}}={\overrightarrow {J_{m}}}={\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\left({\vec {M}}\right),$

Les milieux conducteurs contiennent des charges électriques qui peuvent se mouvoir (charges libres), celles-ci vont induire une densité de courant libre (ou de conduction) qui s'exprime :

${\overrightarrow {J_{libre}}}=\sigma {\vec {E}},$

on reconnaît la loi d'Ohm locale avec $\sigma$ la conductivité.

Forme littérale

Dans la matière aimantée le théorème d’Ampère peut se réécrire pour l’excitation en ne considérant que les courants libres :

La circulation de l'excitation magnétique ${\vec {H}}$ le long d'une courbe fermée $C$ est égale à l'intensité totale en courant libre qui traverse n'importe quelle surface s'appuyant sur $C$.

Cela suppose bien sûr que nous soyons en régime permanent auquel cas le vecteur densité de courant (${\overrightarrow {J_{libre}}}$) est à flux conservatif et l'intensité ne dépend que de $C$ et pas du choix de la surface s'appuyant sur $C$.

Forme intégrale

$\oint _{C}{\vec {H}}.d{\vec {l}}=\mu _{0}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {J_{libre}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}$

Forme différentielle

${\begin{cases}{\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\left({\vec {H}}\right)={\overrightarrow {J_{libre}}}\\{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {H}}={\overrightarrow {J_{libre}}}\end{cases}}$

Théorème d'Ampère en dynamique

Dans le vide

Forme différentielle

En régime variable l'équation de Maxwell-Ampère nous donne :

${\begin{cases}{\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\left({\vec {B}}\right)=\mu _{0}\left({\vec {J}}+\displaystyle {\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}\right)\\{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {B}}=\mu _{0}\left({\vec {J}}+\displaystyle {\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}\right)\end{cases}}$

On remarque la présence d'un autre terme par rapport au régime statique. Il s’agit d'une densité de courant que Maxwell a pris en compte en établissant ses équations : la densité de courant de déplacement :

${\overrightarrow {J_{d}}}=\varepsilon _{0}.{\partial {\overrightarrow {E}} \over \partial t}$

où $\varepsilon _{0}$ est la permittivité du vide.

Forme intégrale

D'après le théorème de Green, l'équation différentielle de Maxwell-Ampère peut se réécrire sous forme intégrale :

$\oint _{C}{\vec {B}}.d{\vec {l}}=\mu _{0}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}+\mu _{0}\underbrace {\varepsilon _{0}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\partial {\overrightarrow {E}} \over \partial t}} _{\overrightarrow {J_{d}}}$

Dans la matière

Dans la matière on peut poser :

• ${\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}$ l’induction électrique (en C.m^-2)

Dans la matière nous avons pris en compte la polarisation du milieu, notée ${\vec {P}}$ et définie comme la densité volumique de moment dipolaire électrique totale. Cette dernière va induire en régime variable la présence d'une densité de courant de polarisation définie par :

${\overrightarrow {J_{p}}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {P}}}{\partial t}},$

où ${\vec {P}}$ est le vecteur polarisation.

En dérivant ${\vec {D}}$ par rapport au temps on obtient :

${\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}=\underbrace {\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}} _{\overrightarrow {J_{d}}}+\underbrace {\frac {\partial {\vec {P}}}{\partial t}} _{\overrightarrow {J_{p}}}$

on reconnaît la densité de courant de polarisation ${\overrightarrow {J_{p}}}$ ainsi que la densité de courant de déplacement ${\overrightarrow {J_{d}}}$

• ${\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\vec {M}},$ l’excitation magnétique (en A.m^-1)

Forme différentielle

L'équation de Maxwell-Ampère se réécrit donc dans la matière :

${\begin{cases}{\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\left({\vec {H}}\right)=\mu _{0}\left({\overrightarrow {J_{libre}}}+\displaystyle {\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}\right)\\{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {H}}=\mu _{0}\left({\overrightarrow {J_{libre}}}+\displaystyle {\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}\right)\end{cases}}$

Forme intégrale

D'après le théorème de Green, l'équation différentielle de Maxwell-Ampère peut se réécrire sous forme intégrale :

$\oint _{C}{\vec {H}}.d{\vec {l}}=\mu _{0}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {J_{libre}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\partial {\overrightarrow {D}} \over \partial t}$

Remarques

• Le théorème d’Ampère permet d'obtenir des résultats identiques à ceux obtenus par calcul direct via la loi de Biot et Savart.
• Le choix du sens de la circulation sur le contour d’Ampère choisi est purement arbitraire. Une fois ce choix fait, la règle du bonhomme d’Ampère permet d’attribuer un signe aux courants qui traversent la surface ainsi délimitée.
• Comme pour le théorème de Gauss, ce qui compte c’est la somme algébrique des sources : par exemple, si deux courants de même amplitude mais de sens différents traversent la surface, le courant total sera nul.

