Théorème de Gerschgorin

En analyse numérique, le théorème de Gerschgorin est un résultat permettant de borner a priori les valeurs propres d'une matrice carrée. Il a été publié en 1931 par le mathématicien biélorusse Semion Gerschgorin[Note 1]. Ce résultat est notamment utilisé dans le cas particulier des matrices stochastiques.

Le théorèmeModifier

ÉnoncéModifier

Soit A une matrice complexe de taille n×n, de terme général (aij). Pour chaque indice de ligne i entre 1 et n on introduit le disque de Gerschgorin correspondant

 

qui constitue effectivement un disque dans le plan complexe, de rayon Ri = Σj ≠ i | aij |.

Théorème : toute valeur propre de A appartient à l'un au moins des disques de Gerschgorin.

En appliquant le théorème à la matrice transposée de A, une nouvelle information est donnée sur la localisation des valeurs propres : elles se trouvent dans la réunion des disques de Gerschgorin associés aux colonnes

 

DémonstrationModifier

Soient λ une valeur propre de A et x = (x1, ..., xn) un vecteur propre associé. Pour i compris entre 1 et n, on a

 

Choisissons un indice i pour lequel le module de xi est maximal. Puisque x est un vecteur propre, |xi| est non nul et il est possible de former le quotient

 

Une variante de démonstration est de remarquer que 0 est valeur propre de   et d'utiliser un Lemme d'Hadamard.

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Son nom peut être transcrit de diverses manières : Gershgorin, Geršgorin, Gerschgorin ou encore Guerchgorine.

RéférencesModifier

Voir aussiModifier

Article connexeModifier

Ovale de Cassini

Liens externesModifier