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En analyse complexe, on appelle zéro d'une fonction holomorphe un nombre complexe tel que .

Sommaire

Ordre de multiplicité d'un zéro isoléModifier

Dans toute cette section,   désigne un ouvert de ℂ,   une fonction holomorphe et   (élément de  ) un zéro de  .

Il existe un disque ouvert   inclus dans    se développe en série entière (de rayon de convergence au moins égal à  ) :

  (le terme constant est   et les autres coefficients sont  ).

Définition —   est un zéro isolé de   si c'est un point isolé de l'ensemble des zéros de  , c'est-à-dire si, dans un disque de centre   et de rayon suffisamment petit,   est le seul point où   s'annule.

Deux cas (seulement) sont possibles :

  • Si pour tout entier  ,  , alors
  :   est identiquement nulle sur   ;   est donc dans ce cas un zéro non isolé ;
  • Dans le cas contraire, soit   l'indice du premier coefficient non nul de la série entière (  et  ) : on peut écrire
 
  est définie par :
 
Cette fonction   est analytique et   est non nul.
Par continuité de   en  , il existe un réel strictement positif   tel que   ne s'annule pas sur  .
Finalement, pour tout élément   de   :
 
On en déduit que   est le seul point de    s'annule ;   est donc dans ce cas un zéro isolé.

On peut résumer ceci par la définition et le théorème suivants.

DéfinitionModifier

L'ordre de multiplicité (ou la multiplicité) d'un zéro isolé   de   est l'unique entier   tel que :

  • pour tout entier naturel  ,  
et
  •  

Lorsque  , on dit que   est un zéro simple.

ThéorèmeModifier

  •   est un zéro isolé d'ordre   de   (si et) seulement s'il existe une fonction holomorphe  , définie sur un disque ouvert   inclus dans  , telle que :
    •   et
    •  
  • Principe des zéros isolés : si   est un zéro non isolé de  , alors il existe un disque ouvert   inclus dans   sur lequel   est nulle.

RemarqueModifier

On définit en algèbre la notion analogue d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme non nul, dont celle qui vient d'être définie constitue une généralisation.

ExempleModifier

Soient   un nombre complexe et

 

Cette fonction est entière (c'est-à-dire holomorphe sur ℂ) et   en est un zéro isolé d'ordre 2.

On vérifie en effet que

 

ApplicationModifier

Du principe des zéros isolés on déduit le principe suivant, dont une démonstration est proposée dans l'article Prolongement analytique.

Principe du prolongement analytiqueModifier

Soient   un ouvert connexe de ℂ et deux fonctions   définies et holomorphes sur  .

Si l'ensemble   possède au moins un point non isolé, alors  .

Ou encore :

s'il existe un élément   de   et une suite   d'éléments de   distincts de  , convergeant vers  , tels que pour tout entier  ,  , alors

 .

ExempleModifier

Soit   un ouvert connexe de ℂ contenant un intervalle   de ℝ non réduit à un point : les points de   sont non isolés.

Si les fonctions   sont holomorphes sur   et coïncident sur  , alors elles coïncident sur  .

Cela signifie qu'une fonction de   dans ℂ admet au plus un prolongement analytique à un ouvert connexe   de ℂ contenant  .

  • Ainsi, la fonction exponentielle complexe est le seul prolongement analytique à ℂ de la fonction exponentielle réelle.
  • On suppose connue l'identité   pour tout couple de réels. On peut l'étendre par prolongement analytique à un couple quelconque de nombres complexes. En effet :
    • Soit   un réel quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes   en posant   et  . Ces deux fonctions coïncident sur ℝ, donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe  ,  , et cela pour tout réel   ;
    • Soit   un complexe quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes   en posant   et  . Ces deux fonctions coïncident sur ℝ (d'après le point précédent), donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe  ,  , et cela pour tout complexe z.

Nombre de zérosModifier

Le principe de l'argument permet de donner le nombre de zéros d'une fonction holomorphe, comptés avec multiplicité, inclus dans un disque.

Si F est holomorphe sur un voisinage d'un disque fermé D tel que F ne s'annule pas sur le bord du disque, la formule suivante donne le nombre de zéros de F, comptés avec multiplicité, dans le disque D :