Loi uniforme continue

Uniforme
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Densité de probabilité

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Fonction de répartition

Paramètres
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode toute valeur dans
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités et en statistiques, les lois uniformes continues forment une famille de lois de probabilité à densité caractérisées par la propriété suivante : tous les intervalles de même longueur inclus dans le support de la loi ont la même probabilité. Cela se traduit par le fait que la densité de probabilités de ces lois est constante sur leur support.

La loi uniforme continue est une généralisation de la fonction rectangle à cause de la forme de sa fonction densité de probabilité. Elle est paramétrée par les plus petites et plus grandes valeurs a et b que la variable aléatoire uniforme peut prendre. Cette loi continue est souvent notée U(a, b).

CaractérisationModifier

DensitéModifier

La densité de probabilité de la loi uniforme continue est une fonction porte sur l'intervalle [a, b] :

 

Fonction de répartitionModifier

La fonction de répartition est donnée par

 

Fonctions génératricesModifier

Fonction génératrice des momentsModifier

La fonction génératrice des moments est

 

qui permet de calculer tous les moments non centrés, mk :

 
 
 

Ainsi, pour une variable aléatoire suivant cette loi, l'espérance est alors m1 = (a + b)/2 et la variance est m2 − m12 = (b − a)2/12.

Fonction génératrice des cumulantsModifier

Pour n ≥ 2, le n-ième cumulant de la loi uniforme sur l'intervalle [0, 1] est bn/n, où bn est le n-ième nombre de Bernoulli.

PropriétésModifier

Statistiques d'ordreModifier

Soit X1, ..., Xn un échantillon i.i.d. issu de la loi U(0, 1). Soit X(k) la k-ième statistique d'ordre de l'échantillon. Alors, la distribution de X(k) est une loi bêta de paramètres k et n − k + 1. L'espérance est

 

Ce fait est utile lorsqu'on construit une droite de Henry.

Les variances sont

 

L'aspect uniformeModifier

La probabilité qu'une variable uniforme tombe dans un intervalle donné est indépendante de la position de cet intervalle, mais dépend seulement de sa longueur, à condition que cet intervalle soit inclus dans le support de la loi. Ainsi, si X ≈ U(a, b) et que [x, x+d] est un sous-intervalle de [a,b], avec d > 0 fixé, alors

 

qui est indépendant de x. Ce fait motive la dénomination de cette loi.

Loi uniforme standardModifier

Le cas particulier a = 0 et b = 1 donne naissance à la loi uniforme standard, aussi notée U(0, 1). Il faut noter le fait suivant : si u1 est distribué selon une loi uniforme standard, alors c'est aussi le cas pour u2 = 1 – u1.

Loi uniforme sur l'ensemble AModifier

À toute partie A de   borélienne, dont la mesure de Lebesgue λ(A) est finie et strictement positive, on associe une loi de probabilité, appelée loi uniforme sur A, de densité de probabilité ƒ définie, pour   par :

 

χA est la fonction indicatrice de l'ensemble A. La densité ƒ est donc nulle à l'extérieur de A mais égale à la constante 1λ(A) sur A.

Le cas particulier traité principalement dans cette page est le cas où d = 1 et où A est un intervalle [a, b] de  

Transport et invarianceModifier

Condition suffisante — La loi de la variable aléatoire Y =T(X), image, par une transformation T, d'une variable X uniforme sur une partie A de   est encore la loi uniforme sur T(A) si T est, à un ensemble négligeable près, injectif et différentiable, et si, presque partout sur A, la valeur absolue du jacobien de T est constante.

Exemples de transformations respectant l'uniformité :
  • Si T est affine et bijectif, Y suit la loi uniforme sur T(A).
  • En particulier, si T est une isométrie de   laissant A invariant, Y a même loi que X.
  • Par exemple, une isométrie de   laisse invariante la loi uniforme sur la boule unité centrée en l'origine, à condition de laisser l'origine invariante.
  • Autre exemple d'isométrie : si U est uniforme sur [0, 1], 1 – U l'est aussi.
  • Si   est la partie fractionnaire de x,   et   ne sont pas injectifs ou différentiables sur tout [0, 1] mais satisfont les hypothèses énoncées plus haut, avec T([0, 1[) = [0, 1[. En conséquence,   et   ont même loi que U. En sortant un peu du cadre de cette page, et en notant M(x) le point du cercle trigonométrique ayant pour affixe   on peut alors voir M(U) comme un point tiré au hasard uniformément sur le cercle trigonométrique. Les points   et   sont alors obtenus par rotation d'angle a (resp. par symétrie par rapport à la droite d'angle directeur πa) qui sont des isométries laissant le cercle unité invariant. Il n'est donc pas étonnant que ces points suivent encore la loi uniforme sur le cercle unité. Cela traduit une propriété très particulière de la loi uniforme : elle est la mesure de Haar de  

Conséquence — Si la suite   est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0, 1] et si   alors la suite   est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0, 1].

Il peut sembler surprenant que les variables   et   par exemple, soient indépendantes, alors qu'elles dépendent toutes deux de manière cruciale des variables   et   C'est une conséquence particulière de la propriété d'invariance de la loi uniforme : par exemple, étant la mesure de Haar de   elle est idempotente pour la convolution.

