Théorème de Hurwitz sur les suites de fonctions holomorphes

En mathématiques et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Hurwitz associe les zéros d'une suite de fonctions holomorphes uniformément convergentes sur tout compacts avec leur limite correspondante. Le théorème est nommé d'après Adolf Hurwitz.

Théorème

Soit {f_k} une suite de fonctions holomorphe sur un ensemble G ouvert et connexe qui converge uniformément sur les sous-ensembles compacts de G vers une fonction holomorphe f qui n'est pas nulle sur G. Si f a un zéro d'ordre m en z₀ alors pour tout ρ > 0 suffisamment petit et pour k ∈ N (qui dépend de ρ) suffisamment grand, f_k a précisément m zéros dans le disque défini par |z−z₀| < ρ, incluant la multiplicité. De plus, ces zéros convergent vers z₀ lorsque k → ∞.

Remarques

Ce théorème ne garantit pas que le résultat est aussi vrai pour des disques arbitraires. En effet, si un disque est choisi tel que les zéros de f sont sur son bord, alors le théorème ne s'applique pas. Un exemple explicite est de considérer le disque unité D et la suite définie par

$f_{n}(z)=z-1+{\frac {1}{n}},\qquad z\in \mathbb {C}$

qui converge uniformément vers f(z) = z−1. La fonction f(z) n'a aucun zéro dans D; cependant, chaque f_n a exactement un zéro dans le disque correspondant à la valeur réelle 1−(1/n).

Applications

Le théorème d'Hurwitz est utilisé dans la preuve du théorème d'application conforme, et a aussi les deux corollaires suivant comme conséquences immédiates :

• Soit G un ensemble ouvert et connexe et {f_n} une suite de fonctions holomorphe qui converge uniformément sur les sous-ensembles compacts de G vers une fonction holomorphe f. Si toutes les fonctions f_n sont non nulles en tout point de G, alors f est soit nulle, soit non nulle en tout point de G.
• Si {f_n} est une suite de fonctions univalentes sur un ensemble G ouvert et connexe qui converge uniformément sur les sous-ensembles compacts de G vers une fonction holomorphe f, alors f est soit univalente soit constante.

Preuve

Soit f une fonction analytique sur un sous-ensemble ouvert du plan complexe avec un zéro d'ordre m en z₀, et supposons que {f_n} est une suite de fonctions qui converge uniformément sur des sous-ensembles compacts vers f. Fixons ρ > 0 tel que f(z) ≠ 0 dans 0 < |z−z₀| ≤ ρ. Choisissons δ tel que|f(z)| > δ pour z sur le cercle |z−z₀| = ρ. Étant donné que f_k(z) converge uniformément sur le disque que nous avons choisi, nous pouvons trouver N tel que |f_k(z)| ≥ δ/2 pour tout k ≥ N et tout z sur le cercle, assurant que le quotient f_k′(z)/f_k(z) est bien défini pour tout z sur le cercle |z−z₀| = ρ. Grâce au théorème de Morera, nous avons une convergence uniforme :

${\frac {f_{k}'(z)}{f_{k}(z)}}\to {\frac {f'(z)}{f(z)}}.$

Notons N_k le nombre de zéros de f_k(z) dans le disque, et appliquons le principe de l'argument pour trouver

$m={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'_{k}(z)}{f_{k}(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }N_{k}$

Dans l'étape ci-dessus, l'intégrale et la limite ont pu être échangées grâce à la convergence uniforme de l'intégrande. Nous avons montré que N_k → m lorsque k → ∞. Étant donné que les N_k sont des entiers, N_k doit être égal à m pour k suffisamment grand.

Articles connexes

• Théorème de Rouché

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hurwitz's theorem (complex analysis) » (voir la liste des auteurs).
• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, New York, 1978.
• E. C. Titchmarsh, The Theory of Functions, second edition (Oxford University Press, 1939; reprinted 1985), p. 119.
• (en) « Théorème de Hurwitz sur les suites de fonctions holomorphes », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)