Matrice à diagonale dominante

En algèbre linéaire, une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite à diagonale dominante lorsque le module de chaque terme diagonal est supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne. Si , on a alors :

De la même manière, A est dite à diagonale strictement dominante lorsque :

ExemplesModifier

La matrice

 

vérifie

 


C'est donc une matrice à diagonale dominante.

La matrice

 

vérifie

 

Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.

La matrice

 

vérifie

 

C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.

Lemme d'HadamardModifier

Le lemme « d'Hadamard »[1] est un cas particulier du théorème de Gerschgorin. Inversement, il peut servir de lemme pour démontrer ce dernier.

Si   est une matrice à diagonale strictement dominante alors A est inversible.

DémonstrationModifier

Soit A à diagonale strictement dominante et   tels que AX = 0. On a alors :

 

et il s'agit d'en déduire que X est nul.

Soit   tel que

 

On a  , d'où

 

Comme   on en déduit que  , autrement dit X = 0.

Note et référenceModifier

  1. Démontré par Lévy (1881) et Desplanques (1887), puis redécouvert par maints auteurs dont Minkowski (1900), Hadamard (1903) et Brauer (1946), cf. (en) Richard S. Varga, Geršgorin and His Circles, Springer, , 230 p. (ISBN 978-3-540-21100-6, lire en ligne), p. 31

Articles connexesModifier