Théorème de factorisation

En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'une structure quotient $X/R$ dans un autre espace $Y$ à partir d'un morphisme de $X$ vers $Y$, de façon à factoriser ce dernier par la surjection canonique de passage au quotient.

Diagramme commutatif représentant les morphismes du théorème de factorisation

Le cas des ensembles

Soit $X$ un ensemble muni d'une relation d'équivalence $R$ et $s:X\to X/R$ la surjection canonique.

Théorème —  Soit $f:X\to Y$ une application telle que (pour toute paire d'éléments x, x' dans X)

$xRx'\Rightarrow f(x)=f(x')$.

Alors, il existe une unique application

$g:X/R\to Y{\text{ telle que }}f=g\circ s$.

De plus :

• $g$ est injective si et seulement si, réciproquement, $f(x)=f(x')\Rightarrow xRx'$ (et donc si $f(x)=f(x')\Leftrightarrow xRx'$) ;
• $g$ est surjective si et seulement si $f$ est surjective ;
• $g$ est bijective si $f$ est surjective et si $xRx'\Longleftrightarrow f(x)=f(x')$.

Démonstration

• L'unicité de g est immédiate et guide la preuve de son existence, dont voici plusieurs variantes :
  • Preuve « naïve » : pour tout élément $z=s(x)\in X/R$, on pose $g(z)=f(x)$. Si $z=s(x')$ pour un élément $x'$ équivalent à $x$, on a $f(x)=f(x')$ par hypothèse. Donc $g$ est bien définie. Par construction, f = g∘s.
  • Formalisation de la preuve « naïve », rendant plus manifeste l'utilisation de l'axiome du choix : soit t une section de s (c'est-à-dire une application qui à chaque classe associe un élément de cette classe). On pose g = f∘t. Alors, pour tout élément x de X, (t∘s)(x) R x donc f((t∘s)(x)) = f(x), c'est-à-dire (g∘s)(x) = f(x) ; on a donc bien f = g∘s.
  • Preuve sans axiome du choix : par hypothèse, f envoie tous les éléments d'une classe z sur un même élément y de Y. L'assignation z ↦ y définit alors l'application g qui convient.
  • Formalisation de la preuve sans axiome du choix : en notant F et S les graphes de f et s, la relation binaire G = F ∘ S⁻¹ (définie par : zGy s'il existe un x tel que z = s(x) et f(x) = y) est fonctionnelle et définit l'application g qui convient.
• Si f est surjective, l'égalité f = g∘s implique que g est aussi surjective.
• Supposons que $xRx'$ est équivalent à $f(x)=f(x')$. Soient $z_{1}=s(x_{1}),z_{2}=s(x_{2})$ tels que $g(z_{1})=g(z_{2})$. Alors $f(x_{1})=f(x_{2})$, donc $x_{1}Rx_{2}$ et $z_{1}=s(x_{1})=s(x_{2})=z_{2}$. Ce qui veut dire que $g$ est injective.
• La dernière propriété résulte des deux précédentes.

(La réciproque est moins utile mais immédiate : pour toute application g : X/R → Y, la composée f = g∘s vérifie x R x' ⇒ f(x) = f(x').)

Ce théorème peut se spécialiser à un certain nombre de structures algébriques ou topologiques.

Le cas des groupes

Sur un groupe $G$, on considère la relation d'équivalence définie par un sous-groupe normal $H$ de $G$ : $xRx'$ si $x\in x'H$. Alors, la surjection canonique $s:G\to G/H=G/R$ est un morphisme de groupes et le théorème de factorisation s'énonce

Théorème —  Soit $f:G\to K$ un morphisme de groupes. Si $H$ est contenu dans le noyau de $f$, alors il existe un unique morphisme de groupes $g:G/H\to K$ tel que $f=g\circ s$. De plus :

• $g$ est surjectif si $f$ est surjectif ;
• $g$ est injectif si on a $H=\ker f$ ;
• $g$ est un isomorphisme si $f$ est surjectif et $H=\ker f$.

Démonstration

L'existence de $g$ est assurée par le théorème général plus haut. Le fait que $g$ soit un morphisme de groupes vient du fait que $f$ et $s$ sont des morphismes de groupes.

Si $H=\ker f$, alors $f(x_{1})=f(x_{2})$ si et seulement si $x_{1}x_{2}^{-1}\in \ker f=H$. Cette dernière condition équivaut à $x_{1}Rx_{2}$. D'après le théorème général, $g$ est injective.

Le cas des espaces vectoriels

On considère un espace vectoriel $E$ et la relation d'équivalence définie par un sous-espace vectoriel $H$ : $xRx'$ si $x-x'\in H$. Alors, la surjection canonique $s:E\to E/H=E/R$ est linéaire.

Théorème —  Soit $f:E\to F$ une application linéaire. Si $H$ est contenu dans le noyau de $f$, alors il existe une unique application linéaire $g:E/H\to F$ telle que $f=g\circ s$. De plus :

• $g$ est surjective si $f$ est surjective ;
• $g$ est injective si on a $H=\ker f$ ;
• $g$ est un isomorphisme si $f$ est surjective et $H=\ker f$.

Le cas des anneaux

On considère un anneau $A$ et la relation d'équivalence définie par un idéal bilatère $I$ de $A$ : $xRx'$ si $x-x'\in I$. Alors, la surjection canonique $s:A\to A/I=A/R$ est un morphisme d'anneaux.

Théorème —  Soit $f:A\to B$ un morphisme d'anneaux. Si $I$ est contenu dans le noyau de $f$, alors il existe un unique morphisme d'anneaux $g:A/I\to B$ tel que $f=g\circ s$. De plus :

• $g$ est surjectif si $f$ est surjectif ;
• $g$ est injectif si on a $I=\ker f$ ;
• $g$ est un isomorphisme si $f$ est surjectif et $I=\ker f$.

Le cas des espaces topologiques

Soit $X$ un espace topologique muni d'une relation d'équivalence $R$ et $s:X\to X/R$ la surjection canonique. On munit $X/R$ de la topologie quotient. Soit $f:X\to Y$ une application continue.

Théorème —  Si pour tout couple $xRx'$ dans $X$, on a $f(x)=f(x')$, alors il existe une unique application continue $g:X/R\to Y$ telle que $f=g\circ s$. De plus :

• $g$ est surjective si $f$ est surjective ;
• $g$ est injective si on a $xRx'$ équivalent à $f(x)=f(x')$ ;
• $g$ est ouverte (resp. fermée) si $f$ est ouverte (resp. fermée) ;
• $g$ est un homéomorphisme si $f$ est surjective et ouverte ou fermée, et si $xRx'\Longleftrightarrow f(x)=f(x')$.

Démonstration

La continuité de $g$ résulte immédiatement des propriétés générales de la topologie quotient. Pour toute partie $F$ de $X/R$, on a $g(F)=f(s^{-1}(F))$, cela implique la propriété sur les applications ouvertes ou fermées.

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