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Théorie fluide des ondes de plasma

En physique, la théorie fluide des ondes de plasma a pour objet l'étude des perturbations dans un plasma modélisé comme un milieu continu fluide.

Dans un plasma, les interactions entre particules chargées permettent à un grand nombre d'ondes différentes d'exister. Chacune de ces ondes propage des perturbations qui peuvent être de natures différentes (charge, pression, champ électrique, champ magnétique ...) et ont des vitesses différentes qui dépendent, entre autres, de la fréquence de la perturbation.

le plasma est composé de particules chargées très sensibles à l'action de champs électromagnétiques internes comme externes.

Du fait de sa conductivité électrique, le plasma est couplé aux champs magnétique et électrique

Ce système couplé de particules et de champs permet une grande variété d'ondes.

Principe de la théorie

La propagation d'onde dans un plasma est régit par une équation d'onde ${\underline {\mathbf {D} }}(\omega ,\mathbf {k} ,{\underline {\boldsymbol {\epsilon }}})\cdot \mathbf {F} =\mathbf {0}$ où $\mathbf {F}$ est une perturbation électromagnétique du milieu et ${\underline {\mathbf {D} }}$ est la matrice de dispersion qui dépend de la pulsation de l'onde $\omega$ , du vecteur d'onde $\mathbf {k}$ et du tenseur diélectrique du plasma ${\underline {\boldsymbol {\epsilon }}}$ . Ce dernier est ... caractérise la réponse diélectrique du plasma à une perturbation.

Les modes propres du plasma, qui caractérisent les différentes ondes pouvant exister dans le plasma, sont déterminés d'une part par les valeurs propre de ${\underline {\mathbf {D} }}$ solutions de la relation de dispersion $\det {\underline {\mathbf {D} }}(\omega ,\mathbf {k} ,{\underline {\boldsymbol {\epsilon }}})=0$ contraignant le lien entre $\omega$ et $\mathbf {k}$ , et d'autre part par les vecteurs propres de ${\underline {\mathbf {D} }}$ contraignant la polarisation de l'onde, c'est-à-dire le lien entre les composantes des amplitudes des champs.

La théorie fluide des ondes de plasma consiste à déduire, à partir des expressions établies de la matrice de dispersion et du tenseur diélectrique du plasma, les solutions de la relation de dispersion. L'attribut fluide de la théorie tient au fait que le modèle fluide de plasma est utilisé pour déterminer son tenseur diélectrique. Une théorie cinétique, plus riche mais plus complexe, permet de décrire des phénomènes ondulatoires purement cinétiques comme l'amortissement Landau, en se basant sur un tenseur diélectrique cinétique.

Postulats

Les résultats présentés ici se limitent aux ondes de faible amplitude et sont basés sur une théorie de perturbations linéaires supposant que les variations des paramètres du plasma induites par l'onde sont faibles par rapport aux paramètres non perturbés. En outre, le plasma est supposé stationnaire et homogène. Ces hypothèses nécessitent :

$\Delta t\gg 2\pi /\omega$
$\Delta x\gg \lambda$

et le champ magnétique appliqué de l'extérieur est supposé constant et uniforme.

Pour des raisons de simplicité mathématique, l'analyse sera effectuée en termes d'ondes planes. Cela n'implique pas une perte de généralité, puisque tout mouvement ondulatoire physiquement réalisable peut, en principe, être synthétisé en termes d'ondes planes.

Hypothèses : plasma stationnaire homogène infini. Onde plane et perturbation linéaire

Onde de petites amplitudes, analyse basée sur la théorie des perturbations linéaires.

Onde plane monochromatique homogène (OPMH). Les OPMH ne constituent pas une simple classe de solutions particulières des équations de Maxwell ; le théorème de représentation de Fourier leur confère un statut de base et toute solution peut être décomposée et analysée comme une superposition d’OPMH

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {E} }}\exp \left\{-i(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\right\}$

Paramétrage

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\mathbf {k} =k_{\perp }{\hat {\mathbf {x} }}+k_{\parallel }{\hat {\mathbf {z} }}=k\sin \theta ~{\hat {\mathbf {x} }}+k\cos \theta ~{\hat {\mathbf {z} }}

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Équation d'onde et relation de dispersion

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\left[(\omega ^{2}-k^{2}c^{2}){\underline {\mathbf {I} }}+c^{2}\mathbf {k} \otimes \mathbf {k} +\omega ^{2}{\underline {\boldsymbol {\chi }}}(\omega ,\mathbf {k} )\right]\cdot \mathbf {E} =\mathbf {0}

Établissement de l'équation d'onde

test

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

test

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Ondes de plasma froid

Relation de dispersion de plasma froid

Tenseur diélectrique du plasma froid

Dans le modèle de plasma froid, l'énergie cinétique thermique des particules est négligée : les particules qui composent le plasma sont supposées statiques (ou, éventuellement, soumises à un mouvement macroscopique fluide des espèces) et ne se déplacent que sous l’impulsion des perturbations électromagnétiques. Cela revient à annuler le gradient de pression dans l'équation de conservation de quantité de mouvement et correspond, d'un point de vue cinétique, à une fonction de distribution des vitesses en fonction $\delta$ de Dirac centrée sur la vitesse fluide macroscopique. Cette simplification offre une description satisfaisante des ondes de plasma tant que la vitesse thermique des particules $v_{T}$ est petite devant la vitesse de phase $v_{\phi }$ . Le modèle n'est en particulier plus valide si $k\to \infty$ pour une valeur finie de $\omega$ correspondant au phénomène de résonance.

