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En analyse numérique, le théorème de Gerschgorin est un résultat permettant de borner a priori les valeurs propres d'une matrice carrée. Il a été publié en 1931 par le mathématicien biélorusse Semyon Aranovich Gershgorin. Ce résultat est notamment utilisé dans le cas particulier des matrices stochastiques. Son nom peut être transcrit de diverses manières : Gershgorin, Gerschgorin, Geršgorin, ou encore Gairchgorin .

Sommaire

Le théorèmeModifier

ÉnoncéModifier

Soit A une matrice complexe de taille n×n, de terme général (aij). Pour chaque indice de ligne i entre 1 et n on introduit le disque de Gerschgorin correspondant

 

qui constitue effectivement un disque dans le plan complexe, de rayon Ri.

Théorème : toute valeur propre de A appartient à l'un au moins des disques de Gerschgorin.

En appliquant le théorème à la matrice transposée de A, une nouvelle information est donnée sur la localisation des valeurs propres : elles se trouvent dans la réunion des disques de Gerschgorin associés aux colonnes

 

DémonstrationModifier

Soient λ une valeur propre de A et x = (x1, ..., xn) un vecteur propre associé. Pour i compris entre 1 et n, on a

 

Choisissons un indice i pour lequel le module de xi est maximal. Puisque x est un vecteur propre, |xi| est non nul et il est possible de former le quotient

 

Une variante de démonstration est de remarquer que 0 est valeur propre de   et d'utiliser un Lemme d'Hadamard.

RéférencesModifier

Voir aussiModifier