Distributions associéesModifier

Le théorème suivant[1] stipule que toutes les distributions sont liées à la loi uniforme :

Théorème de la réciproque — Pour une variable aléatoire de fonction de répartition F, on note G sa réciproque généralisée, définie, pour   par :

 

Si   désigne une variable aléatoire réelle uniforme sur [0, 1], alors   a pour fonction de répartition  

Bref, pour obtenir des tirages (indépendants) selon la loi caractérisée par F, il suffit d'inverser cette fonction et de l'appliquer à des tirages (indépendants) uniformes.

Voici quelques exemples de cette loi :

  • Y = –ln(U)/λ est distribué selon la loi exponentielle de paramètre λ ;
  • Y = 1 – U1/n est distribué selon la loi bêta de paramètres 1 et n. Ceci implique donc que la loi uniforme standard est un cas spécial de la loi bêta, de paramètres 1 et 1.

On trouvera un tableau plus complet ici. Par ailleurs, l'art d'engendrer des variables aléatoires de lois arbitraires, par exemple à l'aide de variables uniformes, est développé dans Non-Uniform Random Variate Generation, de Luc Devroye, édité chez Springer, disponible sur le web[2].

ApplicationsModifier

En statistiques, lorsqu'une valeur p (p-value) est utilisée dans une procédure de test statistique pour une hypothèse nulle simple, et que la distribution du test est continue, alors la valeur p est uniformément distribuée selon la loi uniforme sur [0, 1] si l'hypothèse nulle est vérifiée.

Obtenir des réalisations de la loi uniformeModifier

La plupart des langages de programmation fournissent un générateur de pseudo-nombres aléatoires, dont la distribution est effectivement la loi uniforme standard.

Si u est U(0, 1), alors v = a + (ba)u suit la loi U(a, b).

Obtenir des réalisations d'une loi continue quelconqueModifier

D'après le théorème cité plus haut, la loi uniforme permet en théorie d'obtenir des tirages de toute loi continue à densité. Il suffit pour cela d'inverser la Fonction de répartition de cette loi, et de l'appliquer à des tirages de la loi uniforme standard. Malheureusement, dans bien des cas pratiques, on ne dispose pas d'une expression analytique pour la fonction de répartition; on peut alors utiliser une inversion numérique (coûteuse en calculs) ou des méthodes concurrentes, comme la Méthode de rejet.

Le plus important exemple d'échec de la méthode de la transformée inverse est la Loi normale. Toutefois, la Méthode de Box-Muller fournit une méthode pratique pour transformer un échantillon uniforme en un échantillon normal, et ce de manière exacte[3].

Permutations aléatoires uniformes et loi uniformeModifier

Des mathématiciens comme Luc Devroye ou Richard P. Stanley ont popularisé l'utilisation de la loi uniforme sur [0, 1] pour l'étude des permutations aléatoires (tailles des cycles, nombres eulériens, analyse d'algorithmes de tri comme le tri rapide, par exemple).

Construction d'une permutation aléatoire uniforme à l'aide d'un échantillon de loi uniformeModifier

Soit   une suite de variables aléatoires i.i.d. uniformes sur [0, 1], définies sur un espace probabilisé   (par exemple, définies sur   muni de sa tribu des boréliens et de sa mesure de Lebesgue, par   ou, de manière équivalente, par   Pour tout entier k compris entre 1 et n, posons

 

Ainsi,   s'interprète comme le rang de   dans l'échantillon, une fois celui-ci rangé dans l'ordre croissant.

Proposition —  L'application   est une permutation aléatoire uniforme.

La proposition ci-dessus reste vérifiée si la distribution de probabilité commune aux variables   possède une densité, quelle qu'elle soit, et non pas seulement pour la densité uniforme. On peut même se contenter de variables i.i.d. dont la loi est diffuse (sans atomes) modulo une modification mineure de la démonstration. Cependant la loi uniforme est particulièrement commode pour diverses applications.

Nombres de descentes d'une permutation aléatoire, et nombres eulériensModifier

Soit   le nombre de descentes d'une permutation   tirée au hasard uniformément dans   Bien sûr,

 

A(n,k) désigne le nombre de permutations de   possédant exactement k descentes. A(n,k) est appelé nombre eulérien. Posons

 

On a alors[4]

Théorème (S. Tanny, 1973) — De manière équivalente,

 

ou bien

 

Il en découle immédiatement un théorème central limite pour   via le théorème de Slutsky.

Notes et référencesModifier

  1. Voir l'article détaillé ici.
  2. La version pdf (libre et autorisée) de (en) Luc Devroye, Non-Uniform Random Variate Generation, New York, Springer-Verlag, , 1re éd. (lire en ligne) est disponible, ainsi qu'un récit humoristique des démêlés de Luc Devroye avec son éditeur.
  3. Plus exactement, la méthode nécessite deux tirages indépendants U(0, 1) pour fournir deux tirages normaux indépendants.
  4. voir (en) S. Tanny, « A probabilistic interpretation of the Eulerian numbers », Duke Math. J., vol. 40,‎ , p. 717-722 ou bien (en) R.P. Stanley, « Eulerian partitions of a unit hypercube », Higher Combinatorics, Dordrecht, M. Aigner, ed., Reidel,‎ .

Articles connexesModifier