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En analyse complexe, le principe de l'argument (parfois appelé théorème de l'argument[1]) relie la différence entre le nombre de zéros et de pôles d'une fonction méromorphe par rapport à une intégrale curviligne de sa dérivée logarithmique.

Sommaire

ÉnoncéModifier

 
Un lacet simple et positivement orienté C (en noir), les zéros de   (en bleu) et les poles de   (en rouge).

Soit   une fonction méromorphe sur un ouvert   simplement connexe dont l'ensemble   des zéros et des pôles est fini. Alors pour tout lacet   à image dans  ,

 

  est la valuation de   en   c'est-à-dire l'ordre de   si   est un zéro et l'opposé de l'ordre de   si c'est un pôle et   est l'indice du point par rapport au lacet.

Si   est un lacet simple positivement orienté formant le bord   d'un compact  , la relation ci-dessus se réécrit :

 

  et   représentent respectivement le nombre de zéros et de pôles de   dans   comptés avec leur multiplicité.

Interprétation géométriqueModifier

Le principe de l'argument permet de compter le nombre de tours que fait l'image de   par   autour de l'origine. C'est sur cette notion que se base notamment la démonstration du théorème de Rouché.

Considérons en effet le terme  , et posons  , où l'on peut supposer que   est fonction du paramètre t, variant entre 0 et 1. Par définition de l'intégrale curviline,

 .

Mais cette expression définit justement l'indice du chemin  , qui s'interprète comme le nombre de « tours » effectués par le point   autour de 0, lorsque t varie entre 0 et 1, ou ce qui revient au même, lorsque   est « revenu » à son point de départ.

Ainsi, E représente le nombre (algébrique) de tours effectués autour de l'origine par f(z), lorsque z se meut sur le chemin  , jusqu'à être revenu à son point d'origine.

 
Figure 1 : Premier cas pour la fonction  . En bleu le lacet   avec  , en rouge l'image de ce lacet par la fonction. On s'aperçoit que cette dernière effectue trois tours autour de l'origine (dans le sens anti-trigonométrique).
 
Figure 2 : Second cas pour la fonction  . En bleu le lacet   avec  , en rouge l'image de ce lacet par la fonction. On s'aperçoit que cette dernière effectue deux tours autour de l'origine (dans le sens anti-trigonométrique).

ExemplesModifier

Soit la fonction   ayant deux zéros simples en   (la valuation de ces deux points est +1) et définie par :

 .

Considérons le lacet le plus simple : le cercle   centré à l'origine et de rayon  , il y a deux cas à considérer :

  • tout d'abord, si  , alors l'indice des deux zéros est nul et l'image du lacet par   ne tourne pas autour de l'origine ;
  • l'autre cas est :  , alors l'indice des deux zéros est égal à 1 et l'image du lacet par   tourne deux fois autour de l'origine en effet :
 .


Considérons à présent la fonction   ayant un pôle triple à l'origine et un zéro simple en   (les valuations de ces deux points sont respectivement   et  ) et définie par :

 .

En considérant comme ci-dessus le cercle  , nous avons à nouveau deux cas à considérer :

  • si  , alors l'indice du zéro simple est nul, et il ne reste que le pôle triple à considérer, l'image du lacet par la fonction   tourne  trois fois (trois fois dans le sens anti-trigonométrique) autour de l'origine ;
  • si  , on doit considérer le zéro et le pôle et donc l'image du lacet par la fonction   tourne  deux fois autour de l'origine.

Ces deux cas sont illustrés par les figures 1 et 2 ci-contre.

DémonstrationModifier

Par hypothèse,   et   est holomorphe sur   donc   (quotient de deux fonctions holomorphes) est également holomorphe sur  .

  est simplement connexe donc le lacet   est homotope à un point dans  ; ainsi, on peut donc appliquer le théorème des résidus :

 .

Pour  , on a, au voisinage de   :

 

  est holomorphe et ne s'annule pas sur un voisinage de   et   est la valuation de  .

On a donc :

 

dont on tire :

 .

Le quotient ci-dessus a un pôle simple en   puisque   est holomorphe et ne s'annule pas au voisinage de  . On peut maintenant calculer le résidu en   :

 ,

avec  . En insérant ce dernier résultat dans la première équation, nous obtenons finalement :

 .

ApplicationsModifier

Des ouvrages d'automatique utilisent assez fréquemment ce principe comme base théorique pour le critère de stabilité de Nyquist (en). La thèse originale de 1932 de Harry Nyquist[2] fait usage d'une approche plutôt maladroite et primitive pour développer le critère de stabilité. Dans sa thèse, H. Nyquist ne mentionnait pas le principe de l'argument. Par la suite, Leroy MacColl[3] et Hendrik Bode[4] sont partis du principe de l'argument pour déterminer le critère de stabilité, approche qui est utilisée actuellement dans bon nombre d'ouvrages d'analyse complexe ou d'automatique.

RéférencesModifier

  1. Murray R. Spiegel, Variables complexes, McGraw-Hill, 1973 (ISBN 978-2-7042-0020-7).
  2. (en) H. Nyquist, « Regeneration theory », Bell System Technical Journal, vol. 11, 1932, p. 126-147.
  3. (en) Leroy MacColl, Fundamental Theory of Servomechanisms, 1945.
  4. (en) Hendrik Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Design, 1945.

Voir aussiModifier