Trigonalisation

En algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients dans un corps K est dite trigonalisable (ou triangularisable) sur K si elle est semblable à une matrice triangulaire T à coefficients dans K, via une matrice de passage P elle aussi à coefficients dans K :

Trigonaliser (on dit aussi triangulariser) A sur K consiste à trouver de telles matrices T et P. Cela est possible (on dit alors que A est trigonalisable) si et seulement si le polynôme caractéristique de A est scindé sur K. Par exemple, si A est à coefficients réels, elle est trigonalisable sur ℝ si et seulement si toutes ses valeurs propres (complexes a priori) sont réelles.

Dans la suite, on se donne un entier n > 0 et désignera l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K.

Matrices triangulairesModifier

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est-à-dire une matrice de la forme

 

De même, une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.

Endomorphismes et matrices trigonalisablesModifier

  • Soit  , on dit que   est une matrice trigonalisable[1] s'il existe une matrice inversible   et une matrice triangulaire supérieure   telles que :
      (ou, ce qui est équivalent :  ).
    Cela revient à dire que   est semblable dans   à une matrice triangulaire supérieure (ou à une matrice triangulaire inférieure, ce qui est équivalent[2]).
    En particulier :
    • toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable (il suffit de choisir    est la matrice identité de dimension  ) ;
    • toute matrice diagonalisable est a fortiori trigonalisable (car une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire).
  • Soient   un  -espace vectoriel de dimension finie et   un endomorphisme de  . On dit que   est un endomorphisme trigonalisable s'il existe une base de   dans laquelle la matrice de   est triangulaire supérieure.
  • Ces deux définitions sont reliées par le fait qu'un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans au moins une base de   est trigonalisable ; dans ce cas, sa matrice dans n'importe quelle base de   est trigonalisable.

Conditions de trigonalisationModifier

Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :

Théorème de décomposition de Schur — Toute matrice carrée complexe est trigonalisable dans une base orthonormée.

  • Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.

NotesModifier

  1. Pour des exemples, voir par exemple la leçon sur Wikiversité.
  2. a et b Pour une démonstration, voir par exemple la leçon sur Wikiversité.

Voir aussiModifier

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