L'établissement du tenseur diélectrique s'effectue en couplant l'équation linéarisée de conservation de quantité de mouvement des espèces fluides à une relation linéaire reliant une grandeur mécanique caractéristique du fluide (vitesse, courant) au champ électromagnétique. Généralement, ce couplage est effectué par loi locale d'Ohm.

Le tenseur diélectrique du plasma froid magnétisé de champ électrostatique extérieur $\mathbf {B} _{0}$ s'écrit, dans un base orthogonale ${\mathcal {B}}$ telle que ${\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {B} _{0}/|\mathbf {B} _{0}|$ , sous la forme

{\underline {\boldsymbol {\chi }}}(\omega )={\begin{pmatrix}S-1&-iD&0\\iD&S-1&0\\0&0&P-1\end{pmatrix}}_{\mathcal {B}}

avec

P(\omega )=1-\sum _{s}{\frac {\omega _{ps}^{2}}{\omega ^{2}}},\qquad S(\omega )=1-\sum _{s}{\frac {\omega _{ps}^{2}}{\omega ^{2}-\Omega _{cs}^{2}}},\qquad D(\omega )=\sum _{s}{\frac {\Omega _{cs}}{\omega }}{\frac {\omega _{ps}^{2}}{\omega ^{2}-\Omega _{cs}^{2}}}

où $P$ , $S$ , $D$ est la notation introduite par Stix.

Établissement du tenseur diélectrique du plasma froid

Test

Le tenseur diélectrique du plasma froid n'est pas fonction du vecteur d'onde $\mathbf {k}$ et ne peut donc pas être source, contrairement au modèle chaud, de dispersion spatiale.

Equation d'onde générale de plasma froid

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{\begin{pmatrix}S-n^{2}\cos ^{2}(\theta )&-iD&n^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )\\iD&S-n^{2}&0\\\cos(\theta )\sin(\theta )&0&P-n^{2}\sin ^{2}(\theta )\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {0}

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Equation d'Appleton-Hartree

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n^{2}=1-{\frac {2(A-B+C)}{2A-B\pm {\sqrt {B^{2}-4AC}}}}

avec

A=S\sin ^{2}\theta +P\cos ^{2}\theta ,\qquad B=RL\sin ^{2}\theta +SP(1+\cos ^{2}\theta ),\qquad C=PRL

Démonstration de l'équation d'Appleton-Hartree

Test

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Propagation dans un plasma non-magnétisé

L'équation d'onde générale du plasma froid se simplifie grandement si le plasma est non-magnétisé ( $\mathbf {B} _{0}=\mathbf {0}$ ), puisque alors $D=0$ et $S\to P$ . En prenant $\theta =0$ (i.e. $\mathbf {k} =k{\hat {\mathbf {z} }}$ ), l'équation devient

{\begin{pmatrix}P-n^{2}&0&0\\0&P-n^{2}&0\\0&0&P\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {0}

.

Le choix de $\theta$ n'a ici pas d'influence sur les modes du plasma et est choisi nul arbitrairement par soucis de simplification. Cette propriété vient du fait qu'en l'absence de champ magnétique le milieu est isotrope ; la distinction entre modes dépend alors seulement de l'orientation de la polarisation par rapport au vecteur d'onde.

Onde de Langmuir

$PE_{z}=0$ c'est-à-dire $P=0$

$\omega ^{2}=\omega _{p}^{2}$

ondes sont créées lorsqu'on écarte localement le plasma de la neutralité de charge

Ce n'est pas un mode propagatif car $v_{\phi }=0$

Mode électromagnétique

Lorem ipsum dolor sit amet, $(P-n^{2})E_{x}=(P-n^{2})E_{y}=0$ consectetur adipiscing elit. Vestibulum porta consectetur enim ac elementum. Vestibulum mattis eros at magna mattis, vel condimentum libero posuere. Mauris egestas ultrices neque non imperdiet. Maecenas rhoncus magna arcu, quis tempor augue maximus ut. Sed in molestie sapien, vel elementum turpis. Ut id nisi eu felis accumsan imperdiet sit amet vel nisi. Nunc vel hendrerit dolor. Cras fringilla odio justo, et finibus risus condimentum facilisis. Praesent aliquam velit laoreet, malesuada odio vitae, imperdiet massa. Vestibulum sollicitudin posuere ligula vitae ultrices. Pellentesque facilisis pharetra justo, vitae luctus eros. Aenean justo neque, tempus id sagittis eu, dictum sit amet massa. Aenean id nisi faucibus, finibus sapien id, laoreet nunc.

