Matrice identité

matrice carrée dont les coefficients valent 1 sur la diagonale et 0 partout ailleurs, élément unité de l'anneau des matrices carrées

En mathématiques, plus précisement en algèbre linéaire, une matrice identité ou matrice unité est une matrice carrée diagonale dont la diagonale principale est remplie de , et dont les autres coefficients valent . Elle peut s'écrire :

La matrice identité de taille se note [N 1] :

Il est possible de noter les coefficients de la matrice identité d'ordre avec le delta de Kronecker :

avec

PropriétésModifier

Les matrices identité sont des matrices unitaires et sont donc inversibles et normales.

Pour toute matrice   à   lignes et   colonnes :

 

La matrice identité représente l'application identité dans n'importe quelle base. Tout comme cette dernière n'a aucun effet par composition avec une application linéaire donnée, la matrice identité n'a aucun effet par produit avec une matrice. En particulier,   est l'élément neutre pour la multiplication des matrices carrées d'ordre  .

Une matrice identité de taille   vérifie les propriétés suivantes :

  • Son rang vaut   ;
  • Son inverse est elle-même :   ;
  • Son conditionnement vaut   ;
  • Son déterminant vaut   ;
  • Son polynôme caractéristique est   ;
  • Son unique valeur propre est   de multiplicité   ;
  • Sa trace vaut   ;
  • En normes :
    • Sa norme   vaut :   ;
    • Sa norme   vaut :   ;
    • Sa norme   vaut :  .

Lien avec la matrice videModifier

La matrice vide carrée de taille   est une matrice unité, notée   ou  . Elle représente l'application identité de l'espace nul.

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Si l'ordre n'est pas précisé, ou qu'il est implicitement déterminé par le contexte, elle est simplement notée  .

Voir aussiModifier