Relation de dispersion

En physique théorique, une relation de dispersion est une relation entre la pulsation $\omega$ et le vecteur d'onde ${\vec {k}}$ d'une onde monochromatique.

Par extension, la dualité onde-corpuscule de la physique quantique conduit à l'introduction de relation de dispersion pour une particule, comme relation entre son énergie $E$ et sa quantité de mouvement ${\vec {p}}$.

Exemples

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu non dispersif

Un milieu non dispersif est caractérisé par un indice $n$ indépendant de la pulsation. La relation de dispersion s'écrit

$$\omega ={\frac {c}{n}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert .$$

avec ${\vec {\textbf {k}}}$ le vecteur d'onde. La vitesse de phase est alors constante, ${\textstyle V_{\varphi }={\dfrac {\omega }{\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}={\dfrac {c}{n}}}$, et est égale à la vitesse de groupe :

$$V_{g}={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}\omega ={\dfrac {c}{n}}.$$

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu dispersif

Dans un milieu dispersif, l'indice optique $n$ dépend de la pulsation $\omega$. La relation de dispersion devient

$$\omega ={\frac {c}{n(\omega )}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert$$

avec ${\vec {\textbf {k}}}$ le vecteur d'onde. La vitesse de phase dépend alors explicitement de la pulsation, soit :

$$V_{\varphi }={\dfrac {\omega }{\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}={\dfrac {c}{n(\omega )}}$$

La vitesse de groupe n'est en général plus égale à la vitesse de phase, mais lui est reliée par la relation de Rayleigh :

$$V_{g}={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}\omega ={\dfrac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}(\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert V_{\varphi })=V_{\varphi }+\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}\Vert {\vec {\textbf {k}}}\Vert }}V_{\varphi }$$

Particule non relativiste de masse m

En notant : $p=||{\vec {p}}||$, la relation de dispersion s'écrit :

$E\ =\ {\frac {p^{2}}{2m}}+mc^{2}$

Particule relativiste de masse m

La relation d'Einstein est la relation de dispersion relativiste obtenue à partir du carré la norme du quadrivecteur énergie-quantité de mouvement.

Elle est donnée par :

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$,

d'où, pour une particule de masse $m$ non nulle :

$E\ =\ {\sqrt {p^{2}\,c^{2}\ +\ m^{2}\,c^{4}\ }}$

Particule relativiste de masse nulle

$E\ =\ p\,c$

Voir aussi

Bibliographie

• [Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc et Grynberg 2001] Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc et Gilbert Grynberg, Photons et atomes : introduction à l'électrodynamique quantique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », juillet 2001, 2^e éd. (1^re éd. janvier 1987), 1 vol., XVI-473 p., 15,5 × 23 cm (ISBN 2-86883-535-X et 2-222-03966-5, EAN 9782868835352, OCLC 48459911, BNF 37714466, DOI 10.1051/978-2-7598-0135-0, SUDOC 007051026, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon (préf. Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », mai 2010 (réimpr. mars 2011), 1^re éd., 1 vol., XXVI-776 p., 15,5 × 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4 et 978-2-271-07018-0, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, BNF 41411713, DOI 10.1051/978-2-7598-0923-3, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Karevski 2022] Dragi Karevski, Physique quantique des champs et des transitions de phase, Paris, Ellipses, coll. « Références sciences », 15 février 2022, 1^re éd., 1 vol., 684 p., 19 × 24 cm (ISBN 978-2-340-06407-2, EAN 9782340064072, OCLC 1302196841, BNF 46970143, SUDOC 260823066, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Semay et Silvestre-Brac 2021] Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et application, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », novembre 2021, 4^e éd. (1^re éd. octobre 2005), 1 vol., X-309 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-082836-4, EAN 9782100828364, OCLC 1286364270, BNF 46915115, SUDOC 258655097, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Vafa 2021] Cumrun Vafa (trad. de l'anglais par Michel Le Bellac, préf. Étienne Klein), L'Univers décrypté par les énigmes [« Puzzles to unravel the Universe »], Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », octobre 2021, 1^re éd., 1 vol., XVI-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2594-3, EAN 9782759825943, OCLC 1282197253, BNF 46879352, SUDOC 258258314, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

• Électrodynamique des milieux continus
• Théorie quantique des champs
• Dispersion