Exemples de calcul

Méthode générale pour calculer le champ magnétostatique en tout point M quelconque de l'espace

1. Définir un système de coordonnées approprié à toutes les symétries présentes sur la distribution en courant (cartésiennes, cylindriques et sphériques)
2. Repérer toutes les invariances de la distribution de courant, afin de déterminer la dépendance du champ par rapport à certaines coordonnées du point M.
3. Repérer les plans de symétrie (ou d’antisymétrie) de la distribution de courant, afin de déterminer la direction du champ magnétique au point M. !!! Ces plans doivent contenir le point M.
4. Définir un « contour d’Ampère », qui contient le point M, et sur lequel le champ est tangent. Suivant la distribution il faut généralement distinguer plusieurs cas, selon la région de l’espace où se situe le point (à l’intérieur / à l’extérieur de la distribution par ex.)
5. Appliquer le Théorème d’Ampère afin de résoudre le problème

Fil infini

Prenons le cas d'un conducteur filiforme rectiligne infini parcouru par un courant $I$. Les coordonnées adaptées à ce problème sont les coordonnées cylindriques.

Invariances et symétries

Les invariances sont :

• La distribution est invariante par translation suivant $(Oz)$.
• La distribution est invariante par rotation de $\theta$ autour de $(Oz)$.

Les symétries sont :

• Tout plan passant par l'axe $(Oz)$ est plan de symétrie pour la distribution : ainsi, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan.

Donc ${\vec {B}}=B(r){\vec {u}}_{\theta }$

Contour d'Ampère

On considère un cercle d'axe $(Oz)$, contenant le fil et de rayon $r$. Le sens de rotation implique que le sens positif est suivant l'axe $(Oz)$.

On applique le théorème d'Ampère

${\begin{aligned}\oint _{C}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}&=\int _{\theta }^{2\pi }B.r.d\theta \\&=B.2.\pi .r\\&=\mu _{0}I\end{aligned}}$.

d'où :

${\vec {B}}(r)={\frac {\mu _{0}I}{2.\pi .r}}{\vec {u}}_{\theta }$

Nappe de courant

Soit une distribution surfacique de courants uniformes ${\vec {j}}_{s}=j_{s}{\vec {u_{y}}}$ circulant dans le plan $(yOz)$.

Cette distribution peut être considéré comme la superposition d'une infinité de fils infinis parallèles les uns aux autres. Les coordonnées adaptées à ce problème sont les coordonnées cartésiennes.

Etude des invariances : la nappe de courant étant infinie, il y a invariance par translation dans le plan $(Oy)$ et dans le plan $(Oz)$, le champ ne dépendra donc que de la distance $x$ au plan $(yOz)$.

Étude des symétries : le plan $(xOy)$ est un plan de symétrie pour la distribution de courant, le champ magnétique lui est donc perpendiculaire.

Donc ${\vec {B}}=B(x){\vec {u}}_{z}$

Contour d'Ampère : on considère un contour fermé constitué de deux segments parallèles à l'axe $(Ox)$ et deux segments de longueur $l$ parallèles à l'axe $(Oz)$ et situés à une distance $x$ et $-x$.

On applique le théorème d'Ampère

${\begin{aligned}\mu _{0}.I_{enlace}&=\oint _{ABCD}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\underbrace {\int _{A}^{B}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}} _{=0}+\int _{B}^{C}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\underbrace {\int _{C}^{D}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}} _{=0}+\int _{D}^{A}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=-B(x)l+B(-x)l\end{aligned}}$.

Il reste à calculer la valeur du courant :

${\begin{aligned}\mu _{0}.I_{enlace}=\int _{0}^{l}{\vec {j}}_{s}.\mathrm {d} {\vec {l}}=j_{s}l\end{aligned}}$.

On obtient donc :

$-B(x)l+B(-x)l=\mu _{0}j_{s}l$

$-2B(x)=\mu _{0}j_{s}$

$B(x)={\frac {-\mu _{0}j_{s}}{2}}$.

