Théorème de Rouché

théorème d'analyse complexe

En analyse complexe, le théorème de Rouché[1] est un énoncé portant sur les zéros et les pôles des fonctions méromorphes. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Eugène Rouché.

ÉnoncéModifier

Soit   un ouvert simplement connexe, soient f et g deux fonctions méromorphes sur   avec un ensemble fini   de zéros et de pôles. Soit γ un lacet simple à image dans   formant le bord   d'un compact  . Si

  pour tout point z de γ

alors

 

  et   sont respectivement le nombre de zéros et de pôles de   (en tenant compte de leur multiplicité) contenus dans  .

ExempleModifier

Considérons les deux fonctions polynomiales f et g définies par :

 

et considérons pour lacet le cercle  . On vérifie que sur ce lacet :

 

et

 .

On peut donc appliquer le théorème de Rouché :

 

puisque f et g n'ont pas de pôle. Par ailleurs, g a un zéro triple à l'origine, ce qui nous indique donc que la fonction f admet trois zéros dans le disque ouvert  .

DémonstrationModifier

Si   pour tout  , alors f et g ne s'annulent pas sur   (sinon l'inégalité stricte ne pourrait pas être vérifiée). Soit h la fonction méromorphe sur  , holomorphe et ne s'annulant pas sur   définie par :

 .

Pour tout point z de γ,

 .

L'image de   par   est donc contenue dans le disque ouvert de rayon 1 et de centre 1   et par conséquent elle ne tourne pas autour de l'origine. En appliquant le principe de l'argument on a donc :

 .

D'autre part,

 .

Par conséquent,

 .

Finalement, en utilisant à nouveau le principe de l'argument, on obtient

 .

ApplicationsModifier

Démonstration du théorème fondamental de l'algèbreModifier

Soit un polynôme   à valeurs dans   et défini par :

 

en supposant  . Soit   suffisamment grand pour que pour tout   (cercle de rayon R) on ait :

 

(par exemple   convient).

Étant donné que   admet un zéro d'ordre   à l'origine,   doit admettre   zéros dans le disque ouvert   par application du théorème de Rouché.

GénéralisationsModifier

Un siècle plus tard, Theodor Estermann[2] a affaibli l'hypothèse   de Rouché, obtenant :

Soient f et g deux fonctions méromorphes à l'intérieur d'un lacet simple rectifiable γ et continues au bord, et telles que

  pour tout point z de γ.

Alors, comme ci-dessus,

 [3].

RéférencesModifier

  1. Journal de l'École polytechnique, 1862, p. 217-218.
  2. (en) T. Estermann, Complex Numbers and Functions, Athlone Press, London, 1962, p. 156.
  3. (en) I-Hsiung Lin, Classical Complex Analysis: A Geometric Approach, vol. 1, World Scientific, (ISBN 978-9-81426123-4, lire en ligne), p. 558.

Voir aussiModifier

Article connexeModifier

Théorème de Hurwitz sur les suites de fonctions holomorphes

BibliographieModifier