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L'espace de la géométrie Euclidienne est l'ensemble des "points " étudiés en géométrie.
Une définition rigoureuse de cet ensemble est lié à un certain nombre de postulats dont le plus connu est le postulat d'Euclide d'autres sont implicitement contenu dans certaines notions admise intuitivement (point, droite,...), d'un autre point de vue, on peut donner une définition axiomatique rigoureuse de cet espace à partir de la théorie des Espace vectoriel
On a été amené dans cette géométrie à définir des vecteurs libres et leur ensemble est muni de deux lois.Somme vectorielle et multiplication par un réel, donnant à cet ensemble une structure d'espace vectoriel sur ce qui justifie l'appellation de vecteur pour ces êtres mathématiques.Soit O un point quelconque fixe de l'espace. A tout point M de l'espace distinct de O ou non, on fait correspondre le vecteur libre noté dont un représentant est un vecteur lié Il est clair que l'on a établi ainsi une bijection entre les points de l'espace de la géométrie Euclidienne et l'ensemble .
Cette bijection n'étant bien entendu définie qu'une fois choisi le point O. Voir: Géométrie euclidienne Vecteur
Etude faite dans le chapitre sur les espaces vectoriels (à vérifier)
Rappels
1°.La dim de
2°.Trois vecteurs non nuls sont liés si et seulement si ils sont parallèles à une mème direction de plan. Représentants coplanaire de mème origine.
3°.Deux vecteurs non nuls sont liés si et seulement si ils ont mème direction. Représentant colinéaire de mème origine.
4°.Une base est constituée par tout système de trois vecteurs non nuls et non paralèlles à une mème direction de plan.
Cas de la géométrie plane.
1°.Sous espace du précédent
2°.Dim = 2
3°.Une base est constituée par deux vecteurs non nuls et mon colinéaires.
Un glissant est une classe d'équivalence de l'ensemble des liés de l'espace suivant la relation d'équivalence: équipolence et même support.
Un glissant est parfaitement défini par la donnée de son support et d'un vecteur équipolent.(à condition que celui-çi ait la direction du support); un glissant est d'ailleur entièrement défini par la donnée d'un vecteur équipolent et d'un point du support. Voir: Relation d'équivalence
Soit O un point fixe de l'espace et soit un lié de support (D).
Considérons (Produit vectoriel de deux vecteurs libres dont et sont des représentants.)
Soit M un point quelconque de la droite (D) et considérons
(1).
(2). car A, B, M alignés.
(1) et (2) donne:
(3)
Conclusion: , n'est pas modifié si l'on fait glisser sur son support (D).
On peut donc considérer comme attaché non au vecteur lié mais au glissant dont est un représentant.
On pose alors:
est donc le produit vectoriel de deux vecteurs libres dont et sont des représentants.
On appelle ce vecteur "moment en O ou par rapport à O du glissant ".
2°.Réciproquement la donnée de et d'un vecteur libre avec détermine entièrement
En effet on doit avoir à si M est un point du support de . Donc M est dans le plan en O à Le support de est donc dans ce plan, condition compatible avec la donnée de puisque
On doit avoir
ce qui détermine de façon unique si
D'ou deux supports possibles pour , symétriques par rapport à O dans (P) le plan perpendiculaire en O de
Le sens du vecteur permet de choisir parmi les deux, celui à retenir.
Si , le problème est impossible si par hypothèse de départ du raisonnement :
Sinon: ;Indétermination.
La solution est n'importe quel vecteur glissant
Les deux vecteurs et : tel que : (Produit scalaire) , sont appelés coordonnées vectorielles du glissant de par rapport au point O.
On les représente usuellement avec origine en O , bien qu'ils soient libres pour marquer que le vecteur moment (tout au moins) est relatif au point O choisi.
Le moment de (vecteur glissant) , par rapport à O' est égal à la somme de son moment par rapport à O et du moment par rapport à O' d'un vecteur équipolent dont le support passerait par O.
Le théorème de Varignon s'établit ainsi:
Le moment par rapport à de la somme de plusieurs vecteurs concourants est égal à la somme des moments par rapport à de ces différents vecteurs.
Système de Cramer de rang <3
Alors si non tous nuls, rang 2.(on peut tirer les déterminants d'ordre ).
Supposons par exemple
On forme la caractéristique
Division par possible
qui n'est autre que la condition (..) , indétermination d'ordre ;sinon impossibilité. (à revoir)
Cas ou l'on prend le moment par rapport à O', autre que l'origine O.
Soit les coordonnées de
Soit les coordonnées de
Soit les composantes de
On peut écrire le pseudo-déterminant:
Qui permet de connaitre les composantes du vecteur moment
On peut aussi utiliser la formule donnant en fonction de , il suffit d'ajouter les composantes de deux vecteurs figurant au second membre de la relation çi-dessous.
Qui peut s'écrire:
Soit les coordonnées de O ,origine.
devient,en remplaçant par leur valeur .
a donc pour composantes:
Système de glissant ou torseur, définitions et conséquences.
C'est la somme des moments en des différents vecteurs du système.
S'il n'y apas d'ambiguité sur le système nous le noterons :||.
Par définition:
C'est un vecteur libre, toutefois on conviendra de le considérer comme un vecteur lié d'origine , pour marquer qu'il est attaché au point .
Coordonnées du système par rapport à un trièdre d'origine O.
sont appellés moments résultants du système de glissants / aux axes respectivement: chacun est la somme des moments des différents vecteurs / à l'axe correspondant.
Si on constitue un système par la réunion de plusieurs autres, les moments et les résultantes générales s'ajoutent (résulte immédiatement de l'associativité de la somme vectorielle).
Moments résultants du système en deux points différents de l'espace
supposons
Alors , par définition ,( avec .
Devient . Théorème
Le moment résultant est invariant le long de toute à la résultante générale. (Invariant local).
![{\displaystyle {\vec {O'M}}\wedge {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\x-x'&y-y'&z-z'\\X&Y&Z\end{vmatrix}}=[(y-y')Z-(z-z')Y]{\vec {i}}+[(z-z')X-(x-x')Z]{\vec {j}}+[(x-x')Y-(y-y')X]{\vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af8fb379d5103d6d7d493c6e77f4ebef4a8a400)
![{\displaystyle {\begin{matrix}L'=[(y-y')Z-(z-z')Y]\\M'=[(z-z')X-(x-x')Z]\\N'=[(x-x')Y-(y-y'X]\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78e9d51391e1dbef75a95d1a0ee1d57af5bb5b3)
![{\displaystyle {\vec {OO'}}\wedge {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\x'-x&y'-y&z'-z\\X&Y&Z\end{vmatrix}}=[(y'-y)Z-(z'-z)Y]{\vec {i}}+[(z'-z)X-(x'-x)Z]{\vec {j}}+[(x'-x)Y-(y'-y)X]{\vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d634b7665d8754b4cabe16e25a93824c755162e)
![{\displaystyle {\vec {OO'}}\wedge {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\x'-x&y'-y&z'-z\\X&Y&Z\end{vmatrix}}=[(y')Z-(z')Y]{\vec {i}}+[(z')X-(x')Z]{\vec {j}}+[(x')Y-(y')X]{\vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad60e3aa7ef724b8794c4dc3e113e40c3e242059)