Finalement :

$B(x)={\frac {-\mu _{0}j_{s}}{2}}=-{\frac {\mu _{0}}{2}}{\vec {j}}_{s}\wedge {\vec {u}}_{x}$

Le champ est uniforme des deux côtés de la nappe de courant. Si l'on note ${\vec {B}}_{+}={\vec {B}}(x>0)$ et ${\vec {B}}_{-}={\vec {B}}(x<0)$ on peut remarquer que :

${\vec {B}}_{+}-{\vec {B}}_{-}=\mu _{0}j_{s}{\vec {u_{z}}}=\mu _{0}{\vec {j_{s}}}\wedge {\vec {u_{x}}}$

Solénoïde infini

On considère un solénoïde infini d'axe $(Oz)$, de rayon $R$, constitué de $n$ spires par unité de longueur, chacune étant parcourue par une intensité $I$.

Calculer le champ magnétique produit par le solénoïde en tout point de l'espace.

Invariances et symétries

Les invariances sont :

• Tout plan passant par l'axe $(Oz)$ est plan d'antisymétrie de distribution : ainsi, le champ magnétique appartient à ce plan.
• Tout plan perpendiculaire à $(Oz)$ est plan de symétrie de distribution : ainsi, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan de symétrie. Le champ magnétique est donc colinéaire à l'axe $(Oz)$.
• La distribution est invariante par translation suivant ${\vec {u}}_{z}$.
• La distribution est invariante par rotation autour de $(Oz)$.

Donc ${\vec {B}}=B(r){\vec {u}}_{z}$

Première étape : À l'intérieur du solénoïde

• On choisit pour contour d'Ampère un rectangle orienté ABCD inclus dans le solénoïde et tel que:
  • $[AB]\subset (Oz)$
  • ${\overrightarrow {AB}}$ est orienté comme ${\vec {u}}_{z}$
  • $BC=~r$
• On applique le théorème d'Ampère :

${\begin{aligned}0&=\oint _{ABCD}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\int _{A}^{B}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\int _{B}^{C}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\int _{C}^{D}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\int _{D}^{A}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\mu _{0}In.AB+0+B(r)~{\vec {u}}_{z}.(-CD~{\vec {u}}_{z})\end{aligned}}$.

• On simplifie (AB=CD) pour obtenir

${\vec {B}}(M)=\mu _{0}In{\vec {u}}_{z}$ si M est dans le solénoïde

Seconde étape : À l'extérieur du solénoïde

• On choisit pour contour d'Ampère un rectangle orienté $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ tel que:
  • $[A_{1}B_{1}]~$ est inclus dans le solénoïde
  • $[C_{1}D_{1}]~$ est à l'extérieur du solénoïde
  • ${\overrightarrow {A_{1}B_{1}}}$ est orienté comme ${\vec {u}}_{z}$
  • $[C_{1}D_{1}]~$ et (Oz) sont distants de r₁

• On applique le théorème d'Ampère :

${\begin{aligned}\mu _{0}nI.A_{1}B_{1}&=\oint _{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\int _{A_{1}}^{B_{1}}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\int _{B_{1}}^{C_{1}}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\int _{C_{1}}^{D_{1}}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\int _{D_{1}}^{A_{1}}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\mu _{0}In.A_{1}B_{1}+0+B(r_{1})~{\vec {u}}_{z}.(-C_{1}D_{1}~{\vec {u}}_{z})\end{aligned}}$.

• On simplifie : $B(r_{1})=~0$, ce qui conduit à

${\vec {B}}(M)={\vec {0}}$ si M est à l'extérieur du solénoïde

Bibliographie

• John David Jackson (trad. de l'anglais), Électrodynamique classique [« Classical Electrodynamics »] [détail de l’édition]
• Gérard Fournet, « Électromagnétisme », Techniques de l'ingénieur, 10 mars 1993.
• Michel Ney, « Bases de l’électromagnétisme », Techniques de l'ingénieur, 10 août 2004.
• José-Philippe Pérez, Robert Carles et Robert Fleckinger, Électromagnétisme fondements et applications, Liège, Dunod, 2001 (ISBN 2-10-005574-7).
• José-Philippe Pérez, Robert Carles et Robert Fleckinger, Électromagnétisme Vide et milieux matériels, Paris, Masson, 1990 (ISBN 2-225-82294-8).
• https://fr.wikiversity.org/wiki/Introduction_%C3%A0_l%27%C3%A9lectromagn%C3%A9tisme_des_milieux_mat%C3%A9riels/Excitation_magn%C3%A9tique
• http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_M08_G01/co/contenu_016.html