\omega ^{2}=k^{2}c^{2}+\omega _{p}^{2}

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Propagation perpendiculaire au champ magnétique

${\begin{pmatrix}S&-iD&0\\iD&S-n^{2}&0\\0&0&P-n^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {0}$

Mode O

$(P-n^{2})E_{z}=0$

Mode X

Propagation parallèle au champ magnétique

La propagation parallèle dans un plasma magnétisé correspond au cas particulier $\theta =0$ , c'est à dire $\mathbf {k} \parallel \mathbf {B} _{0}$ . L'équation d'onde prend alors la forme:

{\begin{pmatrix}S-n^{2}&-iD&0\\iD&S-n^{2}&0\\0&0&P\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{pmatrix}}=\mathbf {0}

.

Cette structure de la matrice de dispersion assure un découplage de la composante parallèle du champ électrique $E_{z}$ des composantes perpendiculaires $E_{x}$ et $E_{y}$ . Correspond aux ondes de Langmuir Ces oscillations le long de $\mathbf {B} _{0}$ ne sont pas ne sont pas affectées par la présence du champ magnétique. Comme il n'y a pas de propagation d'ondes dans ce cas, ces oscillations du plasma ne constituent pas un mode de propagation.

Mode L

$n^{2}=L$ , $E_{y}=iE_{x}$ sens horaire. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Vestibulum porta consectetur enim ac elementum. Vestibulum mattis eros at magna mattis, vel condimentum libero posuere. Mauris egestas ultrices neque non imperdiet. Maecenas rhoncus magna arcu, quis tempor augue maximus ut. Sed in molestie sapien, vel elementum turpis. Ut id nisi eu felis accumsan imperdiet sit amet vel nisi.

$\omega ^{2}=k^{2}c^{2}+\omega \sum _{s}{\frac {\omega _{ps}^{2}}{\omega -\Omega _{cs}}}$

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Mode R

$n^{2}=R$ , $E_{y}=-iE_{x}$ sens trigonométrique. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Vestibulum porta consectetur enim ac elementum. Vestibulum mattis eros at magna mattis, vel condimentum libero posuere. Mauris egestas ultrices neque non imperdiet. Maecenas rhoncus magna arcu, quis tempor augue maximus ut. Sed in molestie sapien, vel elementum turpis. Ut id nisi eu felis accumsan imperdiet sit amet vel nisi.

$\omega ^{2}=k^{2}c^{2}+\omega \sum _{s}{\frac {\omega _{ps}^{2}}{\omega +\Omega _{cs}}}$

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Résumé

Condition	Polarisation	Relation de dispersion		Nom
Condition	Polarisation	Notation de Stix	Détail	Nom
$\mathbf {k} \parallel \mathbf {B} _{0}$	${\begin{cases}E_{y}=iE_{x}\\E_{z}=0\end{cases}}$	$n^{2}=L$	$\omega ^{2}=k^{2}c^{2}+\omega \sum _{s}{\frac {\omega _{ps}^{2}}{\omega -\Omega _{cs}}}$	Onde gauche (L)
	${\begin{cases}E_{y}=-iE_{x}\\E_{z}=0\end{cases}}$	$n^{2}=R$	$\omega ^{2}=k^{2}c^{2}+\omega \sum _{s}{\frac {\omega _{ps}^{2}}{\omega +\Omega _{cs}}}$	Onde droite (R)
	${\begin{cases}E_{x}=0\\E_{y}=0\end{cases}}$	$P=0$	$\omega ^{2}=\omega _{p}^{2}$	Onde de Langmuir
$\mathbf {B} _{0}=\mathbf {0}$	$\mathbf {E} \times \mathbf {k} =\mathbf {0}$	$P=0$	$\omega ^{2}=\omega _{p}^{2}$	Onde de Langmuir
$\mathbf {B} _{0}=\mathbf {0}$	$\mathbf {E} \cdot \mathbf {k} =0$	$n^{2}=P$	$\omega ^{2}=k^{2}c^{2}+\omega _{p}^{2}$	Onde électromagnétique
$\mathbf {k} \perp \mathbf {B} _{0}$	${\begin{cases}E_{x}=0\\E_{y}=0\end{cases}}$	$n^{2}=P$	$\omega ^{2}=k^{2}c^{2}+\omega _{p}^{2}$	Onde ordinaire (O)
$\mathbf {k} \perp \mathbf {B} _{0}$	${\begin{cases}E_{y}=-i{\frac {D}{S}}E_{x}\\E_{z}=0\end{cases}}$	$n^{2}={\frac {RL}{S}}$		Onde extraordinaire (X)

Ondes de plasma chaud

Modification du tenseur diélectrique

Exemples

Mode de Bohm-Gross

Mode électromagnétique

Références

R. Dumont, « Waves in Plasmas », 2017.
T.H. Stix, « Waves in Plasmas », 1992.
D.G. Swanson, « Plasma Waves », 2003, 2^e édition.

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