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Théorème de Rouché

théorème d'analyse complexe
Ne doit pas être confondu avec le théorème de Rouché-Fontené en algèbre linéaire.

En analyse complexe, le théorème de Rouché[1] est un énoncé portant sur les zéros et les pôles des fonctions méromorphes. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Eugène Rouché.

ÉnoncéModifier

Soit   un ouvert simplement connexe, soient   et   deux fonctions méromorphes sur   avec un ensemble fini   de zéros et de pôles. Soit   un lacet simple positivement orienté à image dans   formant le bord   d'un compact  . Si pour tout   on a

 

alors

 

  et   sont respectivement le nombre de zéros et de pôles de   (en tenant compte de leur multiplicité) contenus dans  .

ExempleModifier

Considérons les deux fonctions   et   définies comme suit :

 
 

et considérons pour lacet le cercle positivement orienté  . On vérifie sur ce lacet que :

 

et

 

On peut donc appliquer le théorème de Rouché :

 

puisque   et   n'ont pas de pôle. Par ailleurs,   a un zéro triple à l'origine ce qui nous indique donc que la fonction   admet trois zéros dans le disque ouvert  .

DémonstrationModifier

Si   pour tout  , alors   et   ne s'annulent pas sur   (sinon l'inégalité stricte ne pourrait pas être vérifiée). Soit   la fonction méromorphe sur  , holomorphe et ne s'annulant pas sur   définie par :

 

On a pour tout  

 

L'image de   par   est donc contenue dans le disque ouvert de rayon 1 et de centre 1   et par conséquent elle ne tourne pas autour de l'origine. En appliquant le principe de l'argument on a donc :

 

D'autre part, on a

 

Par conséquent,

 

Finalement, en utilisant à nouveau le principe de l'argument, on obtient

 

ApplicationsModifier

Démonstration du théorème fondamental de l'algèbreModifier

Soit un polynôme   à valeurs dans   et défini par :

 

en supposant  . Soit   suffisamment grand pour que pour tout   (cercle de rayon R) on ait :

 

(par exemple   convient).

Étant donné que   admet un zéro d'ordre   à l'origine,   doit admettre   zéros dans le disque ouvert   par application du théorème de Rouché.

BibliographieModifier

Articles connexesModifier

RéférencesModifier