Théorème de Gerschgorin

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En analyse numérique, le théorème de Gerschgorin est un résultat permettant de borner a priori les valeurs propres d'une matrice carrée. Il a été publié en 1931 par le mathématicien biélorusse Semion Gerschgorin[1],[Note 1]. Ce résultat est notamment utilisé dans le cas particulier des matrices stochastiques.

ÉnoncéModifier

Soit A une matrice complexe de taille n×n, de terme général (aij). Pour chaque indice de ligne i entre 1 et n on introduit le disque de Gerschgorin correspondant

 

qui constitue effectivement un disque dans le plan complexe, de rayon Ri = Σj ≠ i | aij |.

Théorème — Toute valeur propre de A appartient au moins à l'un des disques de Gerschgorin.

En appliquant le théorème à la matrice transposée de A, une nouvelle information est donnée sur la localisation des valeurs propres : elles se trouvent dans la réunion des disques de Gerschgorin associés aux colonnes

 

DémonstrationModifier

Soient λ une valeur propre de A et x = (x1, ..., xn) un vecteur propre associé. Pour i compris entre 1 et n, on a

 

Choisissons un indice i pour lequel le module de xi est maximal. Puisque x est un vecteur propre, |xi| est non nul et il est possible de former le quotient

 

Une variante de démonstration est de remarquer que 0 est valeur propre de   et d'utiliser un lemme d'Hadamard.

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Son nom peut être transcrit de diverses manières : Gershgorin, Geršgorin, Gerschgorin ou encore Guerchgorine.

RéférencesModifier

  1. (de) S. Gerschgorin, « Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix », Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, 1931, p. 749-754.

Voir aussiModifier

Article connexeModifier

Ovale de Cassini

BibliographieModifier

Liens externesModifier